換元法在數學高考中的應用

●陳海玲 詹爽姿 (杭州市第二中學東河校區 浙江杭州 310009)

換元法在數學高考中的應用

●陳海玲 詹爽姿 (杭州市第二中學東河校區 浙江杭州 310009)

數學思想方法是對數學知識在更高層次上的抽象和概括.在考查時,要與數學知識相結合,通過對數學知識的考查,反映考生對數學思想方法的掌握程度.

縱觀全國和各省、市近幾年的數學高考試題,筆者發現加大了對數學思想方法的考查,重視考查學生的能力,將數學思想方法的考查滲透在整套試卷中.換元法體現的是整體思想,往往出現在解決某一問題的數據處理過程中,通過引進新變量把分散的條件聯系起來,隱含的條件顯露出來;或者把條件與結論聯系起來;或者變為熟悉的形式,把復雜的計算和推證簡化.

1 命題走勢

筆者預測在 2011年的數學高考試卷中,換元法仍會以函數、三角、不等式、數列、解析幾何等知識為背景,重視整體思想的應用.在處理數的關系問題中,通過換元法把不熟悉、不規范、復雜的非典型性問題轉化為熟悉、規范、簡單的典型性問題,起到化隱性為顯性、化繁為簡、化難為易的作用,以優化解題過程.

2 典例剖析

換元的方法有:局部換元、三角換元、均值換元等.換元可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式等.下面結合具體問題來看換元法在各類問題中的應用.

4.1 利用換元法研究函數的有關性質,解決函數的最值和值域問題

例 1縣城 A和 B相距 20 k m,現計劃在兩縣城外以 AB為直徑的半圓弧AB上選擇一點 C建造垃圾處理廠,其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關.對城 A和城 B的總影響度為城 A與城 B的影響度之和,記點 C到城 A的距離為xk m,建在點 C處的垃圾處理廠對城 A和城 B的總影響度為 y.統計調查表明:垃圾處理廠對城 A的影響度與所選地點到城 A的距離的平方成反比,比例系數為 4;對城 B的影響度與所選地點到城 B的距離的平方成反比,比例系數為 k.當垃圾處理廠建在AB的中點時,對城 A和城 B的總影響度為0.065.

分析這是一道典型的函數綜合應用題.首先根據題意建立函數關系式,然后討論其單調性,考慮函數的最值問題.本題可以用導數作為工具解決函數的單調性和最值問題,但是若注意到函數解析式的特征,則可以用換元法簡化解析式,然后利用基本不等式這一工具,通過單調性的定義證明單調性和求最值問題.本題主要考查了函數在實際問題中的應用,通過運用待定系數法求解函數解析式的能力以及運用換元法和基本不等式研究函數的單調性等問題.

例 2對于滿足|p|≤2的所有實數 p,求使得不等式 x2+p x+1＞2x+p恒成立的 x的取值范圍.

繼電保護裝置是一種自動裝置，在電力系統中主要負責電氣設備的安全可靠運行，這是它的主要職責也是任務。在繼電保護系統中，可靠性通常包含有所用元器件參數的可靠性和保護裝置電路結構性能的可靠性。由于繼電保護電路整體設計復雜，且電路中為保證整個系統的可靠性，在電路中大多都包含有防干擾，防過壓，自動決策，監視和測試以及原件的故障自鎖等功能，因而要保證整個系統的可靠穩定，元器件參數的可靠性也顯得非常重要。

(2009年山東省數學高考理科試題)

(1)將 y表示成 x的函數.

圖1

4.2 通過轉換“元”的角色來實現化繁為簡

(2)討論第(1)小題中函數的單調性,并判斷弧AB上是否存在一點,使建在此處的垃圾處理廠對城 A和城 B的總影響度最小?若存在,求出該點到城 A的距離;若不存在,請說明理由.

分析本題涉及 2個變量,若把這樣的式子看成關于 x的二次不等式,則解題過程較為繁瑣.若換一個角度看,即把 p看成主元,則可看成是關于p的一次不等式,從而簡化解題過程.

平時孩子們也能說出這樣的話：“昨天放學后，我一眼就看到了校門口茫茫人海中的媽媽，媽媽也馬上就看到了我。”我想孩子們已經真正地深層次地理解了“茫茫”這個詞。

從2012年開始，轟動教育界的MOOC教學出現了，讓比爾·蓋茨的預言正逐漸變為現實。在中國，上海交通大學于2014年成功自主研發的、中國最高水平的大學慕課聯盟“中國大學MOOC”正式上線發布。目前已有北京大學、香港大學和臺灣清華大學等一流高校的1 800多門精品公開資源共享課程上線，讓學生自主選擇高水平教育資源成為現實。在國外，斯坦福大學的人工智能課程，實體課堂的學生只有175人，然而，在線上卻有著10萬學生選擇在線學習，教育資源的信息化與公開化令越來越多的學生擁有了學習的選擇權。

解原不等式可化為

明治時期是日本從封建社會步入近代社會的開端，更是國家在科學技術、社會文化、思想意識等經濟基礎和上層建筑兩方面獲得急速發展的時期，對明治文學的研究，不但可以使我們進一步明晰明治文學的本質，通過文學進一步了解日本近代政治思想體系和歷史文化變遷乃至近代國家的發展脈絡。對明治的借鑒可以使我們從多角度思考本國乃至世界文化的發展，為人類共同體的構建提供可行的思路。因此，明治文學研究很有必要。

4.3 通過換元將復雜的值域問題以簡單的形式呈現,簡化解題過程

在分離系數求字母參變量取值范圍問題中,在分離字母系數后,常常需要求函數的最值問題.這一般是通過換元將復雜的值域問題以簡單的形式呈現,簡化解題過程.

4.4 換元法在求函數的最值問題中的應用

4.5 換元法在解析幾何中的應用

4.6 用換元法解三角函數問題