雙曲線(xiàn)上曲率最大點(diǎn)預(yù)測(cè)樁基豎向極限承載力的預(yù)測(cè)

張 琦，王 成

(重慶交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，重慶 400074)

雙曲線(xiàn)上曲率最大點(diǎn)預(yù)測(cè)樁基豎向極限承載力的預(yù)測(cè)

張 琦，王 成

(重慶交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，重慶 400074)

從解析幾何的角度分析了傳統(tǒng)雙曲線(xiàn)方法，該方法是用平行于沉降軸的漸近線(xiàn)來(lái)判定極限承載力;提出了采用雙曲線(xiàn)上曲率最大點(diǎn)來(lái)判定極限承載力。在實(shí)際工程應(yīng)用中，與傳統(tǒng)方法進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明:采用曲率最大點(diǎn)判定極限承載力得到的Qu是傳統(tǒng)的以漸近線(xiàn)判定得到的Qult作折減所得，曲線(xiàn)越平坦折減越多;在極限承載力隨擬合采用荷載級(jí)數(shù)的規(guī)律方面，最大曲率點(diǎn)法與傳統(tǒng)方法一致，得到的極限承載力均隨著采用級(jí)數(shù)的增多逐步增大并逐漸趨于穩(wěn)定。

極限承載力;雙曲線(xiàn)法;樁;豎向靜載荷試驗(yàn);荷載-沉降曲線(xiàn)

確定單樁極限承載力有靜載荷試驗(yàn)、動(dòng)力測(cè)試、靜力觸探法和經(jīng)驗(yàn)公式等多種方法，而靜載荷試驗(yàn)是目前最直觀、最可靠的方法，也是我國(guó)規(guī)范［1］規(guī)定的方法。然而在工程實(shí)踐中，由于荷載裝置、試樁費(fèi)用、工程施工進(jìn)度以及試驗(yàn)終止條件等限制，未能將試樁壓至破壞，所得的荷載-沉降(Q-S)曲線(xiàn)是不完整的，不能直接得到單樁極限承載力。如何利用已獲得的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，合理地預(yù)測(cè)單樁極限承載力，具有重大意義。對(duì)此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，提出了多種數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)方法。常用的有指數(shù)方程法、對(duì)數(shù)曲線(xiàn)法、拋物線(xiàn)法、灰色預(yù)測(cè)法等。目前大多認(rèn)為它們之間的變化符合雙曲線(xiàn)［1-11］。雙曲線(xiàn)法能夠比較好地預(yù)測(cè)Q-S曲線(xiàn)為緩變型的樁基的極限承載力。筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，首先從解析幾何的角度分析了傳統(tǒng)雙曲線(xiàn)的特性，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)方法中采用的是等軸雙曲線(xiàn)，對(duì)極限承載力的判定則是采用平行于S軸的漸近線(xiàn);其次探討了采用雙曲線(xiàn)上曲率最大點(diǎn)來(lái)判定樁的極限承載力極其對(duì)應(yīng)的沉降的方法，研究曲線(xiàn)特性發(fā)現(xiàn)可采用雙曲線(xiàn)兩漸近線(xiàn)的角平分線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交點(diǎn)來(lái)求得最大曲率點(diǎn);最后結(jié)合靜載試樁實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，通過(guò)逐級(jí)預(yù)測(cè)的方法，分析了預(yù)測(cè)單樁極限承載力隨級(jí)數(shù)增多的變化規(guī)律。

1 傳統(tǒng)雙曲線(xiàn)方法的分析

早在1970年馬來(lái)西亞的F.K.Chin在對(duì)一些試樁資料研究后提出樁頂荷載位移(Q-S)曲線(xiàn)可用雙曲線(xiàn)擬合［4］。該方法將Q-S關(guān)系轉(zhuǎn)換成S/QS關(guān)系曲線(xiàn)，方程形式如式(1):

式中:C1為直線(xiàn)斜率;C2為S/Q軸上截距;Qu為試樁極限承載力，Qu=1/C1。

雙曲線(xiàn)法一般都能確定Qu值，但對(duì)Q-S曲線(xiàn)上存在拐點(diǎn)的試樁誤差較大［3］。傳統(tǒng)的雙曲線(xiàn)方法是用兩條漸近線(xiàn)相互垂直的雙曲線(xiàn)，如圖1。

圖1 傳統(tǒng)雙曲線(xiàn)方法Fig.1 Traditional hyperbolic method

此曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，兩漸近線(xiàn)正交，圖中a=b，tan(α)=b/a=1(即 α =45°)。以下就此做出證明。

1.1 圖中兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

設(shè)o點(diǎn)在坐標(biāo)系(SOQ)下的坐標(biāo)為(c，Qult);由圖1可知，坐標(biāo)系(xoy)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)α角、按向量(-c，-Qult)平移即可變?yōu)樽鴺?biāo)系(SOQ)。坐標(biāo)系(xoy)與坐標(biāo)系(SOQ)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系如下:

1.2 由雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型化成傳統(tǒng)方法中的表達(dá)式

對(duì)于坐標(biāo)系(xoy)中的雙曲線(xiàn)方程:

將式(6)代回式(5)可得:

這3個(gè)方程是相同的，只是化簡(jiǎn)時(shí)的思路不同。它們用于荷載-沉降擬合的傳統(tǒng)雙曲線(xiàn)。

由于坐標(biāo)系的平移及旋轉(zhuǎn)不會(huì)改變曲線(xiàn)的形狀。可見(jiàn)傳統(tǒng)的雙曲線(xiàn)方法采用的是等軸雙曲線(xiàn)，兩漸近線(xiàn)正交，用于預(yù)測(cè)極限承載力的是Q=Qult的那條漸近線(xiàn)。

2 最大曲率點(diǎn)的求解

對(duì)于由參數(shù)方程表示的曲線(xiàn):(x=x(t)，y=y(t))曲率κ的定義為:

求上式極大點(diǎn)得t=1，與此對(duì)應(yīng)的x=a，y=0。即兩漸近線(xiàn)角平分線(xiàn)ox與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)是曲率最大點(diǎn)。由ox的方程與式(9)聯(lián)立可解得最大曲率點(diǎn)如下:

由前面的分析可知，采用雙曲線(xiàn)函數(shù)模型可得到可得到試樁極限承載力Qu=Qult此為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。而達(dá)到此極限值時(shí)，沉降S理論上為無(wú)限大，與實(shí)際破壞荷載和其對(duì)應(yīng)沉降值不一致，因而無(wú)法用極限值來(lái)預(yù)測(cè)單樁的極限承載力及其相應(yīng)樁頂沉降。趙春風(fēng)，等［12］探討了用指數(shù)函數(shù)最大曲率點(diǎn)判定樁的極限承載力及其相應(yīng)沉降。

斜率變化對(duì)判定樁的極限承載力至關(guān)重要，曲率越大的地方斜率變化也越劇烈。作為特征點(diǎn)，最大曲率點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上具有唯一性，文中利用雙曲線(xiàn)兩漸近線(xiàn)的角平分線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)，作為極限點(diǎn)來(lái)判定樁的極限承載力。采用此法判定樁極限承載力及對(duì)應(yīng)的沉降的方法是較為簡(jiǎn)便的，而且便于圖解。

3 工程應(yīng)用

文獻(xiàn)［12］中所列出的S2試樁數(shù)據(jù)共分16級(jí)荷載，荷載分級(jí)多較，適合驗(yàn)證最大曲率點(diǎn)預(yù)測(cè)單樁極限承載力的可行性。由式(9)可知利用S與S/Q之間的線(xiàn)性關(guān)系，對(duì)原試樁數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后線(xiàn)性回歸即可得到擬合參數(shù)，然后用曲率最大點(diǎn)推求它們的極限承載力及對(duì)應(yīng)的沉降。表1中列出了從5級(jí)荷載到16級(jí)荷載的擬合結(jié)果。

當(dāng)采用16級(jí)數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果如圖2。

表1 前n級(jí)擬合結(jié)果Tab.1 Fitting results of n steps

圖2 S2擬合結(jié)果Fig.2 Fitting results of S2 pile

極限承載力的預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確與否跟實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的多少有關(guān)。特別是破壞的彈塑性段，只有分級(jí)足夠多才能描述出此階段斜率變化，進(jìn)而精確預(yù)測(cè)塑性破壞階段的曲線(xiàn)形狀，擬合結(jié)果才能更好地逼近真實(shí)值。從前5級(jí)荷載開(kāi)始預(yù)測(cè)，接著用前6級(jí)荷載進(jìn)行預(yù)測(cè)，直至用前16級(jí)荷載預(yù)測(cè);逐步預(yù)測(cè)的單樁的極限承載力如圖3所示，橫坐標(biāo)表示的為預(yù)測(cè)所用的前n級(jí)荷載。

從圖3可以看出不論是利用漸近線(xiàn)預(yù)測(cè)的結(jié)果Qult還是采用最大曲率點(diǎn)預(yù)測(cè)的結(jié)果Qu，均隨著采用級(jí)數(shù)的增多逐步增大并逐漸趨于穩(wěn)定。2種預(yù)測(cè)方法的規(guī)律具有相似性。最大曲率點(diǎn)得到的Qu是Qult折減所得，隨著b值的增大折減的也越多。一般說(shuō)來(lái)圖1中的曲線(xiàn)越平坦，b值也越大，對(duì)于較平坦的Q-S曲線(xiàn)，試樁數(shù)據(jù)進(jìn)入塑性的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)較少，為安全起見(jiàn)需要對(duì)Qult做較大的折減。假如靜載試驗(yàn)沒(méi)能加載至彈塑性變形段，圖3中的曲線(xiàn)就不會(huì)逐漸趨于水平，預(yù)測(cè)樁的極限承載力是難以達(dá)到目標(biāo)的。

4 結(jié)論

樁土系統(tǒng)本身的復(fù)雜性導(dǎo)致試樁的Q-S實(shí)測(cè)曲線(xiàn)千差萬(wàn)別，是當(dāng)前國(guó)際研究的難題之一。筆者在分析實(shí)驗(yàn)資料和總結(jié)前人采用雙曲線(xiàn)擬合Q-S實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上。探討了采用曲線(xiàn)上曲率最大點(diǎn)判定極限承載力的可行性，并與傳統(tǒng)的以漸近線(xiàn)判定極限承載力方法作對(duì)比，得到如下結(jié)論:

1)文中采用雙曲線(xiàn)上曲率最大點(diǎn)判定極限承載力得到的Qu是傳統(tǒng)的以漸近線(xiàn)判定得到的Qult作折減所得，曲線(xiàn)越平坦折減越多。

2)在極限承載力隨擬合采用荷載級(jí)數(shù)的規(guī)律方面，最大曲率點(diǎn)法判定出的極限承載力Qu與傳統(tǒng)方法得到的Qult一致，均隨著采用級(jí)數(shù)的增多逐步增大并逐漸趨于穩(wěn)定。

3)以雙曲線(xiàn)兩漸近線(xiàn)的角平分線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)來(lái)得出最大曲率點(diǎn)，并據(jù)此判定試樁的極限承載力。此法比直接利用漸近線(xiàn)判定的極限荷載值小有利于工程安全，幾何概念清楚易于圖解及公式計(jì)算。實(shí)例表明:此法對(duì)于極限承載力的判定較為準(zhǔn)確但對(duì)于沉降的判定尚需進(jìn)一步研究。

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Prediction of Ultimate Bearing Capacity of Single Pile by the Maximum Curvature Point of Hyperbolic

ZHANG Qi，WANG Cheng
(School of Civil Engineering＆ Architecture，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China)

From the analytic geometry’s point of view，the asymptotic which parallel to the settlement axis had been employed to determine the bearing capacity in the traditional hyperbolic method.In this paper the maximum curvature point of hyperbolic was used to ultimate bearing capacity of single pile.In practical application，the traditional methods were analysed comparing with the method proposed.The results showed that the ultimate bearing capacity Qucalculated by the method in this paper was equivalent to Qultreduction which was calculated by the traditional method.The flatter the curve was，the more the reduction.In the relationship of the ultimate bearing capacity and the load series，maximum curvature method agreed with traditional method;the ultimate bearing capacity would be stable and large with the increasing numble of the load series.

ultimate bearing capacity;hyperbola method;pile;vertical static load test;loading-settlement curve

TU473

A

1674-0696(2011)03-0394-04

2010-12-06;

2011-03-19

張 琦(1984-)，男，江西樟樹(shù)人，碩士研究生，主要從事隧道及基礎(chǔ)工作方面的研究。E-mail:76540696@qq.com。