群作用下的Khintchine回歸定理

王磊杰

(文山學院數理系，云南文山663000)

1898年龐加萊給出龐加萊回歸定理，從那時起，回歸性就是動力系統研究的重要內容，之后人們給出了龐加萊回歸定理的各種各樣的推廣。1934年Khintchine給出了著名的Khintchine回歸定理。至今，回歸性仍然是動力系統研究當中的重要內容。

1 基本概念與定理

定義1.1 設X是任意一個集合，B是X的一個σ代數，m是B上的測度，則(X，B，m)稱為一個測度空間。若m(X)＜∞，則稱(X，B，m)為有限測度空間，否則稱為無限測度空間;特別的，若m(X)=1，則稱為概率空間。

定義1.2 設(X1，B1，m1)，(X1，B2，m1)是測度空間，映射T:X1→X2稱為可測的，指T－1B2?B1;映射T:X1→X2稱為保測的，指對?B∈B2，有m1(T－1B)=m2(B);映射T:X1→X2稱為可逆的，指T是雙射，且T，T－1均保測。特別的，若(X，B，m)是一個測度空間，T:X→X是保測映射，則稱T為保測變換，此時則稱(X，B，m，T)為保測系統;若T可逆，則稱(X，B，m，T)為可逆保測系統。

下面是保測系統的一個基本性質，由于它在文獻中很少出現及證明方法的基本性，這里將它列出。

定理1.1 若(X，B，m，T)是保測系統，則對任意f∈L1(m)，有

則

則

這是因為f可積。

定理［1］1.2 設(X，B，m，T)是概率保測系統，E∈B，且m(E)＞0，則E中幾乎所有點在T的作用下都將無窮次的回到E中。

這是著名的龐加萊回歸定理，下面給出它的一個等價命題

定理1.3 設(X，B，m，T)是概率保測系統，f:X→R是可測函數，則對于幾乎處處的x∈X，有

證明對任意ε＞0，將R分成可數個長為ε的互不相交的左開右閉區間的并，對于每個小區間I，f－1(I)是可測集，由定理1.2，f－1(I)中幾乎所有點在T的作用下都將無窮次的回到f－1(I)中。即:

由ε的任意性知定理成立。

由定理1.3推定理1.2是容易的，所以定理1.2與定理1.3是等價的。

關于龐加萊回歸定理的其它推廣與應用可見文獻［2］、［3］。

2 群上的Khintchine回歸定理

比龐加萊回歸定理更深刻的是如下的Khintchine回歸定理。

定理［4］2.1 設(X，B，m，T)是概率保測系統，A∈B，ε ＞0，集合

在自然數集N當中是相對稠的，即存在有限子集F?N使

它的連續形式可見文獻［5］。下面將Khintchine回歸定理推廣到一般的群作用上。

定義2.1 設(X，B，m)是概率測度空間，G是一個群，對每個g∈G，對應一個保測變換Tg:X→X，且滿足

(1)對任意g1，g2∈G，則Tg1g2=Tg1Tg2;

(2)Te是恒等映射，其中e是G的單位元。

則{Tg:g∈G}是一個群，稱為概率測度空間(X，B，m)上的保測變換群。

定義2.2 設G是一個拓撲群，A?G，若存在緊集K?G，使得G=AK，則稱A左syndetic;若G=KA，則稱A右syndetic;若A既左syndetic，又右syndetic，則簡稱Asyndetic。

關于拓撲群的內容可見文獻［6］，任何一個群賦予離散拓撲便成為離散拓撲群，下面的群均指的是無限群。

若A是G的子群，則A左syndetic，A右syndetic，Asyndetic三者等價。

定義2.3 設G是一個無限群，h是整數集Z到G的映射，n∈Z在h下的像記為hn，令F是Z的有限有序子集全體，即:

令

稱π(h)為由h生成的G的IP－集。

A?G稱為IP*－集，若A和G的所有IP－集相交。

引理［7］2.1 設Ai，i=1，2，…是概率空間(X，B，m)中的可測集，且m(Ai)=a，a是正常數，則對任意ε＞0，存在i＜j，使得m(Ai∩Aj)≥a2－ε。

引理2.2 設Ai，i=1，2，…是概率空間(X，B，m)中的可測集，且m(Ai)=a，a是正常數，則對任意ε＞0，存在無窮子列{ik}使得對任意整數p，q，有

證明:先證存在某個i1，使得存在無窮序列{kj}，滿足:

反證法，設這樣的i1不存在，令n1=1，則存在n2＞n1，當n＞n2時有

對n2，則存在n3，當n＞n3時有

如此無限的進行下去得到序列{ni}，但是集列{Ani}不滿足引理2.1，矛盾!所以，i1存在。

按照上面的做法并利用對角線法知序列{ik}存在，證完。

定理2.2 設G是一個離散拓撲群，{Tg:g∈G}是概率空間(X，B，m)上的保測變換群。則對任意A∈B，ε＞0，集合

syndetic。S稱為A的ε回歸集。

證明:易知S是G的子群，因此若S左 syndetic，則Ssyndetic，下證S左syndetic。

設m(A)=a。

反證法，設S不左syndetic，則對G的任意有限子集K，有G≠SK。任取g1∈G令K1={g1}，必存在元素g2∈g－SK1，g∈G－S，即

令K2={g1，g2}，必存在g3∈g－SK2，且，即

如此無限的進行下去，得到序列{gi}，它具有性質:

這與引理2.1矛盾，因此S左syndetic，所以Ssyndetic，證完。

定理2.3 設G是一個離散拓撲群，{Tg:g∈G}是概率空間(X，B，m)上的保測變換群。則對任意A∈B，ε＞0，集合

是IP*－集。

證明:設h是任意一個從整數集Z到G的映射，下證π(h)∩S≠?。令有限集Fi={1，2，…i}，則hFi=h1h2…hi，考慮集列{}，由引理2.1知存在i＜j，滿足:

所以，hi+1hi+2…hj∈S，且hi+1hi+2…hj∈π(h)，因此π(h)∩S≠?，S是IP*－集。

定理2.4 設G是一個群，{Tg:g∈G}是概率空間(X，B，m)上的保測變換群。則對任意A∈B，ε＞0，存在G的無窮子集I，使得對任意g1，g2∈I，有

這是引理2.2的直接結果。

Khintchine回歸定理反映了保測系統深刻的回歸性質，它和系統的混合性質有密切關系，這方面的一些結果可見文獻［8］。

［1］ P.Walters.An Introduction to Ergodic Theory［M］．NewYork－Berlin:Springer－Verlag，1982:26.

［2］ L.Tao，K.R.Rajaopal.A note on the applicability of recurrence theorems［J］．Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2009，(14):2587－2591.

［3］ M.G Nadkarni.Basic Ergodic Theory［M］．India:Hindustan Book Agency，1995:7 －9.

［4］ K.Petersen.ErgodicTheory［M］．Cambridge:Cambridge University Press，1983:37 －38.

［5］ C.visser.On poincare's recurrence theorem［J］．Bull.Amer.Math.Soc.1936，(42):397 －400.

［6］ E.Hewitt and K.A.Ross.Abstract of harmonic analysis Vol1［M］．Springer－Verlag，1963:75 －80.

［7］ V.Bergelson.Ergodic ramsey theory－an update［A］.Ergodic Theory of Zd－actions［C］．London Math.Soc.Lecture Note Series 228，1996:49.

［8］ V.Bergelson.The multifarious Poincaré recurrence theorem［A］．Descriptive Set Theory and Dynamical Systems［C］.(Marseille －Lu miny，1996)，Vol.277 of London Math.Soc.Lecture Note Series，Cambridge University Press，2000:31 －57.