粗糙水平面上彈簧振子運(yùn)動(dòng)的研究

王興堂

(沛縣中學(xué) 江蘇 徐州 221600 )

編者按：本文似可進(jìn)一步推敲，歡迎讀者參與討論.

1 問題的提出

如圖1(a)所示，將一根勁度系數(shù)為κ的彈簧與一質(zhì)量m物塊相連，置于粗糙的水平面上.已知物塊與水平面的滑動(dòng)摩擦力為f，彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，物塊位于O點(diǎn).用力向左緩慢推物塊從O點(diǎn)至A點(diǎn)，且使OA=L.之后撤去外力， 物塊將在水平面上來回運(yùn)動(dòng).問:

(1)物塊在水平面上的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)嗎？

(2)物塊最終停止的位置在哪里？

(3)物塊振動(dòng)的總時(shí)間為多少？

圖1 彈簧振子

2 問題的探究

設(shè)物塊從A處釋放后第一次最遠(yuǎn)能到達(dá)B點(diǎn).物塊從A到B的過程中，在水平方向只受到彈簧彈力和不變的滑動(dòng)摩擦力.把彈力和摩擦力相等的位置O1設(shè)為振動(dòng)的平衡位置，此時(shí)彈簧的形變量為x0， 則有κx0=f；當(dāng)物塊滑到O1點(diǎn)左側(cè)距O1為x時(shí)，振子受到的合力為F=κ(x+x0)-f=κx,方向指向O1;當(dāng)物塊滑到O1點(diǎn)右側(cè)距O1為x時(shí)，振子受到的合力為F=f-κ(x0-x) =κx,方向指向O1.

由此可知，物塊受到的合力總指向平衡位置，即提供回復(fù)力，且其大小與相對(duì)平衡位置的位移成正比.這正是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征.因此，物塊從A到B的運(yùn)動(dòng)符合簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律.當(dāng)物塊從B返回時(shí)，物塊受到的摩擦力方向發(fā)生了變化，其平衡位置應(yīng)在O點(diǎn)的右側(cè)O2處(且O1，O2關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱).同理分析可知，從B到A的運(yùn)動(dòng)仍符合簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律.

物塊運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后最終停在哪里呢？物塊往返時(shí)將分別以O(shè)1,O2為平衡位置振動(dòng)，隨著平衡位置的變化，物塊振動(dòng)的振幅將不斷減小，由圖1(b)可知，OA=L則OB=L-2x0，從B向左運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)處A1時(shí)，OA1=OB-2x0=L-4x0,再向右運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)處B1，OB1=L-6x0，…物塊第N次通過O點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)處到O點(diǎn)的距離為d=L-2Nx0，向右運(yùn)動(dòng)時(shí)N取奇數(shù)，向左運(yùn)動(dòng)N取偶數(shù)，當(dāng)d>x0時(shí)，也就是彈力大于最大靜摩擦力，物塊就能返回，若d

雖然物塊的振幅在不斷變化，但其往、返的時(shí)間應(yīng)是相同的，都等于同一簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期的一半.把粗糙水平面上的物塊運(yùn)動(dòng)與豎直方向彈簧振子比較，摩擦力等效重力，我們知道豎直方向彈簧振子的振動(dòng)周期

3 總結(jié)