利用琴生不等式證明一類(lèi)條件不等式

●王洪斌 (武隆中學(xué) 重慶 408500)

利用琴生不等式證明一類(lèi)條件不等式

●王洪斌 (武隆中學(xué) 重慶 408500)

筆者通過(guò)很長(zhǎng)一段時(shí)間的觀察和研究，發(fā)現(xiàn)有一類(lèi)條件不等式可以利用琴生不等式給予其簡(jiǎn)單的統(tǒng)一證明，并還可以對(duì)原有命題進(jìn)行有益的推廣．而很多文章在證明中都是運(yùn)用重要不等式及柯西不等式，在操作中比較復(fù)雜，不容易掌握．為了說(shuō)明這一方法操作的統(tǒng)一性，本文從以下幾個(gè)方面著重談?wù)勄偕坏仁皆谶@一類(lèi)條件不等式中的統(tǒng)一證明，并對(duì)其給出相應(yīng)的推廣．

琴生不等式若f(x)在區(qū)間I內(nèi)上凸，則對(duì)任意 x1，x2，…，xn，以及任意的 λ1，λ2，…，λn∈R+，

若f(x)在區(qū)間I內(nèi)下凸，則不等號(hào)反向．其中當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)，等號(hào)成立．

用琴生不等式考查不等式問(wèn)題時(shí)，必須選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使其在某個(gè)區(qū)間內(nèi)上凸或下凸，這樣問(wèn)題便可簡(jiǎn)化．

λ1+λ2+… +λn=1，必有

3 不等式為和式型

［1］ 文開(kāi)庭．一組征解問(wèn)題的統(tǒng)一推廣及應(yīng)用［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，1997(1):22-23．

［2］ 錢(qián)亦青．某些條件極值問(wèn)題的向量解法［J］．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2002(15):17-19．

［3］ 楊先義．一個(gè)不等式的推廣［J］．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2002(19):30．

［4］ 孫世華．?dāng)?shù)學(xué)推廣的基本模式［J］．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2005(1):15-16．