數學高考應用題探究

●沈順良 (海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

數學高考應用題探究

●沈順良 (海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

數學應用性問題是傳統高考的題型之一，在新課程高考試題中有更多的體現，其涉及內容廣泛，多與函數、概率統計、三角、不等式(含線性規劃)、數列、解析幾何等內容有機結合．新課程標準對應用意識的要求較高，給考生的閱讀理解能力提出了較高的要求．在解題過程中，要求考生在陌生的現實生活情景中準確地數學化，找出數學的本質特征，建立恰當的數學模型，然后運用數學知識和工具去解決，最后結合應用問題的要求得出實際問題的解．

1 命題走勢

從浙江省近2年新課程高考應用試題來看，一般理科會命制1個大題和1到2個小題，文科一般更多體現在小題中，應用題在試卷中的位置居中，顯示了應用問題在高考中的基本要求．新課程教材在章序言、課題引入、例習題都突出了實際背景，還新增了“實習作業”和“研究性課題”，因此高考試題中新穎多樣的應用背景成為必然．在解答應用題時，要求準確理解題意，將題中的自然語言向數學語言特別是符號語言和幾何語言的轉換．新課標的新增內容如概率統計、導數等本身源于現實生活問題，因此相應的應用試題在高考中頻繁地出現．近年來還出現了數列、立體幾何、解析幾何和學科滲透的模型問題，其中大題側重概率、導數等．

2 典例剖析

2．1 三角應用問題

例1如圖1，A，B是海面上位于東西方向相距5( 3 +)海里的2個觀測點，現位于點A北偏東45°，點B北偏西60°的點D有一艘輪船發出求救信號，位于點B南偏西60°且與點B相距20海里的點C的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船達到點D需要多長時間?

(2010年陜西省數學高考理科試題)

分析本題主要考查學生運用解三角形的知識方法解決實際問題的能力．

解由題意知

圖1

故所求時間為1小時．

點評本題是一道典型的三角測量應用題，要求將題中自然語言表述的條件轉換到圖形語言中，然后再利用解三角形的正弦定理和余弦定理來解決，其中實際問題的條件轉化是重點．

2．2 線性規劃應用問題

例2鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如表1所示．

表1 鐵礦石含鐵率、CO2的排放量及價格表

某冶煉廠至少要生產1．9萬噸鐵，若要求CO2的排放量不超過2萬噸，則購買鐵礦石的最少費用為 ＿＿百萬元．

(2010年陜西省數學高考理科試題)

解設鐵礦石A購買了x萬噸，鐵礦石B購買了y萬噸，購買鐵礦石的費用為z百萬元．由題設知，本題可轉化為求當實數x，y滿足約束條件

點評本題要求結合圖表將給出的實際約束條件轉化為數學問題并符號化，其中要特別注意實際問題中量的隱含條件，然后將數學符號語言(不等式組)轉換成幾何語言(線性區域)，再利用線性規劃來解決．

2．3 概率統計模型

例3如圖3，由M到N的電路中有4個元件，分別標為 T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是 p，電流

能通過T4的概率是0．9．電流能否通過各元件相互獨立．已知T1，T2，T3中至少有1個能通過電流的概率為0．999．

(1)求p;

(2)求電流能在M與N之間通過的概率．

(2010年全國數學高考理科試題)

分析本試題主要考查獨立事件的概率、對立事件的概率、互斥事件的概率及數學期望，考查分類討論的思想方法及考生分析問題、解決問題的能力．本題也是一個與其他學科交匯的應用問題．

解記Ai表示事件:電流能通過Ti(i=1，2，3，4);A 表示事件:T1，T2，T3中至少有 1 個能通過電流;B表示事件:電流能在M與N之間通過．

圖3

點評概率基本上是理科的必考題，問題的背景有更加豐富的趨勢，對考生分析問題的能力要求也有所加強，這應引起高度重視．

2．4 計數應用問題

例4在某種信息傳輸過程中，用4個數字的一個排列(數字允許重復)表示一個信息，不同排列表示不同信息．若所用數字只有0和1，則與信息0110至多有2個對應位置上的數字相同的信息個數為 ( )

A．10 B．11 C．12 D．15

(2010年湖南省數學高考理科試題)

解與信息0110至多有2個對應位置上的數字相同的信息包括3類:一是與信息0110有2個對應位置上數字相同有=6個;二是與信息0110有一個對應位置上數字相同有=4個;三是與信息0110沒有對應位置上數字相同有=1個，共有11個．故選B．

點評計數應用問題往往附加了多個條件，最常見的方法是對滿足某個附加條件要求的情況分成若干類，分別求解后相加．在此過程中也同時考查了分類討論思想的運用．

2．5 函數應用問題

例5如圖4，一個正五角星薄片(其對稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)=0)，則導函數y=S'(t)的圖像大致為

圖4

(2010年江西省數學高考理科試題)

分析本題考查函數圖像、導數圖像、導數的實際意義等知識．最初0時刻和最后終點時刻沒有變化，導數取0，排除選項C;總面積一直保持增加，沒有負的改變量，排除選項B;考察選項A，D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導數的意義，判斷此時面積改變為突變，因此產生中斷．故選A．

點評導數有其豐富的現實背景，本題正是通過結合生活實際中的變化過程，考查對導數幾何意義和現實意義的理解．

2．6 解析幾何應用問題

例6為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8 km的點A，B處各建一個考察基地．視冰川面為平面形，以過點A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系．在直線的右側，考察范圍為到點B的距離不超過km的區域;在直線x=2的左側，考察范圍為到點A，B的距離之和不超過4km的區域．

(1)求考察區域邊界曲線的方程;

(2)如圖5，設線段P1P2，P2P3是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界)，當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區域平行移動，第一年移動0．2 km，以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區域所需的最短時間．

(2010年湖南省數學高考理科試題)

解(1)設邊界曲線上點P的坐標為(x，y)．當x≥2時，由題意知

圖5

圖6

(2)設過點 P1，P2的直線為 l1，過點 P2，P3的直線為l2，則直線l1，l2的方程分別為y=+14，y=6．設直線l平行于直線l1，其方程為y=+m，代入橢圓方程消去y得由判別式等于0，解得

從圖6中可以看出，當m=8時直線l與C2的公共點到直線l1的距離最近，此時直線l的方程為y=+8，l與l1的距離為3．因為直線l2到C1和C2的最短距離為6－＞3，所以考察區域邊界到冰川邊界的最短距離為3．

設冰川邊界線移動到考察區域所需時間為n年，則由題設及等比數列求和公式得:

解得n≥4，即冰川邊界線移動到考察區域所需的最短時間為4年．

點評本題以實際探究問題為背景，考查數學建模能力，知識涉及圓方程、橢圓的定義與方程、直線與圓錐曲線的位置關系、等比數列求和等．題中已經給出直角坐標系，要求根據題中實際條件求出相應的直線、圓、圓錐曲線方程，并用它們來解決問題．

除了上述典型實例，另外還有數列模型、立體幾何模型等數學模型的應用問題，也有物理等其他學科背景的應用問題．

精題集粹

1．某臺小型晚會由6個節目組成，演出順序有如下要求:節目甲必須排在第4位、節目乙不能排在第1位，節目丙必須排在最后一位，該臺晚會節目演出順序的編排方案共有 ( )

A．36種 B．42種 C．48種 D．54種

2．為了迎接2010年廣州亞運會，某大樓安裝了5個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈所閃亮的顏色各不相同．記這5個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍，在每個閃爍中，每秒有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰2個閃爍的時間間隔均為5秒．如果要實現所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是 ( )

A．1 205秒 B．1 200秒 C．1 195秒 D．1 190秒

3．一質點受到平面上的3個力 F1，F2，F3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態．已知F1，F2成角60°，且 F1，F2的大小分別為 2 和 4，則 F3的大小為 ( )

4．某加工廠用某原料由甲車間加工出產品A，由乙車間加工出產品B．甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克產品A，每千克產品A獲利40元．乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克產品B，每千克產品B獲利50元．甲、乙2車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙2車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙2車間每天總獲利最大的生產計劃為 ( )

A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱5．某班共有30人，其中有15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這2項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數為＿＿．6．某工廠生產甲、乙2種產品，產品甲的一等品率為80%，二等品率為20%;產品乙的一等品率為90%，二等品率為10%．生產1件產品甲，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元;生產1件產品乙，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元．設生產各種產品相互獨立．

(1)記X(單位:萬元)為生產1件產品甲和1件產品乙可獲得的總利潤，求X的分布列;

(2)求生產4件產品甲所獲得的利潤不少于10萬元的概率．

參考答案

1．B 2．C 3．D 4．B 5．12

6．(1)X的分布列如表2所示．

表2 X的分布列

(2)生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0．819 2．