從一道高考題談無字證明

●康小峰 (栟茶高級中學 江蘇如東 226406)

從一道高考題談無字證明

●康小峰 (栟茶高級中學 江蘇如東 226406)

題目設a＞0，b＞0，則為 a，b的調和平均數，如圖1，C為線段AB上的點，AC=a，CB=b，O為AB的中點，以AB為直徑作半圓．過點C作AB的垂線交半圓于點D，連結OD，AD，BD．過點C作OD的垂線，垂足為E，則圖中線段OD的長度為a，b的算術平均數，線段＿＿ 的長度是a，b的幾何平均數，線段＿＿ 的長度是a，b的調和平均數．

(2010年湖北省數學高考理科試題)

圖1

這道題源于蘇教版普通高中教科書《數學》必修5第3．4節．在講解定理:“2個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數”后，教材中給出了這一定理的一種幾何解釋．其實該題更為深刻的背景是近年來一些數學家特別關注的將數學命題用簡單、有創意且易于理解的幾何圖形來呈現的無字證明(如圖1)．無字證明問題源于20世紀90年代末美國《數學雜志》開辟的專欄:沒有文字的證明(Proof without words)．無字證明古已有之，例如趙爽的“弦圖”、畢達哥拉斯學派的“形數”等，均屬典范．我們在學習中經常用到的“數形結合”方法和無字證明的關系也是比較密切的．從這道高考題的背景，我們能感受到無字證明為數學問題的解決提供了獨特的視角:簡潔、直觀．

以往的高考試題中雖然有以數形結合思想來考查不等式幾何意義的題目，但沒有直接考查均值不等式幾何意義的試題．在高三復習中，教師也可能很少注意到這一問題，因此大部分考生拿到此題無從下手，正確率就可想而知了．其實，蘇教版數學教科書必修5第98頁的探究拓展中就給出了一種典型的無字證明方案:

如圖2，ABDC 為梯形，其中 AB=a，CD=b，設O為對角線的交點．若GH表示平行于兩底且與它們等距離的線段(即梯形的中位線)，KL表示平行于兩底且使梯形ABLK與梯形KLDC相似的線段，EF表示平行于兩底且過點O的線段，MN表示平行于兩底且將梯形ABDC分為面積相等的2個梯形的線段．試探究線段 GH，KL，EF，MN與代數式

圖2

之間的關系，并據此得到它們之間的一個大小關系．你能用基本不等式證明所得到的結論嗎?

很多教師怕耽誤教學進度對此問題視而不見，或在此一帶而過，甚至認為是浪費時間而不愿和學生一起欣賞它，這就失去了一個極好地對學生進行無字證明教育的機會．因此，筆者認為可以在平時的課堂教學中適當引入一些無字證明．一來可以加深學生的印象，激發學生的學習興趣;二來可以開拓學生的視野，發現數學的優美．這樣學生在遇到此類問題時既能夠從容面對，又不至于造成無謂的失分．美國家喻戶曉的數學科普大師Martin Garder曾將無字證明這種圖形視為“一瞥就懂”的圖形，并認為很多時候一個繁復的證明在很多時候若能輔以一個幾何圖形，則后者的簡潔與美妙幾乎可以讓讀者一瞥即對定理的真實性了然于胸．這足以顯現無字證明的巨大功效了．

既然無字證明有如此之大的功效，那么筆者接下來再舉幾例，供同行教學時參考．

例1“無字證明”三角公式(如圖3，圖4)．

圖3

圖4

啟示出入相補原理是中國數學特別是幾何學最基本的原理之一，指的是“一個平面圖形從一處移至他處，面積不變．又若把圖形分割成若干塊，則各部分面積的和等于原來圖形的面積，因而圖形移動前后諸面積間的和、差有簡單的相等關系”．上述無字證明把三角形的面積公式、出入相補原理以及兩角和的正弦、余弦公式緊密地聯系起來，直觀明了、易于理解．

例2“無字證明”余弦定理(如圖5)．

圖5

圖6

啟示余弦定理是三角形關于邊角關系的命題，上述無字證明巧妙地將有關圓的相交弦定理和余弦定理聯系起來．雖然圖形所能表示的范圍有限，但創意可謂無限．

例3圖解均值不等式(如圖6)．

啟示均值不等式是最基本的不等式之一，是證明其他不等式和求解各類最值的重要依據．上述無字證明把圓、勾股定理以及均值不等式有機地結合起來，可謂“得意”而不“忘形”．

例4“無字證明”數列求和公式(如圖7)．

圖7

啟示圖7利用三角形相似證明了等差數列的求和公式，為探究數列與圖形之間的聯系開辟了新道路．

例5圖解三角求和(如圖8)．

圖8

啟示借助于圖形，3個角的關系躍然紙上，不得不令人驚嘆圖形的力量．

上面從4個角度給出了5道無字證明題，有興趣的讀者可以試著去構造一些優美的圖形．盡管無字證明有一定的局限性(如例1中兩角限制在銳角范圍，例4中是特殊的等差數列)，但其數學價值不言而喻，借著可視化的感受及簡單的數學概念常常能給學生留下深刻的印象，因而對我國當前中學數學教學具有重要的意義．

［1］ 吳文?。耪滤阈g與劉徽［M］．北京:北京師范大學出版社，1982．