高考待定系數法與數學歸納法復習指導

●許志鋒 (黃巖中學 浙江臺州 318020)

高考待定系數法與數學歸納法復習指導

●許志鋒 (黃巖中學 浙江臺州 318020)

1 考點分析

待定系數法蘊含著探究意識,體現了方程思想,是一種重要的數學方法.高考試題中考查待定系數法的題型一般為:求曲線方程(或函數解析式)、求數列的通項公式以及通過向量方法確定空間點或線的位置等等.其中,用待定系數法求曲線方程的題目差不多在每份高考試卷中都會出現.雖然難度不大,但考生往往不能以最簡潔的方式建立待定系數之間的關系,致使計算繁雜或無法完成.

數學歸納法是一種關于自然數命題的證明方法.一方面,它給出了一種可以程序化操作的思路;另一方面,在具體的實施過程中,又需要科學觀察、適當變形、深入分析、綜合處理,是考查數學思維能力的絕好素材.因此有一些省、市的數學高考試題中設置了數學歸納法的解答題,而且以證明恒等式或不等式的問題居多,有一定的難度.

2 典題剖析

題型 1 在立體幾何問題中探求點的位置

例 1 如圖 1,在三棱錐 P-ABC中,P A,P B,P C兩兩成 60°角,它們的長度分別為 3,2,3,試確定點C在平面 P AB上射影 D的位置.

圖1

圖2

題型 2在解析幾何問題中求曲線方程

例 2橢圓 E的中心在原點,焦點 F1,F2(F1為左焦點)在 x軸上,點P(0,-1),過 F1作斜率為1的直線交橢圓于點 A,B,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數列,|P A|=|P B|,求橢圓 E的方程.

(2010年全國數學高考試題第 20題改編)

點評(1)在以上解答過程中,雖然只有 a,b(c)是待定系數,但是題目涉及到直線與橢圓的 2個交點間的距離及 AB的中點,還引進了 x1,y1等輔助量.因此解題時先將題意用交點、中點的坐標表示,再將坐標用待定系數表示,并最終求得這些系數.這種解題方式在解析幾何問題中非常普遍.

(2)雖然條件“|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數列,|P A|=|P B|”可直接用坐標乃至系數通過距離公式表示,但當我們將題目所給的條件與橢圓的定義、線段中垂線的性質聯系起來時,發現可以用更為簡潔的關系式(1)和(2)來等價表示.可見,待定系數法的關鍵步驟(建立方程)不一定要按原題“直譯”,往往要先轉化,再表達,即“意譯”.

點評在以上解法中,猜想“存在一個二次函數 f(n),使得 an+1+f(n+1)=2[an+f(n)]成立”是關鍵.可見,待定系數法不僅適用于已知形式的關系式(如橢圓的標準方程)的求解,也適合于對關系式類型本身的探究.當然,進行合理的猜想需要相應的知識和經驗,更需要仔細觀察、大膽嘗試.

例 4設數列 a1,a2,…,an,…中的每一項都不為 0,證明:{an}為等差數列的充分必要條件是:對任意 n∈N+,有

(2010年安徽省數學高考試題)(2010年湖北省數學高考理科試題)

分析必要性(即若{an}為等差數列,則式(5)成立)不難證明;以下用數學歸納法證明充分性.

由于式(5)含有 n+1項,而數學歸納法限于從 n=k命題成立去推證 n=k+1時命題成立,因此首先需要由式(5)得到相鄰兩項之間的遞推關系,并以這個關系作為證明的依據.

充分性的證明因為對任意 n∈N+式(5)均成立,所以當 n≥2時,

點評由于中學所知的數學歸納法的關鍵步驟是從 n=k命題成立去推證 n=k+1時命題成立,因此需要將題目所給的條件轉化為相鄰兩項的遞推關系,以便于將假設產生的 ak直接代入這個關系式中求得 ak+1.其推理模式為:由

故不等式(11)得證.

綜上所述,任意 n∈ N+,式(9)成立.

精題集粹

1.在例 1中于直線 AB上找一點 E,使得 P E⊥P C.

2.橢圓的中心在原點,左、右焦點 F1,F2在 x軸上,左、右頂點為 A1,A2,上 、下頂點為 B1,B2,已知|A1B1|=,并且四邊形 A1B1A2B2的面積是四邊形 F1B1F2B2面積的 2倍.求橢圓的方程.

圖4