一種基于灰色預測模型的預測桁架結構疲勞壽命的數值方法

李 源 韓 旭 姜 潮 王林軍

1.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙,410082

2.國防科學技術大學,長沙,410072

一種基于灰色預測模型的預測桁架結構疲勞壽命的數值方法

李 源1,2韓 旭1姜 潮1王林軍1

1.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙,410082

2.國防科學技術大學,長沙,410072

以超靜定桁架結構為研究對象,提出了一種基于灰色預測模型(GM)的預測桁架結構疲勞壽命的數值方法。分析了對數階次處理的原則,確定了適合桁架結構疲勞壽命預測的階次;修正了臨界失效元件識別參數的定義,使約界參數的選擇更加精確;在主要疲勞失效模式搜尋前增加了臨界失效內力判據,減小了識別失效模式算法的計算量;應用改進的灰色預測模型估計威布爾分布函數,預測出不同可靠度下的桁架結構疲勞安全壽命。所提供的十桿桁架結構的算例證明了該數值方法的有效性。

超靜定桁架結構;對數準則;灰色預測模型;威布爾分布;疲勞壽命預測

0 引言

關于結構系統疲勞壽命的可靠性分析,目前研究較多的是結構系統疲勞失效概率的計算方法,很少有學者以數值方法來預測不同可靠度下結構系統的疲勞壽命[1-2]。關于預測疲勞載荷作用下結構系統壽命的數值方法的研究主要包括:①識別結構系統主要疲勞失效模式的算法研究;②以各主要失效模式疲勞壽命作為樣本值,對結構疲勞壽命分布參數進行估計的方法研究。

對于工程中常用的超靜定桁架結構,識別主要疲勞失效模式的算法的選擇至關重要。國內外學者的研究多集中在靜載作用下的結構主要失效模式識別[3-6]。呂海波、姚衛星率先提出了一種枚舉桁架結構系統疲勞失效模式的工程準則法,并以十桿桁架結構為例,采用失效概率作為判據來搜尋得到結構的主要失效模式[7]。李洪雙等[2]優化了工程準則法,提出了一種以臨界失效元件識別參數作為判據的對數準則法。對數準則法簡單實用,但在臨界失效元件識別參數的定義中,未考慮對數的階次對臨界參數定義精度的影響。另外,只有所受內力高于其疲勞強度的元件才會發生疲勞破壞,但對數準則法在每次疲勞失效模式搜尋開始前需計算每個元件的壽命,導致計算量較大。

在桁架結構壽命分布參數估計方法研究方面,文獻[2]假定結構疲勞壽命分布參數服從對數正態分布,采用單側系數法得到了不同可靠度下的疲勞壽命。但對于單個元件疲勞失效引起全局失效的桁架結構的壽命估計,假定服從三參數威布爾分布更符合工程實際。且威布爾分布函數存在最小壽命,即100%可靠度的壽命,符合疲勞破壞的實際情況[8]。

針對以上問題,本文研究了對數階次對識別參數精度的影響,修正了臨界失效元件識別參數定義,在主要疲勞失效模式搜尋前增加了臨界失效內力判據,提出了一種改進的對數準則法。進而以不同失效模式疲勞壽命值為母體樣本值,應用改進的灰色理論模型對桁架結構的威布爾分布參數進行估計,預測出不同可靠度下的結構安全壽命。

1 數據的對數處理原則

數據的對數處理可提高其線性化程度,降低不確定性的影響。文獻[9]中提出了數據的對數處理原則:

級比參數σm(k)與下文的臨界元件失效識別參數的定義相一致?？赏ㄟ^選取合適的m,使得σm(k)變化區間到達滿意的精度。

取本文算例中的一組疲勞壽命值序列X來進行驗證。令 X=(x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6))=(0.3625×106,0.3812×106,0.3953×106,0.8449×106,0.9725×106,2.8422×106),根據上述計算公式,當對數的階次m分別取1、2、3時,得到的 ym(k)和σm(k)值如表1所示,其中,帶下劃線的數字為相應的ym,min(k)值。

表1 對數序列值及級比參數值(m=1,2,3)

當階次m分別取1和2時,σm(k)的變化區間為[0.8594,1]和[0.9439,1],比較可得m=2時的區間取值范圍變小,選取的約界參數更加精確。文獻[2]中取一階對數,確定的約界參數的值分別為0.8和0.9,本文中取二階對數,約界參數的值可提高到0.95和0.98。

但階次m的值并非越大越好,過大的m會使lnmx(k)過分減小,這樣σm(k)反而會減小,表1表明:當m=3時,σ3(k)反而比σ2(k)有所下降。對本文中研究的問題,取二階對數已能滿足精度要求。

2 識別主要疲勞失效模式的算法

2.1 確定第1級失效元件

假設一個桁架結構含有L個元件,受到疲勞載荷的作用,使用有限元方法進行內力分析后,得到每個元件的循環應力分別為

(1)當元件所承受的循環應力高于其疲勞極限時才會產生疲勞破壞。臨界失效內力判據為

式中,σfailure為元件的疲勞極限。

為了提高效率,只取滿足臨界失效內力判據的元件進行計算。

(2)由S-N曲線得到上步所求的各個元件的疲勞壽命為n1,1,n1,2,…,n1,L,取

取滿足不等式C≤Ci≤1的元件作為第1級失效元件,其中常數C為約界參數(contro l am bit parameter,CAP),其值應視后續失效元件的破壞概率的大小而定。本文中取二階對數后可使約界參數限制在精度較高的區間。CAP的取值大小將影響結構系統的失效路徑和總的安全疲勞壽命評價[10]。

2.2 失效歷程第p+1級臨界元件的確定

設此時結構在疲勞載荷作用下,在 p+1級之前沿某一失效路徑已有k1,k2,…,kp共p個元件失效,失效歷程各階段載荷所作用的時間分別為n1,n2…,np。

(1)去除最近失效的元件kp,結構的載荷將重新分配,尚未失效的元件將承擔原由失效元件kp所承擔的那部分載荷,根據有限元方法確定尚未失效元件ki(i=p+1,p+2,…,L)的循環應力Sp+1,ki。同樣地,取滿足臨界失效內力判據S1,i≥σfailure的元件進行計算。

(2)在k1,k2,…,kp共p個元件失效的過程中,每一個元件失效都會引起尚未失效元件所受應力的變化,因此,尚未失效的元件已承受了 p級循環載荷的作用。此時依據M iner線性疲勞損傷理論,計算桁架結構未失效元件總的疲勞累積損傷。定義失效歷經第p級而未失效的元件ki的累積損傷為Dp,ki:

同理,取滿足不等式C≤Ci≤1的元件作為第p+1批失效元件。

2.3 停止搜索條件

如果當q級元件失效后,下一級失效過程中的某元件 Nq,failure的最大循環應力值Sq,failu re因大于等于σb(σb為元件的抗拉極限)而發生靜力失效,從而導致整個結構失效,則停止搜索直接進入下一個階段。如果min(nki)非常大,則認為該失效模式不會發生,停止搜索。在完成一個失效模式的搜索后,再重復以上過程直至枚舉出全部失效模式。

設某一失效路徑i有k個元件失效,將失效元件每一階段所受循環應力水平Si,k及相關參數代入式(5),可以求得在各級循環應力水平下結構所經歷的循環次數n1,n2…,nk,對應于這一失效模式i,桁架結構壽命Nik,failure可表示為

由此便可求得桁架結構疲勞壽命母體的多個最有可能出現的樣本值。整個失效模式枚舉的流程如圖1所示。

3 基于GM的威布爾分布參數估計

由于存在三個參數,使得威布爾分布的參數估計有一定困難。在樣本數量較小時,應用改進的灰色模型GM(1,1)灰色理論進行威布爾分布

圖1 主要疲勞失效模式枚舉法的流程圖

參數估計,速度快且具有較高的精度[11]。

三參數威布爾分布的函數為

通過式(11)可預測出當R(x)為不同值時桁架結構的最小疲勞安全壽命。

對式(11)兩邊取自然對數可得:

按照文獻[12]灰色理論方法,這與改進的灰色模型GM(1,1)的解的形式(式(16))完全一致:

因此可以用一階灰色模型直接建模法求得威布爾分布的三個參數,代入式(11)可預測出桁架結構在不同可靠度下的疲勞壽命。

4 算例

為驗證改進方法的正確性,以文獻[7]中的十桿桁架為例,進行了不同可靠度的桁架結構疲勞壽命預測。圖2所示的十桿桁架的結構材料是LD10CS鋁合金,其彈性模量為E=71GPa,泊松比為 μ=0.29,其斷裂強度為 σb=552M Pa,屈服強度 σs=464MPa,各桿的長度 l=400mm,桿 1和桿2的橫截面積為 A1=A2=200mm2,其余桿的橫截面積為100mm2,在結構的右端承受著載荷值P max=25kN、循環應力比R=0.1的疲勞載荷,元件采用桿單元,失效方式為疲勞載荷破壞。材料的原始試驗數據取自文獻[13],應力集中系數K t=3,假定各桿光滑且不考慮尺寸效應,擬合的S-N的曲線為

圖2 十桿桁架結構圖

4.1 枚舉結構的主要失效模式

由有限元程序求出各桿的循環應力,依據式(17)計算相應的疲勞壽命,按照上述改進的對數準則法,得到的約界參數為0.95和0.98時的主要失效模式見表2。

表2 十桿桁架主要疲勞失效模式

CAP值取得太大,會漏掉部分主要的失效模式,CAP值取得太小,會出現許多偽失效模式,因此CAP取值十分重要[10]。CAP取0.98時桁架結構的失效模式比取0.95時少了三個主要失效模式,因此該桁架系統CAP取0.95是合適的。采用本文中枚舉失效模式的方法得到9個主要失效模式,與文獻[7]中工程準則法確定的失效模式是一致的。依據Miner公式(式(5))計算出每個失效模式對應的疲勞壽命值(表2)。

4.2 威布爾壽命分布參數估計

以表2各個失效模式對應的疲勞壽命值為樣本數據,采用上述基于改進的GM(1,1)灰色模型的參數估計方法得到的灰色模型為

與式(15)對應可確定威布爾分布的三個參數。表3所示為基于灰色模型估計的威布爾壽命值及誤差檢驗。從表3中可以看出,較大誤差主要出現在樣本8和樣本9,按照文獻[9]中的理論,因樣本模型為非等間隔GM(1,1)模型,且兩點都不在原點位置,可除去這兩點,則參數估計模型平均誤差在10%以內,即滿足精度要求。

表3 基于灰色理論模型的威布爾參數估計

根據上述模型得到十桿桁架對應的威布爾分布函數的可靠度為

則根據式(12)可預測出桁架系統在不同可靠度下的疲勞壽命值,如表4所示。隨著可靠度的逐漸提高,桁架結構的疲勞壽命逐漸降低,其中可靠度為100%的最小安全壽命值為0.2678×106。

表4 不同可靠度的結構系統疲勞壽命

5 結論

建立了一種基于GM的枚舉桁架結構的主要疲勞失效模式的數值方法。在臨界失效元件參數定義中,取二階對數,使約界參數定義在精度較高的區間。在枚舉主要疲勞失效模式的算法中,增加了臨界失效內力判據,提高了算法的效率。應用改進的灰色理論模型估計威布爾壽命分布參數,可預測出不同可靠度下桁架結構疲勞壽命。最后以十桿桁架系統為例,驗證了該數值方法的有效性。

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A Numerical Method of Fatigue Life Prediction for Truss Structure Based on Grey M odel

Li Yuan1,2Han Xu1Jiang Chao1Wang Linjun1
1.State Key Laboratory of Advanced Design and M anufacturing for Vehicle Body,Hunan University,Changsha,410082
2.National University of Defense Technology,Changsha,410072

A numericalmethod o f fatigue life prediction of statically indeterminate truss structure based on gray model was estab lished herein.This paper analyzed p rinciples in dealing w ith the order of logarithm tim es,and determined right order of times to p redict fatigue lifetime.Then it amended the definition of the critical parameters identifying failureelements,so that the choices of bounded parameters were more accurate.Before the search of main fatigue failure modes,this paper added the critical failure internal stress criterion,reducing the calculation of recognition algorithm s for identifying failuremodes.Based on the improved grey model(GM),it estimated the Weibull distribution function,and calculated different safe lifetimes of truss structure system under different reliability degrees.The numericalexamp le of 10 truss structure show s the validity of the numericalmethod established.

statically indeterm inate truss structure;logarithm principle;grey model;Weibull distribution;fatigue life prediction

TB114.3;O346.2

1004—132X(2011)06—0710—05

2009—12—28

2011—01—19

國家杰出青年基金資助項目(10725208);長江學者和創新團隊發展計劃資助項目(531105050037);國家科技重大專項(2010ZX 04017-013-005);湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室自主課題(60870003)

(編輯 盧湘帆)

李 源,男,1983年生。湖南大學機械與運載工程學院博士研究生,國防科學技術大學指揮軍官基礎教育學院講師。主要研究方向為材料及結構疲勞可靠性優化、車輛CAD/CAE工程。發表論文6篇。韓 旭,男,1968年生。湖南大學機械與運載工程學院教授、博士研究生導師,長江學者特聘教授。姜 潮,男,1978年生。湖南大學機械與運載工程學院副教授、博士。王林軍,男,1982年生。湖南大學機械與運載工程學院博士研究生。