L2基的組態空間中修正P?schl-Teller勢的精確解

陳發堂， 張民倉

(1.上海電力學院數學物理系，上海200090;2.陜西師范大學物理學與信息技術學院，西安710062)

在量子力學中，尋求給定勢場波動方程的精確解析解始終是人們感興趣的問題.首先，詳盡地分析這些解析解能夠加深對相關物理問題的理解，進而能夠為修正和完善原有的物理學理論提供有力的支撐［1-2］;其次，為了研究更為復雜的物理學系統，需要建立新的模型并引入新的計算方法，而這些解析解對于檢驗所建模型是否正確及進一步完善新的計算方法具有重要的意義.一般來說，獲得精確解析解的方法是把給定勢場的波動方程轉化為確定的廣義超幾何方程，而方程的解能夠由各類相應的正交多項式表示.量子力學中的可解勢問題可分為三類，即精確可解勢問題、有條件的精確可解勢問題和準精確可解勢問題.精確可解勢問題是指當勢函數參數在其定義域內連續變化時，波動方程存在解析解，并能夠得到全部的能量譜;有條件的精確可解勢問題則是指當勢函數參數取特定值時，波動方程才存在解析解及相應的能量譜;而準精確可解勢問題則是指那些只有部分能量譜可以確定的勢場［3-4］.為了方便地研究量子力學中的可解勢問題，已經提出和發展了許多新的理論和方法，其中包括目前廣泛應用的因子分解方法［5］、群理論方法［6-7］、超對稱量子力學和形不變勢方法［8-9］等.

1 三對角化矩陣方案

由方程(1)容易得到，波函數展開系數滿足的三項遞推關系式如下：

式中，An為歸一化常數，Pn(x)為空間坐標x的n階多項式，wn為滿足條件wn(x±)=0的權函數，其中x-(x+)分別為空間的左(右)邊界.在求解一維勢場的波動方程時，有兩類空間是經常用到的，其中第一類空間的x±是有限的，并且

而另一類空間是半邊有限的，即x-是有限的，而x+是無限的，并且

式中，2F1(-n，b，c;x)為超幾何函數，1F1(-n，c;x)為合流超幾何函數.參數α，β，b和c均為實數，并且α和β為正數.這些參數一般都與所研究的問題相關，而對于束縛態，這些參數也與指標n相關.

式中，參數γ取整數時，平面波經此勢不發生反射，因而，修正P?schl-Teller勢也稱為無反射勢.由于無反射勢在KDV孤子理論等問題的研究中也有重要作用，因而，近年來一直受到人們的重視［15］.

2 修正P?schl-Teller勢的精確解

質量為M的粒子在一維勢場V(y)中運動時滿足的與時間無關(?=M=1)的Schr?dinger方程為

作變量替換x=tanh λy，則對應于y∈［-∞，∞］，x∈［-1，+1］，因而，一維修正P?schl-Teller勢滿足的Schr?dinger方程符合式(5)給出的具有邊界x= ±1的情況.由于超幾何函數2F1(-n，b，c;x)可以由Jacobi多項式(x)表示，于是在L2空間中滿足邊界條件的基函數可以選為

式中，α，β＞0，μ，ν＞-1，并且歸一化常數為

利用下面所給的Jacobi多項式滿足的微分方程和微分公式［10］：

可以得到

在式(14)的推導中利用了如下關系式：

最后，可以得到

式中，參數ν和μ必須滿足關系ν=μ，并且

由式(18)可以看出，參數ν和μ與能量相關.由于能量是負的，因而一維修正P?schl-Teller勢滿足的與時間無關的Schr?dinger方程必存在E＜0的束縛態解.另外，波函數系數的展開式(17)中并沒有出現式(2)中的bnδn，m-1和bn-1δn，m+1項，這是因為，對參數α和β的合適選取能夠實現三對角化矩陣的對角化.由式(3)和(18)，容易求出與束縛態相對應的分立能譜為

這一結論與其他方法得到的結果相一致［2］.由于n= 0，1，…，因而從方程(19)可以看出，當參數γ=n+ 1，即γ取整數時，一維修正P?schl-Teller勢無束縛態存在.最后，得到的束縛態波函數為

3 結束語

本工作是在L2基的組態空間中求解了一維修正P?schl-Teller勢滿足的Schr?dinger方程，由于L2函數空間能夠負載波算子的三對角化矩陣表示，因而求解Schr?dinger方程轉化成為尋求波函數展開系數滿足的三項遞推關系式.在大多數情況下，這個遞推關系式容易由熟知的正交多項式的相關性質得到，而束縛態的能譜方程可以由這個遞推關系式的對角化條件得到.以上的研究過程表明，合適地選擇勢場相關參數，能夠容易實現波函數展開系數遞推關系式的對角化.另外一維修正P?schl-Teller勢的Schr?dinger方程具有E＜0的束縛態解，相應的束縛態波函數可以由Jacobi多項式表示;當勢場參數γ取整數時，一維修正P?schl-Teller勢無束縛態存在.

［1］ SCHIFFL I.Quantum mechanics［M］.3rd ed.New York：McGraw-Hill，1955.

［2］ FLüGGES.Practical quantum mechanics［M］.Berlin：Springer，1974.

［3］ DESOUZA-DUTRA A.Conditionally exactly solvable class of quantum potentials［J］.Physical Review：A，1993，47：R2435.

［4］ NAG N， ROYCHOUDHURY R， VARSHNIY P.Conditionally exactly solvable potentials and supersymmetry［J］.Physical Review：A，1994，49：5098-5099.

［5］ DONGS H.Factorization method in quantum mechnics［M］.Netherlands：Springer，2007.

［6］ BANDERM，ITZYKSONC.Grouptheoryandthe hydrogen atom(Ⅰ)［J］.Reviews of Modern Physics，1968，38：330-345.

［7］ ALHASSIDY，GURSEYF，IACHELLOF.Potential scattering，transfer matrix，and group theory［J］.Physical Review Letters，1983，50：873-876.

［8］ COOPERF，KHAREA，SUKHATMEU.Supersymmetry and quantum mechanics［J］.Physics Reports，1995，251：267-385.

［9］ 黃博文，王德云.含有非諧振勢系統能譜的研究［J］.物理學報，2002，51：1163-1166.

［10］ ALHAIDARIA D.AnextendedclassofL2-series solutions of the wave equation［J］.Annals of Physics，2005，317：152-174.

［11］ ALHAIDARIA D，BAHLOULIH.Electron in the field of a molecule with an electric dipole moment［J］.Physical Review Letters，2008，100：110401.

［12］ BAHLOULIH，ABDELMONEM，M S，NASSERI M.Analytical treatment of the Yukawa potential［J］.Physica Scripta，2010，82：065005.

［13］ ELAAOUDE，BAHLOULIH，ALHAIDARIA D.Onedimensional solvable potentials in a tridiagonal representation space［J］.InternationalReview of Physics，2008，2：5.

［14］ 陳剛，樓智美.無反射勢阱中相對論粒子的束縛態［J］.物理學報，2003，52：1071-1074.

［15］ NOGAMIY，TOYAMAF M.Transparent potential for the one-dimensional Dirac equation［J］.Physical Review：A，1992，45：5258-5261.

［16］ 劉式適，劉式達.特殊函數［M］.2版.北京：氣象出版社，2002.