Timoshenko模型樁水平振動的動力剛度

姚 戈，楊 驍

(上海大學土木工程系，上海200072)

作為工程結構的一種重要基礎形式，樁基礎應用已有數百年的歷史［1］.然而，由于土介質的復雜力學性能以及樁基應用領域的不斷擴大，樁-土相互作用，尤其是動力相互作用的研究至今仍是土木工程等相關研究領域的重要課題.

在樁-土相互作用的連續介質模型中，將土介質視為連續體，在一定的簡化假定下，可較精確地揭示樁-土間的相互作用機理.基于彈性理論，將樁等效為Euler-Bernoulli梁，Novak等［2-3］首先建立了樁-土相互作用的二維和三維連續介質模型，研究并實驗驗證了彈性土中樁水平振動的動力特性.李耀莊等［4］基于二維模型，分析了單樁的水平振動及水平-搖擺耦合振動，考察了各種因素對單樁動力剛度的影響.這些模型及相關的解析解對揭示樁-土相互作用機理起到了積極的作用.為考慮樁-土相互作用的非線性效應，Nogami等［5］提出了一種邊界層模型，而Nogami等［6］和El Nagger等［7］提出了一個考慮土非線性效應的簡單連續介質模型.Chau等［8］對端承樁周圍內部土介質應用雙曲本構模型，通過內外土介質區域的精確連續性條件，分析了端承樁的非線性水平振動問題.Das等［9］和劉鑫等［10］將懸浮樁截面下土層等效為和樁緊密連接的“土樁”，研究了懸浮樁水平振動的動力特性.Hamid等［11］考慮了樁附近土的非線性行為，提出了一種非線性有限元-邊界元耦合方法.近年來，眾多學者關注飽和土中樁基的力學行為，Nogami等［12］以飽和土的Biot模型為基礎，研究了超孔隙水壓力對樁力學特性的影響.利用虛擬樁的概念和積分方程，Zeng等［13］首先在頻率域中研究了飽和彈性土中垂直受載單樁的動力特性.Lu等［14］在頻域內研究了飽和半空間中懸浮樁在P，SV波作用下的動力響應.而余俊等［15］給出了簡諧穩態水平振動下樁動力響應的解析解，討論了可退化為干土中樁響應的條件.Han［16］提出了分析樁-土動力相互作用的實用算法，并與有限元方法進行了比較.

目前，在樁-土相互作用的理論分析中，眾多學者將樁視為Euler-Bernoulli梁.然而，眾所周知，由于Euler-Bernoulli梁忽略了梁橫截面的剪切變形效應，因此，該模型所得的若干結果，如樁頭剛度等，均為實際值的上限.例如，對于細長樁，基于 Euler-Bernoulli梁模型的分析計算基本滿足了工程要求，而對于大直徑樁，計算結果誤差較大，必須予以修正.Timoshenko梁模型可考慮梁橫截面的剪切變形效應［17］，因此，將樁視為Timoshenko梁研究樁-土相互作用具有一定的學術價值和應用背景.

本研究在Nogami等［18］關于樁水平振動土阻抗研究的基礎上，將樁等效為 Timoshenko梁，得出Timoshenko模型端承樁水平振動的動力學特性.通過將Timoshenko梁撓度和轉角的耦合控制方程進行解耦，可求得Timoshenko梁在土層阻抗作用下的解析通解.在此基礎上，利用樁-土相互作用時樁-土界面的位移協調條件，得到確定待定系數的線性方程，從而求得問題的封閉解.最后，給出樁頭動力剛度隨頻率的變化曲線，研究了物性和幾何參數對剛度的影響，并與Euler-Bernoulli模型樁的結果進行了比較.

1 樁水平振動下的土阻抗

設厚為H的各向同性黏彈性土層中有一半徑為R0的黏彈性圓柱樁(見圖1)，其中樁的彈性模量和剪切模量分別為Ep和Gp，泊松比為νp，材料阻尼系數為ξp，體密度為ρp，線質量密度mp=πR20ρp，橫截面慣性矩為Ip;土介質的剪切模量為G，材料阻尼系數為ξ，泊松比為ν，體密度為ρ.假定在樁-土的耦合振動中，樁和土層發生小變形且樁-土之間緊密連接，不產生任何相對位移.

圖1 土層中的端承樁Fig.1 End-bearing pile in a soil layer

忽略土體的豎向位移，土體在柱坐標系Orθz下的動力控制方程［8］為

式中，λ*=2νG*/(1-2ν)和G*=G(1+2ξi)為土體的復Lamé常數，i=，ur和uθ分別為土層的徑向和環向的位移分量，并且

將式(3)代入運動方程(1)，可得勢函數Φ和Ψ的控制方程.若樁在Oxz平面內運動，則撓度可表示為

而相應的土阻抗［8］可表示為

2 樁-土系統的耦合振動

將樁視為Timoshenko梁，若樁在Oxz平面內變形，則樁撓度up(z，t)和橫截面轉角θp(z，t)的控制方程如下：

由方程(9)中的第一個方程，可得

式中，Ap1，Ap2，Ap3，Ap4為待定常數.

利用式(4)和(10)，可得

于是，有

式中，

同理，由方程(9)中的第二個方程，可得

由方程(8)中的第一個方程，可得

由樁底約束條件、樁頭邊界條件以及關系式(18)，可確定待定常數Ap1，Ap2，Ap3，Ap4，A'p1，A'p2，A'p3和A'p4.因此，可得樁彎矩Mp(z)和剪力Qp(z)分別為

3 動力剛度及數值結果

將在樁頭z=H處產生單位水平位移、且轉角為0所需的剪力和彎矩分別定義為樁頭復剛度KQu和KMu;而將在樁頭z=H處產生單位轉角、且水平位移為0的剪力和彎矩分別定義為樁頭復剛度KQθ和KMθ，其中復剛度的實部為樁的真實剛度，虛部表示由于彈性波傳播和材料內部耗能而引起的阻尼特性.

對于樁底部(z=0)的約束條件，如果底端為鉸支和固支，則邊界條件分別為

而樁頭(z=H)的邊界條件為

表1 不同剛度和約束條件的Λ0Table 1 Value Λ0for different stiffnesses and constraints

4 結束語

圖2 不同樁徑比下2種模型計算結果的比較Fig.2 Results comparisons between two models for different slenderness ratio of pile

圖3 =時的樁頭剛度Fig.3 Pile-head stiffnesses when=

圖4 =時的樁頭剛度Fig.4 Pile-head stiffnesses when=

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