二維有限元網格的局部調整及優化

江 磊

JIANG Lei

（成都紡織高等專科學校 基礎部，成都 611731）

1 網格的局部加密

1.1 局部網格加密算法的問題

在有限元網格加密中主要存在的問題[1]：多級加載和半帶寬。對于單元局部加密的最大問題就是新增的單元、節點的編號如何處理，對于一般的有限元程序來說，如果單元和節點的變化不合理，對于生成的總體剛度矩陣的半帶寬會加大，消耗更多的計算機內存。如壩體有限元計算程序，可模擬壩體修建的整個過程，模型是最終的壩體，然后記錄了修建工程中的某些階段，也就是多次加載。另外，為了能夠適應現有的計算能力還必須合理的確定節點單元編碼，這樣可以減小半帶寬。

1.2 算法具體描述

1.2.1 獲得加密單元和過渡單元

有限元計算的結果通常經過后處理，我們在生成的等值線、彩色云圖上很容易指定哪一部分的變化較劇烈，需要加密。用戶使用鼠標選擇加密區域，獲得這個矩形的左上角和右下角的坐標：(left, top)，(right, bottom)。然后掃描所有的單元，只要單元的一個節點落在加密區域內，這個單元就是需要加密的。掃描結束后，生成一張表，記錄需要加密的單元號。

1.2.2 產生新的節點

因為接觸單元不可以劃分為三角形單元，出現二角形單元有兩種情況：(1)需加密的單元中含有三角形單元，在這種情況下，應為三角形單元不是接觸單元，所以，劃分不會產生三角形的接觸單元。(2)在生成過渡單元這樣的過渡單元時，如果過渡單元是接觸單元的話，就產生了三角形的接觸單元，這是不允許的，必須采取必要的措施。采取的方式是，如果某個加密單元的過渡單元是接觸單元的話，則對應的這邊就不增加節點，過渡單元也不進行劃分。新增節點延續原來的節點編號，節點的坐標由所在的邊或者所在單元型心確定。在這一過程中擴充原來的加密單元、過渡單元表格，使其包含需加密單元新增加的節點的信息。依次為邊1增加的節點號，邊2增加的節點號，邊3增加的節點號，邊4增加的節點號，型心處增加的節點編號。如果對應的部分沒有增加節點，就寫-1。

1.2.3 節點排序

要使生成的剛度矩陣具有合理的半帶寬，需要單元和節點編碼有一定的規律。通常網格在生成的時候都考慮了結構半帶寬的優化，加密后的網格破壞了原有的半帶寬。對于像壩體這樣的矩形結構，可以先按照水平方向編碼，然后豎直方向編碼。把原來的節點信息表做一個備份。

1.2.4 單元排序

如何合理的對單元進行排序，是局部加密的關鍵。采用的是這樣的一種想法：在加密前，如果一個單元的編碼出現在另外一個單元的編碼前，經過加密處理后，如果這個單元被拆分了，那么拆分后的幾個單元的編碼也要出現在另外的那個單元的前面。

2 網格質量優化

網格生成完畢后，其拓撲結構(如節點-單元關系、單元-單元關系、節點-節點關系)也就確定了，這些關系在一定程度上反映著網格的規則程度。通常，在四邊形網格中任一個內部節點相連的最佳單元個數為4，但是任何一種生成四邊形有限元網格的算法中，由于只考慮了節點周圍局部的情況，而往往會在生成的網格中存在著不規則節點和由此導致的畸形單元。這些節點和單元的存在都直接影響著網格的質量，從而影響著有限元分析結果的準確性。

進行網格優化就是進一步提高網格質量以滿足有限元分析的需要。總的來說，網格優化分為拓撲優化和幾何優化兩種。拓撲優化是改變網格的拓撲結構以達到優化的目的；而幾何優化則不改變網格的拓撲結構，只是重新調整網格節點的位置，使單元盡量地接近正方形。本文采用網格優化算法，首先是通過改變網格的拓撲結構來使不規則單元的數量減少到最小，然后再對網格進行位置的優化，最終達到對整個網格質量的提高和改善。

2.1 拓撲優化

網格的拓撲優化[2]側需要對網格節點之間的連接關系作出調整，對于四邊形單元，節點連接的單元數介于3到6之間，認為是可以接受的。拓撲優化主要有以下幾種模式：

刪除節點；

刪除單元；

刪除邊；

對角線調換；

在介紹網格的拓撲優化之前，先引進一個“度”的概念。在圖論中，一個無向圖中節點的度是指共享該節點的邊的數目，這里重新定義為共享該節點的單元的數目：

2.1.1 點刪除

這種拓撲優化主要應用于刪除那些合并過程中四邊形單元的內角有大于180o的單元的情況。依次檢驗內部節點，當某個節點的度為2時，必然會產生。

2.1.2 單元刪除

依次檢驗所有的單元，如果此單元中存在一對相對的節點設為(A, B)度皆為3時，則刪除此單元，并將節點A、B合并為一個節點。

2.1.3 邊刪除

依次檢驗連接了兩個節點的單元邊，如果某邊AB的兩個端點的度皆為3，則刪除此邊，連接到A、B節點的單元需要重新構建成兩個新的四邊形單元。這兩個單元的公共邊的選擇需要按照節點的度來確定。設NC、ND、NF、NG分別為節點C、D、F、G的度，則兩個四邊形公共邊的選擇按如下原則：

2.1.4 對角線調換

依次檢驗每一對相互連接的單元，公共邊AD將被調換成EB或者CF，如果滿足以下關系N1=NA+ND；N1= NA+ ND；N1= NA+ ND，則：

1)公共邊AD調換成BE

2)公共邊AD調換成CF

需要注意的是：上面的拓撲優化執行的前提是這種調整不會引起任何的單元交疊或產生畸形單元。網格拓撲調整應該按照1-4的順序進行。節點刪除將首先執行，然后接著是單元刪除、邊刪除和對角線的調換，當對角線調換完畢，再回到節點的刪除，從而進行下一輪的拓撲調整，直到不需進行拓撲調整為止。

2.2 幾何優化

網格的幾何優化是指通過移動內部節點的位置來調整網格的形狀以達到優化網格質量的目的。這類方法中最為典型的是Laplacian修勻方法，它用迭代法將每一個內部非固定節點移至由其鄰接節點構成的多邊形的形心位置，公式如下：

其中Ni是節點i所連接的節點總數，j是與i相連的節點，節點xi和yj是節點i的橫坐標和縱坐標值。這種方法是通過移動內部節點位置的方法來優化網格單元的形狀，同時使網格看起來更加光順，所以也稱其為一種網格的修勻或光順的方法。

上式作為一個簡單而又常常比較有效的迭代公式被廣泛應用于網格修勻，但它也存在一些根本的缺陷：1)當存在非凸的幾何區域時，某些單元可能會重疊，結點可能被移到區域的邊界之外；2)在3D網格中，一個結點可能被移至某個相鄰單元的內部；3)不能用于邊界結點的調整。盡管后來Herrmann及其他研究人員又分別提出了一些改進的算法，但終究不可能克服修勻技術所固有的不足。

眾所周知，在結構優化中優化方法可分為準則法和數學規劃法兩大類。數學規劃法是嚴格按優化問題的數學描述進行求解，在理論上是嚴謹的，但在實際應用中其效率將隨優化問題的規模增大而下降；準則法是基十直觀推測，盡管有一定道理，但在理論上并不能保證獲得最佳的結果。著名的三桿析架向題，己嚴格證明了滿應力準則設計和最輕重量設計并不總是等價的。關于上述兩類方法的實際應用，一般說來，設計變量少規模小的問題盡可能采用數學規劃法來逼近最優解，而設計變量多規模人的問題盡可能引進準則的技巧來調整計算規模。

與此類似，在網格結點位置的優化中，Laplacian修勻屬于準則法，它具有準則法普遍所具有的優點：方法簡單，計算量小，速度快。Laplacian修勻技術作為網格生成方法的一種補充，己為大多數研究人員所接受。但是Laplacian修勻同樣也具有準則法所固有的不足，最根本的問題在于不能確定修勻后的網格是否為最優網格。

圖1為網格優化前后的比較。鋪路法由于是從邊界向區域內部生成單元，所以內部單元的質量比較差。從圖中可以看出，經Laplacina修勻后，中心的網格質量得到提高。

圖1 網格修勻

3 結論

本文主要介紹了網格加密算法，采用加密算法，達到了網格局部加密效果，而且提高了計算精度，滿足了計算要求。此外還介紹了網格質量優化和節點編號優化算法，經過優化后網格質量更高，利用節點編號優化算法，減少了網格的半帶寬，節省存儲容量，而且能夠提高計算速度。

[1]黃曉東.二維有限元網格的局部加密方法[J].華南理工大學學報.2004, 32(12)∶45-53.

[2]陳立崗.全四邊形有限元網格的拓撲優化策略[J].計算機輔助設計與圖形學學報.2007,19(1)∶78-83