關于一個非齊次核的Hilbert型積分不等式

楊必成

(廣東教育學院數學系，廣州510303)

式中，常數因子π為最佳值.式(1)為分析學中的重要不等式，它的推廣應用可參見文獻［2-3］.注意到式(1)的核是-1齊次的，文獻［4］系統綜述了負數齊次核的參量化Hilbert型不等式的研究方法與研究成果.近年來，相關研究開始由齊次核轉向非齊次核的不等式［5-9］，如文獻［6］中得到的具有最佳常數因子的積分不等式，即

本研究應用權函數的方法，建立如下類似于式(2)的非齊次核的Hilbert型積分不等式：

證明 配方，并由H?lder不等式［11］，得

這里，定義如下權函數：

再代入ω(x)的值，式(4)得證.

證明 若有y＞0，使式(5)等號成立，則有不全為0的常數A，B，使

對式(11)兩邊取p次方，可證得式(8)成立，且式(8)與式(7)等價.證畢.

證明 任0＜ε＜qα，設

由Fatou引理［12］，易得

定理3 若0＜p＜1，其他條件同定理1所述，則式(7)與(8)的逆向等價式成立，且相應的常數因子仍為最佳值.

證明 證法與定理1、定理2類似，先由逆向的H?lder不等式［11］，可得式(4)及(9)的逆式成立.由此易得式(8)的逆式成立，再將其代入式(9)的逆式，可得式(7)的逆式成立.反之，設有式(7)的逆式成立，置與定理1同樣的g(y)，則由式(4)的逆式知，J＞0.若J=∞，則式(8)的逆式顯然成立;若J＜∞，則由式(7)的逆式，易得式(10)及(11)的逆式成立，故有式(8)的逆式成立，且其與式(7)的逆式等價.

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