圓錐曲線焦點(diǎn)弦的新視角

玉邴圖

(廣南縣第一中學(xué)，云南廣南663300)

經(jīng)過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)且被圓錐曲線截得的線段叫做圓錐曲線焦點(diǎn)弦。它是一個(gè)非常重要的幾何量，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，長(zhǎng)考不衰，視角常變，題型多姿多彩，可謂考試長(zhǎng)青樹(shù)。此類(lèi)題型，涉及知識(shí)面廣，前幾年的高考或競(jìng)賽題型僅僅與弦的傾斜角或斜率有關(guān)，而近兩年來(lái)，視角更寬闊了，常常將向量的有關(guān)知識(shí)與焦點(diǎn)弦傾斜角、長(zhǎng)度以及圓錐曲線離心率聯(lián)系起來(lái)，且有一定難度，作為高考解析幾何壓軸題，旨在考查考生的邏輯推理能力和的綜合運(yùn)算能力，此類(lèi)題考生失分嚴(yán)重。故值得我們深入總結(jié)和分析研究，為此，本文介紹圓焦點(diǎn)弦的一些向量性質(zhì)，并說(shuō)明它們的應(yīng)用，供讀者參考。

對(duì)于焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度與斜率或傾斜角的關(guān)系，文獻(xiàn)［1］介紹了如下結(jié)論。

引理 過(guò)橫向型圓錐曲線焦點(diǎn)F作斜率是k或傾斜角為θ的弦AB，離心率是e，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為p，則

如果從共線向量的角度研究，可得到如下的重要結(jié)論。

定理1 經(jīng)過(guò)橫向型圓錐曲線焦點(diǎn)F作傾斜角為θ的弦AB，e是離心率，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為p，若，(對(duì)于橢圓、拋物線和A，B兩點(diǎn)在雙曲線同一分支上時(shí)，與方向相反，λ＜0;對(duì)于A，B兩點(diǎn)在雙曲線的兩個(gè)分支上時(shí)，與方向相同，λ＞0)，則

證明 設(shè)E是與焦點(diǎn)F相應(yīng)的準(zhǔn)線和對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，不妨以有向直線EF所在直線為x軸，F(xiàn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)為F(0，0)，直線AFB的方程為y=kx (1)

①設(shè)P(x，y)是圓錐曲線上的一點(diǎn)，它到準(zhǔn)線的距離為d，則由圓錐曲線定義知|PF|=ed，由此可得圓錐曲線方程為

設(shè) A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，因?yàn)?F(0，0)，則由條件和方程(1)得

如果從向量數(shù)量積的角度研究，可得到如下的重要結(jié)論。

定理2 經(jīng)過(guò)橫向型圓錐曲線焦點(diǎn)F作傾斜角為θ的弦AB，e是離心率，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為p，若，(對(duì)于橢圓、拋物線和A，B兩點(diǎn)在雙曲線的同一分支上時(shí)，方向相反，λ＜0;A，B兩點(diǎn)在雙曲線的兩個(gè)分支上時(shí)，與方向相同，λ＞0)則

將方程(3)的兩根之積代入(6)化簡(jiǎn)得

由定理1和定理2，又可得到如下有趣的結(jié)論。

定理3 AB是經(jīng)過(guò)橫向型圓錐曲線焦點(diǎn)F的弦，e是離心率，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為p，若

證明 設(shè)弦AB的傾斜角為θ，則由題意及定理1①和定理2①得

定理4 經(jīng)過(guò)橫向型圓錐曲線焦點(diǎn)F作傾斜角為θ的弦AB，e是離心率，焦點(diǎn)F到相應(yīng)準(zhǔn)線L的距離為p，L與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為E，若EA和EB的斜率之積為λ，則

證明 不妨以有向直線EF所在直線為x軸，F(xiàn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)為F(0，0)，直線AFB的方程為

設(shè)P(x，y)是圓錐曲線上的一點(diǎn)，它到準(zhǔn)線的距離為d，則由圓錐曲線定義知|PF|=ed，由此可得圓錐

曲線方程為

設(shè) A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，因?yàn)?E(－ p，0)，則由題意得

下面我們看這幾個(gè)定理的應(yīng)用。

例3(2008年高考全國(guó)卷Ⅱ第16題)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求的值。

解 因?yàn)閑=1，tanθ=k=1，即θ=450，由定理1①得或?yàn)樗蟆?/p>

解(1)因?yàn)棣?600，λ =－2，由定理1①得。因?yàn)?不合題意，舍去)，所以橢圓的離心率

［1］ 玉邴圖.一個(gè)換算關(guān)系的完善［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2002，(2):21．