“動柵式”分光計的設計與實驗研究

劉 亮，熊永紅，曾志杰，李莉君，范淑媛

（華中科技大學物理學院，湖北武漢430074）

1 引 言

分光計通過精確測量光柵與望遠鏡的轉角，來測定光柵常量.實驗時一般采用固定光柵而轉動望遠鏡的方式，可以稱之為“轉筒式”.“轉筒式”測量方法的前提是入射光線與光柵平面嚴格垂直，即正入射[1].正入射的優點有：1）理論推導過程及計算表達式簡單；2）操作便捷，可重復性較好；3）實驗現象明顯，有對稱的衍射條紋.但學生目測入射光和光柵是否垂直會引入一定誤差，而且垂直入射只是光柵衍射的一種特殊的情況，所以缺乏對光柵衍射的全面了解.除了正入射法，還可以采用最小偏向角法[2]，避開斜入射帶來的誤差問題，但其對平臺的調整要求更高.除此之外，上述2種“轉筒式”測量方法均由手動操作完成，轉動過程中觀察者的眼睛要跟著鏡筒一起動，若將分光計改為自動測量，將會帶著一個“大尾巴”（即傳感器的數據線）來回擺動，很不方便.

基于以上原因，我們在做分光計拓展實驗內容時，采用逆向思維的方法，將轉動望遠鏡的方式改變為轉動光柵的方式，進行了理論設計、數值模擬和實驗研究，設計了“動柵式”分光計.“動柵式”分光計有以下幾個優點：1）轉變了思維模式，避免了偏離正入射引入的誤差；2）觀察到了新的實驗現象，當調節望遠鏡筒與準直管夾角逐漸變小至零度時，衍射圖像中的條紋會依次消失，先是長波長對應的條紋消失，后是短波長對應的條紋消失，可以推導出每種波長消失的“臨界角”；3）雖然“動柵式”的光柵衍射方程比正入射復雜些，但適應范圍更廣，有利于提高學生光路調節技能，培養提出問題、分析和處理問題的能力；4）將望遠鏡改為光電傳感器時，不存在拖著“大尾巴”來回擺動的問題.將刻度盤改為精密的角度編碼器[3]，可以將分光計改進成數字式測量儀器，用于光柵特性檢測和各種光源光譜的精確快速測量.

2 設計原理

“動柵式”分光計要求固定準直管和望遠鏡而轉動光柵，最簡單的處理方式是讓望遠鏡與準直管處于同一直線，轉動光柵，通過相鄰狹縫的光線間的光程差為Δ＝dcosθ－dcosθ＝0（d為光柵常量，θ為光柵轉角）.該情況下，光柵轉動過程中只能觀測到白色的亮條紋.若看到彩色條紋，望遠鏡和準直管必須有一定的夾角，記為α0（圖1）.

圖1 望遠鏡與準直管夾角α0

取望遠鏡和光柵之間的夾角θ（光柵轉角）作為變量.轉動光柵時，從準直管發出的光線可以透過光柵或者經光柵平面反射進入望遠鏡，此處只考慮透射的情況（圖1）.轉動光柵使θ角從0°到π－α0的范圍內變化.考慮此時通過光柵上相鄰兩狹縫的光線之間的光程差，需要分為3種情況（圖2）.可以看出，每種情況左邊的光線經過的光程Ω1都要大于右邊光線的光程Ω2.第一種情況：左邊光的光程是Ω0＋dcosθ，右邊光的光程是Ω0＋dcos（α0＋θ）.

圖2 光線透射造成光程差的3種情況

同樣，后兩種情況的光程差分別為：

所以，3種情況下的光程差相同.假設入射光為單色光，波長為λ，根據光學知識，衍射條紋出現的條件是：

式中k取整數，是衍射級次.如果已知光波長λ及光柵常量d，可得：

α0的取值范圍是0°～180°，θ的取值范圍是0°～180°－α0.

3 數值模擬

根據式（4）可以求出各級譜線的角分布情況.例如，對于汞燈的4條光譜線（紫光435.84nm，綠光546.07nm，黃光一576.96nm，黃光二579.07nm），取線度為600線／mm的光柵，求解θ角.為此，可以先將式（4）變為

這樣就可以把式（5）左邊看成是θ的函數f（θ），其與y＝k的交點對應的橫坐標即為所求.下面給出α0為22°時的數值模擬情況（見圖3，由于雙黃線波長接近不利于畫圖，圖中只考慮了黃線二：579.07nm）.

圖3 作圖法求解衍射極大角

從圖3中可以看出，衍射條紋是左右對稱的，其對稱軸為（π－α0）／2＝79°，這不難理解，因為光柵轉動的前半程和后半程是對稱的.采用作圖法，改變α0值的大小，可以方便地得到光譜分布.

下面考慮改變α0角.以紫光（435.84nm）為例，在不同的α0角下，f（θ）曲線會出現伸縮和平移（見圖4）.圖中有兩點重要之處：

圖4 不同α0角時紫光光譜的分析

第一，當α0角變化時紫光衍射條紋的角分布情況和衍射級次都會發生變化，當α0＞30°19′時有高級（k≥2）條紋出現，而低級條紋會消失.當α0＜15°01′時，各級衍射條紋都會消失.此α0角對應的“消失臨界”公式可由式（4）中令k＝1及θ＝（π－α0）／2推出

第二，圖中所有f（θ）曲線的波峰在1條直線上，因為波峰對應的角度值θ波峰與α0滿足關系θ波峰＝（π－α0）／2.

4 實驗研究

采用“動柵式”分光計，對汞燈的紫、綠、雙黃4條光譜線進行測量，觀察α0分別為22°和45°時光譜分布情況，根據測得的θ值代入式（5）求出波長，如表1所示.

表1 實驗測量汞燈光譜數據

實驗得到的波長值與汞燈波長的標準值符合得較好，相對偏差都在1%以下.實驗測量的衍射角與圖3中數值模擬的角度值吻合.將α0在0°～90°內變動，可觀測不同的透射光譜線.α0的值大于45°以后，衍射條紋強度會變得很弱以至于無法觀測.要觀測到明顯的亮條紋，則α0的角度越小越好，但是當α0低于20°00′時，雙黃線先消失，減小至18°51′時，綠線也會消失，低于15°01′時，紫線也消失（與前面的模擬結果對應），此時，汞燈的衍射圖譜中看不到亮條紋.所以，如果要觀察到明顯且豐富的衍射譜線，α0的取值在21°～45°最為適宜.

5 結束語

本文給出了“動柵式”分光計光源波長與光柵轉角θ的關系.對汞燈譜線的衍射情況進行了數值模擬和實驗研究.數值模擬給出了求解θ值的一種便捷方法——作圖法.實驗觀測了汞燈4條譜線的波長，測量值與汞燈波長標稱值符合得很好.“動柵式”分光計與“轉筒式”分光計相比，理論推導雖然要復雜一些，但是有助于我們更深入理解光柵衍射的物理本質，也有益于培養學生的逆向思維和處理復雜問題的能力.

[1] 熊永紅，張昆實，任忠明，等.大學物理實驗[M].北京：科學出版社，2007：56－60.

[2] 金逢錫，孫龍，王成貴.用光柵最小偏向角法測定光波波長[J].延邊大學學報（自然科學），2003，29（2）：100.

[3] 陳劍波，王姝，萬振茂，等.角度傳感器在分光計實驗中的應用[J].物理實驗，2008，28（5）：5.