基于PASCO系統的混沌擺實驗

韓曉茹，傅筱瑩，彭可鑫，向 勇，陳建育，金 立

（浙江理工大學 理學院，浙江 杭州310018）

1 引 言

混沌現象亦稱“蝴蝶效應”［1－3］，這種現象普遍存在于物理學、化學、電子學、生物學和社會學等科學領域．近年來許多學者通過非線性電路對混沌行為進行了廣泛地研究，其中最典型的是由美國Berkeley大學的Leon O Chua提出的蔡氏電路 （Chua’s circuit），它是能產生混沌行為的最小、最簡單的三階自治電路［4］．但是，采用力學裝置呈現混沌現象的實踐在國內外都相對少見［5］．如果借助原理淺顯、結構簡單的實驗裝置來呈現混沌的特性，可以使學生較好地理解和掌握混沌知識［6］．本文主要完成了基于PASCO系統的混沌擺實驗儀的研制，利用PASCO系統高性能的傳感器采集信號，在計算機科學工作室軟件DataStudio上進行實驗，呈現了混沌的基本特征，并對該過程實現了Matlab數值模擬．

2 實驗原理與方法

2．1 PASCO系統簡介

PASCO系統是采用傳感器和數據采集接口，利用電腦進行控制和數據采集的物理實驗系統，主要包括3部分：

1）傳感器．現有傳感器60余種．

2）數據采集接口．將傳感器的數據通過科學工作室輸入計算機，最高采樣頻率為250 k Hz．

3）數據采集軟件．包括240個預設的物理實驗，可進行多種實驗數據的顯示形式和處理功能．

2．2 實驗儀構建

所需儀器主要由下面幾部分組成：PASCO系統750接口、0～30 V直流穩壓電源、圓盤、機械震蕩驅動器、轉動傳感器、偏心銅圓柱、120 cm長鋼桿（2根）、45 cm 長鋼桿（1根）、底座（1個）、細線和彈簧．電源用于輸出驅動電壓，萬用表可測量對應電壓的實際值．該裝置實物圖見圖1．

圖1 PASCO系統混沌擺實驗儀實物圖

使用DataStudio程序：啟動科學工作室，選擇轉動傳感器并連接到模擬通道A，選擇轉動傳感器并連接到數字通道1和2．利用轉動傳感器來記錄驅動力的角頻率和鋁盤的旋轉角頻率．選取平滑函數“Smooth（n，x）”，設置圖表中的橫坐標為角度（rad），縱坐標為角速度（rad／s）．

通過電機的驅動使曲柄連桿做周期性圓周運動引起圓盤在外力的作用下做混沌擺運動，轉動傳感器記錄它的運動并傳輸到計算機進行處理，描繪出圖像．

2．3 實驗原理

混沌擺的動力學方程［7］為

其中磁阻尼系數為μ，彈簧的勁度系數為k，θ表示轉輪的轉角；ΔL0是初始位置時彈簧伸長，Lc0和Lc分別為初始時刻和t時刻外部策動振幅，

式中φ0為初始相角，ω為策動力角速度，Ac為策動振幅，La和Lb表示外部策動力與轉輪的距離．為方便討論動力學性質，式（1）可改寫為如下的標準一階微分方程形式：

式中轉輪的內外半徑分別為r，R，質量為M，轉輪圓盤的轉動慣量I＝MR2／2，Ic為偏心銅圓柱的轉動慣量，ΔL＝Lc－Lc0＋ΔL0，Ac，ω和θ的初始值作為系統的可調節參量．為簡單起見，對系統動力學性質沒有影響的彈簧初始伸長和外部策動力的初相位分別取ΔL0＝0，φ0＝11π／18．

當無外部策動力（ΔL＝0）和磁阻尼系數（μ＝0）時，該裝置構成保守動力學系統．式（4）簡化為

系統沒有出現混沌時，系統對初始值不敏感．

當有外部策動力和阻尼存在時，該系統成為耗散動力學體系，表現出許多復雜的動力學性質，這些性質依賴于驅動振幅Ac、振動頻率ω和轉動初始角θ等可調節實驗參量．具備了產生混沌現象的基本條件［8］：方程右側至少有1個非線性項；至少有3個變量．

為方便理解混沌現象，對上述動力學方程應用Matlab作了數值模擬，定義pi表示圓周率π．當無外部策動力（ΔL＝0）時，系統在不同的初始角度θ＝pi／6，pi／4，pi／2下的數值模擬圖像如圖2所示．由圖可知，當系統沒有出現混沌時，系統對初始值不敏感．外部策動力條件下，不同條件下的系統相圖如圖3所示．同理，在實驗中通過改變參量出現的雙周期、三周期、多周期這些特殊的圖像通過數值模擬也能實現，如圖4所示．

圖2 無外部策動力時的系統相圖

圖3 有外部策動力時的系統相圖

圖4 不同條件下的特殊相圖

從數值模擬結果發現，系統動力學性質依賴于驅動振幅Ac和振動頻率ω．對于一個非線性系統，依次改變系統的參量，可以出現從無序向有序的轉變，有序程度不斷增加的轉變，最后出現混沌現象．

3 PASCO系統混沌狀態測試

已測參量：轉輪外半徑R＝0．048 m，內半徑r＝0．024 m，質量M＝0．118 2 kg，偏心銅圓柱質量m＝0．014 5 kg，L＝0．048 m，彈簧勁度系數k1＝k2＝2．4 N·m－1，La＝0．05 m，Lb＝0．16 m．

從混沌擺的相軌跡（PASCO儀器上呈現的相圖）很容易判斷是否為混沌運動，為方便比較混沌現象，特定幾個特殊的初始相位，即φ0．

3．1 無驅動情況

改變擺角初始值，為θ＝0°，20°，40°．實驗結果如圖5所示．從相位圖表現可知在無驅動時混沌擺作振幅衰減運動，當系統沒有出現混沌時，系統對初始值不敏感．

圖5 無驅動狀態混沌現象

3．2 有源驅動情況

3．2．1 固定驅動電壓

驅動一定（V＝5．2 V）的情況下，改變擺角初始值分別為θ＝100°，135°，150°．實驗結果如圖6所示．相位圖表現為混沌現象，并且各個初值對應的相位圖差異很大．比較圖6發現系統從雙吸引子逐漸向單吸引子改變，當系統出現混沌時，系統對初始值很敏感．

圖6 固定驅動狀態混沌現象

3．2．2 可變驅動電壓

逐漸增大驅動電壓，從而增加驅動頻率下得到如圖7所示的相位變化圖．從實驗結果可知，在一定范圍內當混沌擺的驅動電壓越大時驅動頻率越大，系統的運動越趨于復雜．當驅動電壓較小時，如1周期、2周期所示結果都是周期運動的相圖．當驅動電壓達到一定時就出現了混沌現象，如單吸引子與雙吸引子所示結果就是混沌現象的相圖．

圖7 可變驅動狀態混沌現象

由單吸引子與雙吸引子現象可知，當驅動頻率達到一定值時系統從周期運動逐漸出現混沌現象．當角度初始值稍微改變時系統的運動情況卻變化很大，可以出現混沌運動，也可以出現周期運動，這就是混沌系統的初值敏感性的基本特征．

觀察奇異吸引子相圖，當相圖存在吸引子現象時，吸引子首先由外向內繞若干圈，轉到圓心附近時將隨機跳躍，繼續向內繞若干圈后再突然跳回原來的循環．對應于混沌擺的實際運動，則是銅圓柱時而做周期運動時而角度超過360°，有時可以一直不停旋轉多圈，然后再作周期運動．盡管無法預料軌跡將在何時從一邊跳到另一邊，但是相軌道總不會超出邊界，也絕不會自相重復．

通過上述實驗的手段，依次改變PASCO混沌擺系統的參量，系統由穩定有序逐漸失穩，開始分岔，系統由有序到無序．同時可以出現從無序向有序的轉變，隨著有序程度不斷地增加，最后會觀察到混沌現象，從而可得出結論：混沌是一種確定的系統中出現的貌似不規則的有序運動．

4 結束語

基于PASCO系統設計了受周期外力驅動的混沌擺，采用轉動傳感器采集數據，并用Matlab進行了數值模擬．基于PASCO系統開發傳統實驗，其實驗內容融合了激光技術、傳感器技術、信息存儲和光電技術應用［9－10］等，可以培養學生的實驗能力、分析與研究能力，提高創新能力，并使學生在自主學習和訓練過程中可以檢驗自己的能力，展示個性才華，使綜合實驗能力得到提高．

［1］ Mccauley J L．Nonlinear dynamics and chaos theory［M］．Stockholm：Royal Swedish Academy of Sciences Press，1991：52－85．

［2］ 梁勇，溫吉華．將混沌引入大學物理教學的探討［J］．滁州學院學報，2005，7（4）：99－101．

［3］ 郝柏林．從拋物線談起——混沌動力學引論［M］．上海：上海科技教育出版社，1993：5－18．

［4］ Chua L O，Wu Chaiwah，Huang Anshan，et al．A universal circuit for studying and generating chaos——part II：Strange attractors［J］．IEEE Transactions on Circurts and Systems，1993，40（10）：745－761．

［5］ 李明，于艷春，李冠成，等．混沌理論及現象實驗儀的研制［J］．實驗技術與管理，2005，22（1）：59－64．

［6］ 程敏熙，曾碧芬，劉惠娜，等．周期性外力驅動的混沌擺［J］．物理實驗，2009，29（1）：7－13．

［7］ 朱桂萍，王健．混沌擺系統的動力學分析和數值模擬［J］．揚州大學學報（自然科學版），2008，11（3）：27－30．

［8］ 陳士華，陸君安．混沌動力學初步［M］．武漢：武漢水力水電學院出版社，1998：137－154．

［9］ 朱海平．PASCO實驗在物理教學中的應用［J］．麗水學院學報，2007，29（2）：89－91．

［10］ 彭東青，劉志高，黃宏緯．基于PASCO系統的物質折射率測量［J］．物理實驗，2008，28（2）：33－35．