基于Black－Scholes模型的期權定價新方法

沈玉波， 張待見， 宋立新

（大連理工大學數學科學學院，遼寧大連 116024）

0 引 言

次貸危機的蝴蝶效應引發全球經濟的動蕩不堪.為了應付金融危機，全球性大規模聯手救市展開，降息成為全球救市最直接的手段.盡管金融危機最主要的原因不是金融衍生品的定價不足，但是若整個金融市場的衍生品定價提高，則會對金融危機有所緩解，特別是應對全球金融風暴這樣的突發高風險事件.

為了期權賣出者將來不再因為突發高風險事件而破產，用新的定價方法來提高價格是有必要采取的手段，為此本文延續Black－Scholes模型簡單易操作且結果精確的優點，并且考慮到金融風險分布的厚尾特性，引入H k（a）＝E［（X－a）2k］（k≥1）來放大高風險突發事件在定價中的作用.

1 經典Black－Scholes模型

經典Black－Scholes模型的主要假設有［1～4］

（1）標的資產的價格服從對數正態分布，μ和σ為常數；

（2）標的資產允許賣空；

（3）不存在無風險套利機會；

（4）資產交易是連續的；

（5）沒有交易費用或稅收，所有資產高度可分；

（6）資產在有效期內無紅利支付；

（7）無風險利率r為常數，且對所有到期日都相同.

在以上假設下，完備的概率空間（Ω，F，P）上，資產價格St模型定義如下：

基于資產價格St的歐式看漲期權定價公式如下：

下面給出一個很重要的定理，主要用于計算過程中的測度變換.

定理1（Girsanov Theorem）［5］在完備的概率空間（Ω，F，P）上，假設

在測度P下是一個鞅，W t是（Ω，F，P）上的一個D維布朗運動，X t是D維可測適應過程且

定義測度Q使得

則對每一個固定的T∈［0，＋∞），W t是（Ω，F，Q）上一個D維布朗運動.

2 基于經典Black－Scholes模型的新定價方法

2.1 新方法的提出及證明

下面從數學的角度來分析一下經典的Black－Scholes模型定價公式，以歐式看漲期權為例，用X代表（ST－K）＋，E［（ST－K）＋］事實上就是函數

的極小值點.將式（4）一般化，利用

的最小值點ak作為期權的定價，由下凸函數的性質可以肯定這樣的定價要比原定價高，但尚需通過股票指數DJSH（道瓊斯上海）收益率的GARCH模型隨機模擬，分別應用兩個公式進行定價比較.

下面仍給市場以經典模型的假設，資產價格服從對數正態過程，分析H k（a）＝E［（X－a）2k］（k＝1，2，…）的函數性態，有

（1）H（a）＝E［｜X－a｜］時，最小值點α是X的中位數，此時尾部對α沒有影響；

（2）H1（a）＝E［（X－a）2］時，最小值點β是EX，尾部對β產生影響；

（3）H k（a）＝E［（X－a）2k］，a≥0，k＝1，2，…時，假設EX2k＜＋∞，由控制收斂定理［6、7］可推得H k（a）＝E［（X－a）2k］關于a可導，由

可知H k（a）＝E［（X－a）2k］在正半軸上有唯一的最小值點ak.換個角度來說ak為方程H′k（a）＝－2kE［（X－a）2k－1］＝0的實根，即E［（X－a）2k－1］＝0的實根.

由以上判斷可知：正半軸上根是唯一的，當a＜0時，H′k（a）＝－2kE［（X－a）2k－1］＜0恒成立，所以方程無負實根.綜上H′k（a）＝0有唯一的正實根ak.這樣就可以用ak作為期權的定價.

資產價格服從模型仍是

這樣就可以得到其導數的表達式，但是比較復雜，下面具體就k＝2時進行分析.H2（a）的導數為三次多項式，由三次方程的公式解可得卡爾丹公式x3＋px＋q＝0的解為

從而看跌期權的定價為

2.2 新方法下看漲－看跌期權平價關系

對于兩個相同有效期T－t，相同敲定價格K的歐式看漲和看跌期權有平價公式

新定價的歐式看漲－看跌期權平價關系為

3 隨機模擬

對于定價新公式，可以選擇不同的k，隨著k的增大，突發事件的放大作用也增大，這正是所想要的結果.本文以k＝2為例，采用隨機模擬的方法［8］，以兩年期的DJSH指數的歐式看漲期權為例，分別使用Black－Scholes公式和基于Black－Scholes模型的新定價公式為它定價并進行比較.

GARCH模型一定程度地反映現實市場的不完備性，并且運用計量經濟軟件Eviews可以很方便地得到，因此采用DJSH（2006～2009）的數據，用GARCH（1，1）模型對DJSH指數的對數日收益率建模.用估計好的對數日收益率的GARCH（1，1）模型模擬出DJSH指數的1 000個日價格，然后對基于該指數的兩年期歐式看漲期權進行定價.

設定常用的無風險年收益率r＝0.05，T＝720 d，即2 a，選擇兩個執行價格K1＝276.00，K2＝278.00，分別用式（5）和經典Black－Scholes模型進行定價，計算得到定價的平均價格和價格的標準差，為了明確比較，列成表1.

表1 定價的平均價格和價格標準差Tab.1 Mean price and its standard deviation of option pricing

從表1中可以看出，新公式下期權平均定價有所提高，而且標準差減少了很多，這正是期望得到的.

4 結 語

本文對Black－Scholes定價公式進行了推廣得到了新定價公式.實例模擬表明：新的期權定價公式放大了突發高風險事件的作用，有效提高了定價，并且這種定價沒有因為高風險突發事件增大定價的標準差，從而降低了風險.

從公式的得出過程來看，新定價公式不僅適用于基于股票的期權定價，且由于金融衍生品定價的前提和市場環境都是相似的，可以將新方法推廣應用于各種金融衍生產品.

［1］朱浩民.衍生性金融商品［M］.北京：中國人民大學出版社，2005

［2］姜禮尚.金融衍生產品定價的數學模型與案例分析［M］.北京：高等教育出版社，2004

［3］HULL J C，ZAGRODNY D.Option，Futures，and Other Derivatives［M］.5th ed.Beijing：Huaxia Publishing House，2000

［4］BHLMANN H.Mathematical Methods in Risk Theory［M］.New York：Springer，1970

［5］胡必錦，朱自清.鞅分析及其應用［M］.武漢：華中科技大學出版社，1988

［6］程士宏.測度論與概率論基礎［M］.北京：北京大學出版社，2006

［7］汪嘉岡.現代概率論基礎［M］.上海：復旦大學出版社，1988

［8］鄧留寶，劉柏年，楊桂元.Matlab與金融模型分析［M］.合肥：合肥工業大學出版社，2007