數形結合 化難為易

●張惠民 (柯橋中學 浙江紹興 312030)

數形結合 化難為易

●張惠民 (柯橋中學 浙江紹興 312030)

1 考試要求

數形結合是高中數學中的一種重要的思想方法．主要體現在“對文字語言、符號語言及圖形語言的互相轉化”上，即既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使代數的精確性與幾何的直觀性巧妙、和諧地結合，使抽象思維與形象思維有機地相互配合．解析幾何和線性規劃分別是“以數輔形”和“以形助數”的典型代表，而向量則是數形結合的典范．相對而言，“以形助數”對學生思維品質和化歸能力的要求更高，需要把抽象的數學語言、數量關系轉化為直觀的幾何圖形與位置關系，把抽象思維轉化為形象思維，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而達到優化解題途徑的目的．

2 考點回顧

在每年的高考試題中，考查數形結合思想的試題總占有一席之地．主要表現在:方程解的個數、參數的范圍、解不等式、值域與最值、線性規劃問題等．而浙江省高考試卷中的向量題則是常出常新，已成為高考特色和亮點之一．

3 命題走勢

縱觀近幾年浙江省的數學高考試題，選擇題和填空題的中檔題十分強調試題的幾何背景．在新課程更加注重形的展示與量的刻畫的大背景下，數形結合思想的考查只可能進一步加強，因此必須引起高度的重視．

4 典例剖析

(2008年江蘇省數學高考理科試題)

分析記g(x)=ax3，h(x)=3x－1，則 g(x)≥h(x)在［－1，1］上恒成立．

(1)當a=0時，不滿足條件;

(2)當a＜0時，由圖1知，不滿足條件;

(3)當a＞0時，由圖2知，在第三象限只需g(－1)≥h(－1)即可，解得 a≤4．在第一象限，若g(x)與 h(x)的圖像相切于點(x0，y0)，則

圖1

圖2

圖3

圖4

評析本題出現了3個不同的向量α，β和β－α，通過向量減法的三角形法則，可將條件濃縮到一個三角形中．向量的模對應三角形的邊長，向量的夾角對應三角形的一個外角，這樣很自然地把代數問題轉化成了三角形中邊長度的范圍問題．

圖5

圖6

精題集粹

1．在平面直角坐標系xOy中，已知平面區域A={(x，y)|x+y≤，x≥1，y≥0}，則平面區域 B={(x+y，x－y)|(x，y)∈A}的面積為 ( )

(2009年浙江省數學高考理科試題)

參考答案

1．B 2．D 3．C

4．a＞6或a＜ －6