貝葉斯定理構建水庫汛限水位動態控制推理模式及其風險

王本德， 周惠成， 李 敏， 王國利， 刁艷芳

（大連理工大學水利工程學院，遼寧大連 116024）

0 引 言

文獻［1、2］中提出的利用降雨預報信息動態控制汛限水位的推理模式，簡稱推理模式，已在碧流河、葠窩、白龜山、桓仁、于橋、丹江口、大伙房水庫等編制或應用，取得了既安全，又充分利用洪水資源的效果.

推理模式依據降雨預報實際值的統計分布律，令設計標準洪水暴雨事件為E，且假定“事件E在無雨預報的漏報條件下發生的概率趨于零，屬不可能事件；在大暴雨預報條件下發生的概率極高，屬于可能事件”.基于上述假定，在汛限水位動態控制域內，相應建立的推理模式是：若無雨或小雨預報，則水位控制在上限；若中雨預報，則將水位控制在中線；若有大雨或暴雨預報，則庫水位控制在下限或低于原設計汛限水位.

推理模式僅計算單一條件風險，如“無雨”預報發生漏報x≥0.1事件條件下發生設計標準暴雨洪水事件E的概率計算公式：p（E，x≥0.1）＝p（x≥0.1）×p（E）＜p（E）（p（E）為設計暴雨洪水頻率）.

不難看出，推理模式推廣應用尚存在兩個主要問題：之一是基于降雨預報水平構建的推理模式所做的假定尚需證明；之二是推理模式風險分析中，僅給出單一條件風險計算式是不完備的，事件E的發生應以無雨至暴雨以上5個量級降雨互斥完備事件之一發生為條件，并需在各種設計頻率暴雨實際發生信息不完全條件下估計相應的概率.這兩個問題是構建合理、安全推理模式的關鍵，深入研究它們既有理論意義又有實用價值.

目前看，貝葉斯定理是在不完全信息下，對部分未知的狀態用主觀概率估計，然后用其公式對發生概率進行修正確定的常用方法.為此本文嘗試應用該定理，期望研究成果能證明原推理模式假定的合理性，給出新的風險計算方法，進而構建有理論依據的新推理模式，為進一步推廣應用汛限水位動態控制方法，安全利用洪水資源作貢獻.

1 貝葉斯定理概述

英國數學家貝葉斯（Thomas Bayes）于1763年提出貝葉斯定理，目前已形成一整套理論與方法，在自然科學及國民經濟的許多領域中有著廣泛應用.其基本原理是：

要采取的行動所取決的某種自然狀態是客觀的且未知的，但有可能通過判斷和采樣獲得有關自然狀態的信息.初始信息稱先驗信息，在采樣基礎上可獲得新信息，并可對先驗信息進行修正，使得決策依據的信息更接近于實際.它打破了經典統計學派的局限性，為一系列信息綜合推斷和決策分析過程奠定了基礎.

該定理表述了給定事件E發生時事件e i的發生概率與給定事件ei發生時事件E的發生概率二者之間的關系［3］，即

可見，貝葉斯定理是在已知條件概率密度函數p（E︱ei）和先驗概率p（ei）的條件下，利用式（1）轉換為后驗概率p（ei︱E）.

2 利用貝葉斯定理擬解決的命題與實例

2.1 擬解決的命題

針對引言中的兩個關鍵問題，擬利用貝葉斯定理解決如下命題：

汛期利用降雨預報信息動態控制水庫汛限水位時，若已知某設計標準暴雨量事件E的發生是以不同量級e i降雨預報之一的發生為條件，且又知事件ei的先驗概率p（ei）和條件概率p（E︱ei），求事件E發生于各級降雨預報的后驗概率p（ei︱E），并與單一條件風險比較，構建汛限水位動態控制新推理模式；利用其最高或最低概率證明現行推理模式假定成立與否.

此命題中的各級降雨預報事件ei，即無雨、小雨、中雨、大雨、暴雨以上的5個量級是互斥的，其樣本空間I＝e1＋…＋ei＋…＋en是完備的，基于氣象部門若干年作業預報實踐，因樣本容量較大，在頻率替代概率的假定條件下，即可求出先驗概率p（ei）.

命題中“某量級設計暴雨量”事件E，是以不同量級ei降雨預報漏報之一發生為條件，是客觀的.可據資料分析出不同量級降雨預報的實際降雨分布，進而求得條件概率p（E︱ei）和全概率p（E）.

2.2 求解上述命題的實例

為便于與文獻［1、2］提出的現行推理模式的風險分析方法比較，仍以當時選用的白龜山水庫為實例，求解上述命題.

（1）互斥事件及其先驗概率

仍以當時選用的1997～2002年平頂山市氣象臺汛期702 d的未來24 h降雨預報與水庫實際的24 h流域平均降雨資料進行分析.尊重氣象部門習慣，互斥事件ei分5級（見表1）.互斥且完備事件ei發生的先驗概率p（ei），可根據發生頻次利用古典概率p（ei）＝M／N計算.

表1 互斥事件ei先驗概率Tab.1 The prior probabilities of exclusive events ei

（2）“某量級設計暴雨量”事件E及其條件概率

白龜山水庫依據降雨預報信息動態控制汛限水位時，發生“某量級設計暴雨量”事件Ej，是根據水庫上游淹沒允許、下游城市防洪標準及大壩設計防洪標準確定的.該水庫具有一日主暴雨量控制洪峰與洪量特點，不同頻率設計暴雨量見表2.水庫大壩校核、設計洪水頻率分別是0.05%、1%；下游城市防洪標準與上游淹沒允許標準分別是2%、5%.

表2 不同設計頻率洪水暴雨量Tab.2 Storm rainfall of each design flood frequency

根據水庫流域汛期降雨預報和實際的6 a資料，引用“柯爾莫哥洛夫準則”進行統計檢驗，證明降雨預報的實際降雨分布規律符合Ρ－Ⅲ型分布［4］，其概率密度函數為

式中：Γ（α）為α的伽瑪函數；α、β、a0為3個參數.

上述的統計參數采用適線法確定，結果列入表3.

表3 降雨預報不同量級的實際降雨分布參數Tab.3 The actual rainfall distribution parameters of each order of rainfall forecasting

依據表3之參數，用式（2）的概率分布函數編程計算事件Ej（j＝1，2，3，4）發生的條件概率，結果見表4.

（3）后驗概率p（ei︱Ej）的計算

將表1和表4相應的數據代入貝葉斯式（1）即可算出事件Ej（j＝1，2，3，4）發生條件下各量級降雨預報事件ei出現的概率（后驗概率），結果見表5.

表4 事件Ej發生的條件概率p（Ej︱ei）Tab.4 Conditional probabilities p（Ej｜ei）when event Ej happened

表5 事件Ej發生條件下事件e i后驗概率Tab.5 Posterior probability of event ei when event Ej happened

（4）基于后驗概率構建新的汛限水位動態控制推理模式及其風險

白龜山水庫原設計主汛限水位102 m，汛限水位動態控制研究階段設計的約束域為102.0～ 102.6 m.現行的汛限水位動態控制推理模式只分兩種條件，且沒有給出風險估計，不夠完善，即：

a.如預報未來24 h有大雨以下量級，則汛限水位為102.3～102.6 m；

b.如預報未來24 h有大雨以上量級，則汛限水位為102.0～102.3 m.

本文應用貝葉斯公式推斷的后驗概率描述風險，相應構建的汛限水位動態控制新推理模式更為完備，且為決策者提供風險信息，即：

a.如預報未來24 h無雨，事件E4～E1條件下無雨事件發生的后驗概率（即風險率，以下同）在2.654 71×10－24～2.933 89×10－11，則汛限水位控制為上限102.6 m；

b.如預報未來24 h小雨，事件E4～E1條件下小雨事件發生的后驗概率在8.165 23×10－10～5.630 14×10－5，則汛限水位控制為中上限102.5 m；

c.如預報未來24 h中雨，事件E4～E1條件下中雨事件發生的后驗概率在1.068 51×10－3～8.579 47×10－3，則汛限水位控制為中限102.3 m；

d.如預報未來24 h大雨，事件E4～E1條件下大雨事件發生的后驗概率在2.398 02×10－2～7.734 27×10－2，則汛限水位控制為102.0 m（原設計汛限水位，即控制域下限）；

e.如預報未來24 h暴雨以上量級，事件E4～E1條件下暴雨以上量級事件發生的后驗概率在0.914 021～0.974 951，為提高防洪效益，則汛限水位為101.7 m（考慮預泄能力，低于原設計汛限水位0.3 m）.

上述5種情況分別與表5的行號相對應.

（5）兩種方法風險計算比較

鑒于單一條件風險式計算是白龜山水庫現行方法推理模式的建模基礎，而新方法構建推理模式的依據是貝葉斯推斷的后驗概率，所以表6列出兩種方法概率計算比較，作為評價其安全性的依據.

表6 兩種方法概率計算比較Tab.6 Comparison of probabilities calculated by two methods

從表6可見，因單一條件風險式是不完備條件下的風險計算結果，所以忽大忽小沒有規律，各事件概率之和不歸一，預報量級為e1、e2時，單一條件風險p（x＞ei）×p（E）計算的概率大于貝葉斯公式計算的后驗概率，而e3、e4、e5則相反.另外，p（x＞ei）是降雨漏報的概率，p（E）是年最大法推求的設計暴雨洪水的頻率，二者相乘的合理性缺乏論證.而貝葉斯公式推斷的后驗概率，是考慮互斥完備事件的條件組合概率的權系數，計算合理、有規律且歸一，可為決策者提供偏安全的信息.

3 結 論

（1）根據白龜山水庫汛期預報和實際降雨資料，應用貝葉斯定理推斷出：若發布無雨預報，則校核標準暴雨洪水E4條件下的“無雨”事件發生的后驗概率為2.654 71×10－24，趨于零；如發布暴雨以上量級預報，則校核標準暴雨洪水E4條件下的“暴雨以上量級”事件發生的后驗概率為0.974 951，接近1.初步證明現行的汛限水位動態控制推理模式建模的假定是成立的.

（2）貝葉斯定理推斷出的后驗概率，是互斥完備事件的條件組合概率的權系數，比現行的單一條件概率計算結果有規律，符合實際，可用于描述風險.其可信度會隨著時序延長、新信息的獲得與先驗概率修正而提高.

（3）基于貝葉斯定理推斷出的后驗概率構建的汛限水位動態控制推理模式比現行推理模式結構合理、邏輯性強，配合相應的風險信息為決策者提供支持，可操作性強.

（4）本文研究方法具有理論意義和實用價值，期望它能起到拋磚引玉的作用，使更多水庫參與驗證現行的推理模式建模假定的合理性，提出風險小、效益大、可操作性強的汛限水位動態控制新推理模式，為水利部進一步推廣應用汛限水位動態控制方法作貢獻.

［1］王本德，周惠成，王國利.水庫汛限水位動態控制理論與方法及其應用［M］.北京：中國水利水電出版社，2006

［2］周惠成，王本德，王國利，等.水庫汛限水位動態控制方法研究［M］.大連：大連理工大學出版社，2006

［3］梅理特F S.工程技術常用數學［M］.丁 仁，陳三平，譯.北京：科學出版社，1978

［4］大連理工大學土木水利學院，河南省水利水電勘測設計研究院，河南省白龜山水庫管理局.白龜山水庫汛限水位設計與運行研究技術總報告［R］.大連：大連理工大學，2004