塊廣義?-對角占優矩陣

蔣建新

(文山學院數理系，云南文山663000)

1 預備知識

設 Cn×n(Rn×n)分別是復(實)矩陣的集合，N={1，2，…，n} ，K={1，2，…，k} 。

其中Aii為ri階方陣，且Aii非奇異。在實際問題中Aii是稀疏的且很多是零矩陣。

定義1［1］常用的三種誘導矩陣范數:1－范數(列和范數，A的每一列元素絕對值之和的最大值)。2－范數:‖A‖2=σ1，其中σ1是A的最大奇異值，即A*A的最大特征值的非負平方根。∞ －范數(行和范數，A的每一行元素絕對值之和的最大值)。

定義2［1］設B=(bij)=(‖Aij‖)k×k不可約，則稱A為塊不可約，這里‖·‖是誘導矩陣范數。

定義 3［1］設則稱 T(A) 為 A 的塊比較矩陣。

定義4［1］若則稱A為塊對角占優矩陣記為A∈BD;若都是嚴格不等式，則稱A為塊嚴格對角占優矩陣記為A∈BSD。

定義 5［1］若存在 x=(x1，x2，…，xk)T＞ 0，使得 xi‖A－1ii‖－1＞ ∑j≠ixj‖Aij‖ ，i=1，…，k，則稱 A 為塊H－矩陣，記為A∈BH。

引理1［1］BSD?BD?BH。塊H－矩陣包括許多子類，例如下面引理中的矩陣。

引理2［1］若A∈BD是不可約的，并且至少存在一個嚴格不等式(稱A是塊不可約對角占優矩陣)，則A是非奇異塊H－矩陣。

引理3［1］若，存在一個非零元素鏈‖Aii1‖，‖Ai1i2‖，…，‖Airi*‖，i≠i1，i1≠i2，…，ir≠i*，i*∈J(A)，則A是非奇異塊H －矩陣。

2 塊廣義對角占優矩陣和塊H－矩陣

定義6 設A=(aij)∈Cn×n分塊如(1)，且存在如上定義的K的子集K1，K2，若對?? ∈［0，1］，當

成立則稱A為塊廣義?—嚴格對角占優矩陣。

定理1 若A是塊廣義?—嚴格對角占優矩陣，則A是非奇異塊H－矩陣。時，有

證明:令

(1)當i∈K1時

(2)當 j∈ K2時

定義7 設A=(aij)∈Cn×n是形如(1)的塊不可約矩陣，且存在如上定義的K的子集K1，K2，若對??

綜上可知時，有

成立，且(4)式中至少有一行嚴格成立，則稱A為不可約塊廣義?—對角占優矩陣。

定理2 若A是不可約塊廣義?—對角占優矩陣，則A是非奇異塊H－矩陣。

證明:設Gi，gj如定理1證明中的定義，類似于定理1的證明

且在(5)式中至少存在一個嚴格不等式，則

因為A不可約，則存在‖Ajt‖≠0，i∈K1，j∈K2，所以l＞0。

設 X=diag(xk:xk=dk(A)，k∈ K1;xk=l，k∈ K2)

令C=T(A)X=(cij)，則

(1)當i∈K1時

(2)當 j∈ K2時

定義7 設A=(aij)∈Cn×n是形如(1)的分塊，且存在如上定義的K的子集K1，K2，若對，當時，有

成立，且 ?i∈ {j1，…，jk} ∪ {i1，…，il}，存在非零元素鏈 ‖Air1‖ ，‖Ar1r2‖ ，…，‖Ar，r*‖ ，其中 i≠ r1，r1≠r2，…r≠ i*，i*∈ (K1－ {i1，i2，…，il}) ∪ (K2－ {j1，…，jk}) ≠ ? ，

(Gi，gj的定義類似于定理1的證明中的定義)，則稱A為塊廣義?-非零元素鏈對角占優矩陣。

定理3 若A是塊廣義?-非零元素鏈對角占優矩陣，則A是非奇異塊H－矩陣。

令 X=diag(xk:xk=dk(A)，k∈ K1;xk=l，k∈ K2) ，

設C=T(A)X=(cij)，當i∈{j1，…，jk}，由(8)式和gi(i∈K2)的定義知

當 i∈{i1，…，il}時，由(8)式和Gi(i∈K1)的定義知

當i∈(K1－{i1，i2，…，il})∪(K2－{j1，…，jk})，相似于定理1的證明知，即C是塊非零元素鏈對角占優矩陣，則由引理2知，C是非奇異H－矩陣，即A是非奇異塊H－矩陣。

［1］ 黃庭祝，楊傳勝.特殊矩陣分析及應用［M］，北京:科學出版社，2006:1－4.

［2］ Ting－zhu Huang，Chang－xian Xu.Generalized? －Diagonal Do minance［J］．Computers and Mathematics with Applications 45 2003:1721－1727.