基于多重分形譜的碳纖維復合材料表面評定方法

周 鵬， 趙福令， 呂奇超， 劉 宇

（大連理工大學精密與特種加工教育部重點實驗室，遼寧大連 116024）

0 引 言

碳纖維復合材料具有高的比模量、高的比強度、耐磨損、耐高溫等優良特性，廣泛應用于航天航空領域.其表面形貌對其使用功能有重要的影響.例如，利用碳纖維復合材料制造的飛機剎車盤的表面形貌對其摩擦、磨損性能會產生影響，用于火箭尾部的碳纖維復合材料的表面形貌影響其耐燃燒性能.由于碳纖維復合材料應用在特殊重要的場合，正確客觀地評定其加工表面質量，進而研究其對使用性能的影響，有非常重要的意義，也是目前在航空領域中極為緊迫的任務.由于碳纖維復合材料分布各向異性，在切削加工中可能產生纖維拔出、拉松變形、纖維與基體脫粘等多種缺陷［1］，二維的評定結果不能真實描述碳纖維復合材料工件表面的微觀形貌特征［2］，表面本質是三維的，只有對材料表面進行三維評定，才能真實地反映材料的表面形貌特征.但是目前，對于材料表面的三維評定還沒有統一的標準.而且，材料表面形貌的粗糙度參數是與測量尺度相關的，其測量值的大小不僅與采樣條件密切相關，還與測量儀器的分辨率有關，其測量結果常帶有測量者的主觀性.

機械加工表面具有隨機、無序、自相似和自仿射等分形特性［3］，而且分形的計算并不依賴于測量尺度，可以揭示材料表面形貌的固有特征，所以分形理論被用來研究加工表面的形貌特征［4、5］.葛世榮等［6、7］研究了分形維數D與表面輪廓截面曲線的變化關系，并使用表面輪廓高度的平均偏差Ra對同樣的表面進行了評定，結果是Ra隨分形維數D的增大而減小，所以表面輪廓越光滑，分形維數就越大.但是王海容等［8］的研究結論截然相反：如果材料表面的粗糙度參數Ra增大，其表面形貌的分形維數是變大的.費斌等的研究特點是將材料表面分為各向同性和各向異性表面，分別計算其表面各個不同方向上的二維截面輪廓曲線的分形維數，得出了表面分形維數與輪廓的分形維數之間的關系式.對于各向同性表面，表面分形維數＝表面輪廓的線維數（Dl）＋1，屬于此類表面的有研磨、拋光、噴丸等所加工的表面.對于各向異性表面，如果任意兩條正交輪廓相互獨立或有很弱的相關性，令Dv和Dh分別表示表面相互正交的輪廓的線維數，則表面分形維數＝Dv＋Dh，屬于此類表面的有珩磨、平磨和精車等加工表面.李成貴［9］立足于加工表面的輪廓譜矩和表面譜矩特性，使用W－M函數計算了各向異性表面的三維形貌的等方性參數，拓展了分形研究的思路，并給出材料實例：精車加工表面形貌不具有等方性，平面磨削工件形貌具有等方性.以上學者的研究都指出表面輪廓分形維數D可有效地反映表面粗糙度，并在一定程度上克服了傳統粗糙度參數尺度相關的不足.實際上，加工表面的分形特征在每個區域都是不一樣的，使用一個分形維數去反映整個表面的特征是有缺陷的.研究加工表面分形特征的分布，即進行多重分形譜分析，是全面評價加工表面特征的有效工具，對于多重分形譜的計算，小波分析是常用的計算工具［10］.

本文測量碳纖維復合材料的加工表面形貌，使用小波分析方法得到其多重分形譜，以反映加工表面各個局部的特征.

1 小波分析計算材料表面多重分形譜的算法

尋找多分形信號的奇異性分布對于分析信號的性質是至關重要的.設Sα是使分形信號f在其上正則性為α的Lipschitz常數的所有點t∈R的集合.f的多重分形譜（也叫奇異譜）D（α）定義為Sα的分形維數，其首先由Frisch等［11］引入并用來分析多分形測度的齊次性，這種測度用來作為水流能量耗散性的模型.而后，Muzy等［12］將其推廣到多分形信號.分形維數的定義表明，如果用大小為s的互不相交的區間來覆蓋f的支集，則與Sα相交的區間個數滿足

多重分形譜給出了在任意尺度s下正則性為α的Lipschitz常數的奇異性的比例.設ψ是具有n階消失矩的小波，Mallat等［13］證明了如果信號f在點v具有點態正則性為α0的Lipschitz常數小于n，則小波變換Wf（u，s）有一列模極大在細尺度下收斂于v.因而，尺度為s時的極大集合可以理解為用尺度為s的小波對f的奇異支集所作的一個覆蓋.在這些極大點，有

設｛（u p，s）｝p∈Z＋是｜Wf（u，s）｜在給定尺度s下的所有局部極大點的集合.分解函數Z度量了這些小波模極大的q次方之和：

對任意q∈R，尺度指數τ（q）測量了Z（q，s）隨尺度s的漸近衰減性：

由Bacry等［14］提出的說明τ（q）與D（α）的Legendre變化之間的關系公式為

下面是多重分形譜D（α）的計算過程.

（1）極大：對每一個尺度s計算出Wf（u，s）及其模極大，隨s的變化鏈接小波極大.

（2）分解函數：計算式（3）.

（3）尺度：利用log2Z（s，q）作為log2s的線性關系來計算，即

（4）譜：計算式（5）.

在信號是二維的情況下，則u變成一個二維向量，第二步求最大值的范圍就是從一個二維小波變換后的小波系數中求最大值，其他的步驟相同.

2 利用多重分形譜評定碳纖維復合材料加工表面特征

2.1 碳纖維復合材料加工表面的多重分形譜計算

實驗樣品的材料為碳纖維復合材料，三向正交結構，碳纖維體積含量為40%～50%，采用銑削加工，尺寸是20 mm×20 mm×10 mm，轉速S、切削深度ap和進給量F如表1所示，其中切削深度是變化的.樣品測試條件：采樣速度5 500μm／s，采樣范圍8 mm×8 mm，采樣間距5μm.刀具采用PVD銑刀.表面形貌由TalyScan 150測量儀測量，材料樣品和測量儀如圖1所示.當切削深度為1.0 mm時，其測量結果如圖2所示，使用前面所介紹的方法用小波分析算出其多重分形譜.多重分形譜中的參數關系α－q、D（α）－q以及D（α）－α如圖3所示.

表1 加工碳纖維復合材料的切削參數Tab.1 CuttingparametersofCFRPinmilling

圖1 碳纖維復合材料樣本和TalyScan 150測量儀Fig.1 CFRP workpiece and TalyScan 150 measurement instrument

圖2 碳纖維復合材料三維表面形貌Fig.2 3D morphology of CFRP

材料表面的多重分形譜將信號以正則性為α的Lipschitz常數分類.定義α的范圍：

多重分形譜的Δα反映了加工表面的高低分布，即反映了加工表面粗糙度.定義多重分形譜的譜差為

其反映加工表面的波峰和波谷的概率分布.ΔD＜0時，多重分形譜為右鉤狀態，表明加工表面波峰所占概率大；當ΔD＞0時，多重分形譜為左鉤狀態，表明加工表面出現的波谷所占概率大；當ΔD＝0時，表明加工表面出現的波峰和波谷的概率相等.

圖3 多重分形譜中的參數關系Fig.3 The relationships of the parameters in the multifractals spectrum

2.2 多重分形譜的參數特征評定碳纖維復合材料的表面特征結果

使用表1中的加工參數，切削深度是1.0 mm除外，加工出來的碳纖維復合材料表面形貌如圖4所示.按照上述多重分形譜算法，編制計算機程序得到的多重分形譜圖如圖5所示，計算得到的多重分形譜參數列于表2中.

圖4 不同加工參數下的碳纖維復合材料工件表面形貌Fig.4 Surface morphology of CFRP workpiece in different machining parameters

圖5 不同加工參數下碳纖維復合材料工件表面的多重分形譜圖Fig.5 The multifractal spectrum images of the CFRP workpiece surface in different machining parameters

表2 不同加工參數下碳纖維復合材料工件表面的多重分形譜特征參數Tab.2 The multifractal spectrum characteristic parameters of the CFRP workpiece surface in different machining parameters

如圖5所示，多重分形譜都是右鉤狀態，多重分形譜參數ΔD都小于0.從表2可以看出，最小的Δα是ap＝0.3 mm時，說明表面最光滑，相應的ΔD是－0.158 3，其絕對值是最小的，說明其加工表面的波峰和波谷的概率分布趨于相等；最大的Δα是ap＝0.5 mm時，說明表面最粗糙.最小的ΔD是－0.814 0，出現在ap＝0.8 mm時，說明加工表面出現的波峰比其他的加工表面多，由于譜差ΔD＜0，說明其加工表面仍然是加工的波峰比波谷多.總之，所有加工表面的多重分形譜圖都呈右鉤形狀，加工表面局部區域出現的波峰較尖銳，說明碳纖維復合材料加工表面經常出現纖維斷裂、纖維撕裂等纖維突出基體的現象.

為了對比多重分形譜的評定結果，使用3D幅度和空間形貌參數Sq和Sal對圖4所示的形貌圖進行評定.Sq定義為

式中：M、N是采樣點數，η（x i，y j）是采樣點相對于基準面的高度.

Sal是表面自相關性的衰減速率，表征表面組成成分.Sal大說明表面主要是由長波成分構成，Sal小說明表面主要是由短波成分構成，結果如表3所示.通過多重分形譜分析得到，最光滑的表面是對應于ap＝0.3 mm的圖4（c），其對應的幅度粗糙度評定參數Sq也是最小的；最粗糙的表面是對應于ap＝0.5 mm的圖4（e），其對應的幅度粗糙度評定參數Sq也是最大的.最大的Sal出現在圖4（f）中，其表面的波峰也是所有表面中最多的，這也與多重分形譜中的分析相一致.

表3 不同加工參數下碳纖維復合材料工件表面粗糙度值的3D幅度和空間參數Tab.3 3D amplitude and space parameters of the CFRP workpiece surface roughness in different machining parameters

3 結 論

碳纖維復合材料加工表面具各向異性的特征，采用多重分形譜分析其加工表面的特征，不僅可以表征整個表面的特征，還可以表征材料表面的局部特征.

由三維表面測量儀測量碳纖維復合材料的加工表面微觀形貌圖，利用小波分析計算出它的多重分形譜來研究其表面形貌.分析結果表明：多重分形譜的參數α、Δα、ΔD都與加工表面的形貌有著緊密的聯系.其中，Δα可以表征加工表面的粗糙度，ΔD的正負性說明加工表面出現波峰和波谷的概率，其絕對值反映加工表面的垂直高度差.多重分形譜三維表面評定方法不但可以描述加工表面整體的特征，還能描述其局部形貌特征.通過對多重分形譜表征的結果和三維評定參數評定結果的比較，證明了多重分形譜分析材料表面特征的正確性.

［1］LIU X，PIOTTER V.Mapping micro－mechanical properties of carbon－filled polymer composites by TPM［J］.Precision Engineering，2007，31（2）：162－168

［2］SENIN N，ZILIOTTI M，GROPPETTI R.Threedimensional surface topography segmentation through clustering［J］.Wear，2007，262（3－4）：395－410

［3］YANG Zhi－yuan，ZHOU An－ning.Fractal characteristics and fractal dimension measurement on broken surfaces of aluminum electric porcelain［J］.Journal of Wuhan University of Technology—Materials Science Edition，2005，20（1）：37－41

［4］GRZESIK W，BROL S.Wavelet and fractal approach to surface roughness characterization after finish turning of different workpiece materials［J］.Journal of Materials Processing Technology，2009，209（5）：2522－2531

［5］LIANG C G，ZHANG W.Fractal characteristic of pits distribution on 304 stainless steel corroded surface and its application in corrosion diagnosis［J］.Journal of Wuhan University of Technology—Materials Science Edition，2007，22（3）：389－393

［6］葛世榮，陳國安.磨合表面形貌變化的特征粗糙度參數表征［J］.中國礦業大學學報，1999，28（3）：204－207

［7］陳國安，葛世榮.粗糙表面測量輪廓的分形插值模擬［J］.摩擦學學報，1998，18（4）：346－350

［8］王海容，蔣莊德，尹燕玲.切削加工表面分形機理的研究［J］.機械科學與技術，2002，21（1）：13－15

［9］李成貴.粗糙表面輪廓相關性的倒譜分析［J］.機械工程學報，2004，40（5）：87－91

［10］BAKUCZ P，KRUGER S R.A new wavelet filtering for analysis of fractal engineering surfaces［J］.Wear，2009，266（5－6）：539－542

［11］FRISCH U，PARISI G.On the singularity structure of full developed turbulence and intermittency［M］／／GHIL M，BENZI R，RARISI C，eds.Turbulence and Predictability in Geophysical Fluid Dynamics and Climate Dynamics.Amsterdam：North－Holland，1985

［12］MUZY J F，BACRY E，ARNEODO A.The multifractal formalism revisited with wavelets［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1994，4（2）：245－302

［13］MALLAT S，HWANG W L.Singularity detection and processing with wavelets［J］.IEEE Transactions on Information Theory，1992，38（2）：617－643

［14］BACRY E，MUZY J F，ARNEODO A.Singularity spectrum of fractal signals：exact results［J］.Journal of Statistical Physics，1993，70（3）：635－667