貝葉斯定理構(gòu)建水庫汛限水位動態(tài)控制推理模式及其風險

王本德， 周惠成， 李 敏， 王國利， 刁艷芳

（大連理工大學水利工程學院，遼寧大連 116024）

0 引 言

文獻［1、2］中提出的利用降雨預報信息動態(tài)控制汛限水位的推理模式，簡稱推理模式，已在碧流河、葠窩、白龜山、桓仁、于橋、丹江口、大伙房水庫等編制或應用，取得了既安全，又充分利用洪水資源的效果.

推理模式依據(jù)降雨預報實際值的統(tǒng)計分布律，令設(shè)計標準洪水暴雨事件為E，且假定“事件E在無雨預報的漏報條件下發(fā)生的概率趨于零，屬不可能事件；在大暴雨預報條件下發(fā)生的概率極高，屬于可能事件”.基于上述假定，在汛限水位動態(tài)控制域內(nèi)，相應建立的推理模式是：若無雨或小雨預報，則水位控制在上限；若中雨預報，則將水位控制在中線；若有大雨或暴雨預報，則庫水位控制在下限或低于原設(shè)計汛限水位.

推理模式僅計算單一條件風險，如“無雨”預報發(fā)生漏報x≥0.1事件條件下發(fā)生設(shè)計標準暴雨洪水事件E的概率計算公式：p（E，x≥0.1）＝p（x≥0.1）×p（E）＜p（E）（p（E）為設(shè)計暴雨洪水頻率）.

不難看出，推理模式推廣應用尚存在兩個主要問題：之一是基于降雨預報水平構(gòu)建的推理模式所做的假定尚需證明；之二是推理模式風險分析中，僅給出單一條件風險計算式是不完備的，事件E的發(fā)生應以無雨至暴雨以上5個量級降雨互斥完備事件之一發(fā)生為條件，并需在各種設(shè)計頻率暴雨實際發(fā)生信息不完全條件下估計相應的概率.這兩個問題是構(gòu)建合理、安全推理模式的關(guān)鍵，深入研究它們既有理論意義又有實用價值.

目前看，貝葉斯定理是在不完全信息下，對部分未知的狀態(tài)用主觀概率估計，然后用其公式對發(fā)生概率進行修正確定的常用方法.為此本文嘗試應用該定理，期望研究成果能證明原推理模式假定的合理性，給出新的風險計算方法，進而構(gòu)建有理論依據(jù)的新推理模式，為進一步推廣應用汛限水位動態(tài)控制方法，安全利用洪水資源作貢獻.

1 貝葉斯定理概述

英國數(shù)學家貝葉斯（Thomas Bayes）于1763年提出貝葉斯定理，目前已形成一整套理論與方法，在自然科學及國民經(jīng)濟的許多領(lǐng)域中有著廣泛應用.其基本原理是：

要采取的行動所取決的某種自然狀態(tài)是客觀的且未知的，但有可能通過判斷和采樣獲得有關(guān)自然狀態(tài)的信息.初始信息稱先驗信息，在采樣基礎(chǔ)上可獲得新信息，并可對先驗信息進行修正，使得決策依據(jù)的信息更接近于實際.它打破了經(jīng)典統(tǒng)計學派的局限性，為一系列信息綜合推斷和決策分析過程奠定了基礎(chǔ).

該定理表述了給定事件E發(fā)生時事件e i的發(fā)生概率與給定事件ei發(fā)生時事件E的發(fā)生概率二者之間的關(guān)系［3］，即

可見，貝葉斯定理是在已知條件概率密度函數(shù)p（E︱ei）和先驗概率p（ei）的條件下，利用式（1）轉(zhuǎn)換為后驗概率p（ei︱E）.

2 利用貝葉斯定理擬解決的命題與實例

2.1 擬解決的命題

針對引言中的兩個關(guān)鍵問題，擬利用貝葉斯定理解決如下命題：

汛期利用降雨預報信息動態(tài)控制水庫汛限水位時，若已知某設(shè)計標準暴雨量事件E的發(fā)生是以不同量級e i降雨預報之一的發(fā)生為條件，且又知事件ei的先驗概率p（ei）和條件概率p（E︱ei），求事件E發(fā)生于各級降雨預報的后驗概率p（ei︱E），并與單一條件風險比較，構(gòu)建汛限水位動態(tài)控制新推理模式；利用其最高或最低概率證明現(xiàn)行推理模式假定成立與否.

此命題中的各級降雨預報事件ei，即無雨、小雨、中雨、大雨、暴雨以上的5個量級是互斥的，其樣本空間I＝e1＋…＋ei＋…＋en是完備的，基于氣象部門若干年作業(yè)預報實踐，因樣本容量較大，在頻率替代概率的假定條件下，即可求出先驗概率p（ei）.

命題中“某量級設(shè)計暴雨量”事件E，是以不同量級ei降雨預報漏報之一發(fā)生為條件，是客觀的.可據(jù)資料分析出不同量級降雨預報的實際降雨分布，進而求得條件概率p（E︱ei）和全概率p（E）.

2.2 求解上述命題的實例

為便于與文獻［1、2］提出的現(xiàn)行推理模式的風險分析方法比較，仍以當時選用的白龜山水庫為實例，求解上述命題.

（1）互斥事件及其先驗概率

仍以當時選用的1997～2002年平頂山市氣象臺汛期702 d的未來24 h降雨預報與水庫實際的24 h流域平均降雨資料進行分析.尊重氣象部門習慣，互斥事件ei分5級（見表1）.互斥且完備事件ei發(fā)生的先驗概率p（ei），可根據(jù)發(fā)生頻次利用古典概率p（ei）＝M／N計算.

表1 互斥事件ei先驗概率Tab.1 The prior probabilities of exclusive events ei

（2）“某量級設(shè)計暴雨量”事件E及其條件概率

白龜山水庫依據(jù)降雨預報信息動態(tài)控制汛限水位時，發(fā)生“某量級設(shè)計暴雨量”事件Ej，是根據(jù)水庫上游淹沒允許、下游城市防洪標準及大壩設(shè)計防洪標準確定的.該水庫具有一日主暴雨量控制洪峰與洪量特點，不同頻率設(shè)計暴雨量見表2.水庫大壩校核、設(shè)計洪水頻率分別是0.05%、1%；下游城市防洪標準與上游淹沒允許標準分別是2%、5%.

表2 不同設(shè)計頻率洪水暴雨量Tab.2 Storm rainfall of each design flood frequency

根據(jù)水庫流域汛期降雨預報和實際的6 a資料，引用“柯爾莫哥洛夫準則”進行統(tǒng)計檢驗，證明降雨預報的實際降雨分布規(guī)律符合Ρ－Ⅲ型分布［4］，其概率密度函數(shù)為

式中：Γ（α）為α的伽瑪函數(shù)；α、β、a0為3個參數(shù).

上述的統(tǒng)計參數(shù)采用適線法確定，結(jié)果列入表3.

表3 降雨預報不同量級的實際降雨分布參數(shù)Tab.3 The actual rainfall distribution parameters of each order of rainfall forecasting

依據(jù)表3之參數(shù)，用式（2）的概率分布函數(shù)編程計算事件Ej（j＝1，2，3，4）發(fā)生的條件概率，結(jié)果見表4.

（3）后驗概率p（ei︱Ej）的計算

將表1和表4相應的數(shù)據(jù)代入貝葉斯式（1）即可算出事件Ej（j＝1，2，3，4）發(fā)生條件下各量級降雨預報事件ei出現(xiàn)的概率（后驗概率），結(jié)果見表5.

表4 事件Ej發(fā)生的條件概率p（Ej︱ei）Tab.4 Conditional probabilities p（Ej｜ei）when event Ej happened

表5 事件Ej發(fā)生條件下事件e i后驗概率Tab.5 Posterior probability of event ei when event Ej happened

（4）基于后驗概率構(gòu)建新的汛限水位動態(tài)控制推理模式及其風險

白龜山水庫原設(shè)計主汛限水位102 m，汛限水位動態(tài)控制研究階段設(shè)計的約束域為102.0～ 102.6 m.現(xiàn)行的汛限水位動態(tài)控制推理模式只分兩種條件，且沒有給出風險估計，不夠完善，即：

a.如預報未來24 h有大雨以下量級，則汛限水位為102.3～102.6 m；

b.如預報未來24 h有大雨以上量級，則汛限水位為102.0～102.3 m.

本文應用貝葉斯公式推斷的后驗概率描述風險，相應構(gòu)建的汛限水位動態(tài)控制新推理模式更為完備，且為決策者提供風險信息，即：

a.如預報未來24 h無雨，事件E4～E1條件下無雨事件發(fā)生的后驗概率（即風險率，以下同）在2.654 71×10－24～2.933 89×10－11，則汛限水位控制為上限102.6 m；

b.如預報未來24 h小雨，事件E4～E1條件下小雨事件發(fā)生的后驗概率在8.165 23×10－10～5.630 14×10－5，則汛限水位控制為中上限102.5 m；

c.如預報未來24 h中雨，事件E4～E1條件下中雨事件發(fā)生的后驗概率在1.068 51×10－3～8.579 47×10－3，則汛限水位控制為中限102.3 m；

d.如預報未來24 h大雨，事件E4～E1條件下大雨事件發(fā)生的后驗概率在2.398 02×10－2～7.734 27×10－2，則汛限水位控制為102.0 m（原設(shè)計汛限水位，即控制域下限）；

e.如預報未來24 h暴雨以上量級，事件E4～E1條件下暴雨以上量級事件發(fā)生的后驗概率在0.914 021～0.974 951，為提高防洪效益，則汛限水位為101.7 m（考慮預泄能力，低于原設(shè)計汛限水位0.3 m）.

上述5種情況分別與表5的行號相對應.

（5）兩種方法風險計算比較

鑒于單一條件風險式計算是白龜山水庫現(xiàn)行方法推理模式的建?；A(chǔ)，而新方法構(gòu)建推理模式的依據(jù)是貝葉斯推斷的后驗概率，所以表6列出兩種方法概率計算比較，作為評價其安全性的依據(jù).

表6 兩種方法概率計算比較Tab.6 Comparison of probabilities calculated by two methods

從表6可見，因單一條件風險式是不完備條件下的風險計算結(jié)果，所以忽大忽小沒有規(guī)律，各事件概率之和不歸一，預報量級為e1、e2時，單一條件風險p（x＞ei）×p（E）計算的概率大于貝葉斯公式計算的后驗概率，而e3、e4、e5則相反.另外，p（x＞ei）是降雨漏報的概率，p（E）是年最大法推求的設(shè)計暴雨洪水的頻率，二者相乘的合理性缺乏論證.而貝葉斯公式推斷的后驗概率，是考慮互斥完備事件的條件組合概率的權(quán)系數(shù)，計算合理、有規(guī)律且歸一，可為決策者提供偏安全的信息.

3 結(jié) 論

（1）根據(jù)白龜山水庫汛期預報和實際降雨資料，應用貝葉斯定理推斷出：若發(fā)布無雨預報，則校核標準暴雨洪水E4條件下的“無雨”事件發(fā)生的后驗概率為2.654 71×10－24，趨于零；如發(fā)布暴雨以上量級預報，則校核標準暴雨洪水E4條件下的“暴雨以上量級”事件發(fā)生的后驗概率為0.974 951，接近1.初步證明現(xiàn)行的汛限水位動態(tài)控制推理模式建模的假定是成立的.

（2）貝葉斯定理推斷出的后驗概率，是互斥完備事件的條件組合概率的權(quán)系數(shù)，比現(xiàn)行的單一條件概率計算結(jié)果有規(guī)律，符合實際，可用于描述風險.其可信度會隨著時序延長、新信息的獲得與先驗概率修正而提高.

（3）基于貝葉斯定理推斷出的后驗概率構(gòu)建的汛限水位動態(tài)控制推理模式比現(xiàn)行推理模式結(jié)構(gòu)合理、邏輯性強，配合相應的風險信息為決策者提供支持，可操作性強.

（4）本文研究方法具有理論意義和實用價值，期望它能起到拋磚引玉的作用，使更多水庫參與驗證現(xiàn)行的推理模式建模假定的合理性，提出風險小、效益大、可操作性強的汛限水位動態(tài)控制新推理模式，為水利部進一步推廣應用汛限水位動態(tài)控制方法作貢獻.

［1］王本德，周惠成，王國利.水庫汛限水位動態(tài)控制理論與方法及其應用［M］.北京：中國水利水電出版社，2006

［2］周惠成，王本德，王國利，等.水庫汛限水位動態(tài)控制方法研究［M］.大連：大連理工大學出版社，2006

［3］梅理特F S.工程技術(shù)常用數(shù)學［M］.丁 仁，陳三平，譯.北京：科學出版社，1978

［4］大連理工大學土木水利學院，河南省水利水電勘測設(shè)計研究院，河南省白龜山水庫管理局.白龜山水庫汛限水位設(shè)計與運行研究技術(shù)總報告［R］.大連：大連理工大學，2004