串聯系統的可靠性評估方法

李志剛 李玲玲

（河北工業大學電磁場與電器可靠性省部共建重點實驗室 天津 300130）

1 引言

可靠性是評價一個對象（包括系統、產品及其部件，等）的綜合品質的重要指標。任何一個對象的可靠性評估結果，都是在對與該對象的可靠性有關的大量數據和信息進行合理處理的基礎上獲得的，這些數據和信息被稱為初始信息。在實際問題中，對象的初始信息中可能并存著多種本質不同的不確定性，除常見的隨機性之外，還包括用于表達對象處于亦此亦彼狀態的“模糊性”、用于表達對象的有關信息未被人們所確知的“不知性”和信息本身不被完全信任的“不完全可信性”等。這些不確定性的本質和表現形式各不相同。

模糊性由分布在相應論域上的隸屬函數描述。模糊集合的隸屬函數通常帶有人的主觀性，因為即使這個隸屬函數是建立在大量客觀數據的基礎上，它也仍然與人們所選擇的數據處理方法直接相關，并且與人們的習慣、偏好以及人們對問題的認識程度有關。這種“主觀性”導致了隸屬函數的“不完全可信”。可以說，“模糊性”往往伴隨著“不完全可信性”。“不知性”在評估中也很常見，例如，設模糊評語集為{好，一般，不好}，人們根據對象的有關信息判斷出“對象對上述三個模糊評語的隸屬程度分別不低于0.3、0.4 和0.2”，那么還有“0.1”不知道應該分配給哪個評語。這里，“0.1”就是對“不知性”的描述。

客觀世界中，事物（或稱對象）的性態通常是由多個屬性（或稱指標）來刻畫的，因此對象的評估通常是多指標綜合評估，這些指標構成了評估指標體系。在指標較多的情況下，評估指標體系往往呈多層樹狀結構，“樹”的每個葉結點表示一項評估指標，其根結點代表被評估對象。在評估過程中，蘊含在任一指標中的各種不確定性都會沿著“樹”的拓撲結構從葉結點遞階而上，最終傳遞到根結點，從而導致對象的綜合評估結果中也蘊含同一種不確定性。可見，一種評估方法若要合理，則必須可同時處理各種類型的不確定性，并定量地度量蘊含在初始信息中的各種不確定性給評估結果帶來的不確定性。但是包括模糊綜合評判[1-2]、層次分析法[3-4]、基于貝葉斯網絡[5-6]和人工神經網絡[7-8]等在內的常用方法以及其他一些方法[9-10]均不具備這種性能。

近年來，D-S 證據理論（Dempster-Shafer Evidential Theory）開始被用于評估[11-13]，但仍有如下不足存在于相關文獻所提出的方法中：

（1）能夠處理的不確定性的種類較少。通常只處理隨機性和模糊性。

（2）對證據理論的使用過于簡單，證據組合的“預處理”和“后處理”工作不充分，導致評估結果的合理性降低，蘊含于評估結果中的信息量減少。

為此，一種基于D-S 證據理論且彌補了上述不足的評估方法在本文中被提出，該方法適用于任何一個具有獨立功能的對象，這個對象可以簡單到僅是產品的一個功能部件，也可以復雜到是一個完整的系統。

若要對某個對象的可靠性進行評估，首先必須建立與該對象的可靠性有關的指標集。但是，當評估對象是一個由多個“功能獨立”的子系統組成的復雜系統時，建立一個統一的評估指標集是困難的，因為各個子系統的功能不同，與可靠性有關的指標也不盡相同。針對這種情形，一種適用于復雜系統的可靠性評估方法也在本文中被提出。

2 D-S 證據理論簡介

主觀Bayes 方法、確定性理論、可能性理論、D-S 證據理論并稱四大不確定推理模型。與其他模型相比，證據理論最顯著的特點是能夠處理由不確知引起的不確定性。該理論中的幾個基本概念定義如下。

定義1 辨別框架

設某個問題的全部備選解可用有限集合 Θ ={θ1,θ2,…,θn}表示，Θ 中的各元素互不相容，其中有且僅有一個元素是該問題的正確解，則稱Θ 為該問題的辨別框架。

定義2 mass-函數

m(A)的意義如下：①若A Θ? 且A Φ≠ ，則m(A)表示對A 的精確信任程度；②若A=Θ，則m(A)表示對該問題的解“不確知”的程度。

定義3 信任函數、似然函數與信任區間

Bel(A)表示對A 的信任程度，Pl(A)表示對A 不反對的程度。

定義4 D-S 合成法則

3 具有獨立功能的對象的可靠性評估方法

包括可靠性評估在內的各種評估的結果，通常被表達為某組“基”上的一個矢量。這組“基”記為

相應的矢量記為

從模糊綜合評判的角度看，Θ 為模糊評語論域，或稱模糊評語集，例如Θ ={好，較好，一般，較差，差}；θi(1≤i≤n)表示一個模糊評語。Θ 中元素的個數n 以及θi的具體含義是由評判者根據自己的主觀經驗來決定的，n 通常取為3～9 之間的一個奇數；Θ 中的全部元素要求按其具體含義有規律地排序，例如由“好”到“差”或者由“差”到“好”；Θ 中位于“正中位置”的元素通常含有“一般”、“普通”的意思。

從證據理論的角度看，Θ 為辨別框架；θi表示對對象的性狀進行評價的一個命題，例如“對象的性能較好”、“對象的可靠性較高”等。

本文中的評估方法和步驟如下。

3.1 根據對象的具體特點，建立其可靠性評估指標體系

當指標個數較少（不大于5～6）時，可進行“單目標單層次”綜合評估。此時，評估指標體系的拓撲結構是一棵深度為2 的“樹”；樹的根結點表示被評估對象，即評估的目標。反之，當指標個數較多時，通常需要進行“多目標多層次”綜合評估。此時，評估指標體系的拓撲結構是一棵深度大于2 的“樹”；樹的根結點仍然表示被評估對象，即評估的總目標，樹的任一非根的分支結點表示評估的一個子目標。無論綜合評估是否是“多層次”的，樹的全部葉結點都構成評估指標集。

評估指標集固然可以由評估者根據自己的經驗來確定，但這樣做難免帶有過多的主觀性。一種比較客觀的方法是采用粗糙集理論[14]中的“屬性相對約簡”的方法來確定，這就需要首先建立一個包含決策屬性的知識表達系統。在該系統中，“論域”由在“可靠性”方面已獲得了一個模糊評語的、評估對象的一組同類對象組成；“屬性集”包括“條件屬性”和“決策屬性”，其中“條件屬性集”可由對象的全部屬性構成，“決策屬性”只有一個，即“可靠性”。利用這個知識表達系統，完成“條件屬性”對“決策屬性”的約簡，所獲得的“相對核”即構成可靠性評估用的“評估指標集”。

3.2 確定當前的評估對象，以及評估指標集Z 和其權重集W

這里，要求W 滿足非負性和歸一化。最復雜的情形莫過于“樹”的深度大于2。此時，選擇互為“兄弟”的一組結點及其父結點，構造一棵子樹。這棵子樹的根結點即當前的評估對象，其全部葉結點則構成Z。在評估過程的最初，Z 中的每個指標都必須位于指標體系的終端（即底層）；隨著評估工作的展開，Z 中的指標按照“樹”的層次結構漸次向上移動，直至達到樹的第二層，此時Z 對應于樹的根結點。

3.3 基于D-S 證據理論綜合處理蘊含于當前已知的評估信息中的各種不確定性，從而獲得當前對象的評估結果

這個結果被表達為Θ 上的一個mass-函數。

3.4 判斷當前對象是否為評估總目標

若是，則根據評估的具體要求，或直接以上述的mass-函數作為評估結果，或通過對該函數做進一步處理而得到最終的評估結果；否則，跳轉至3.3。

上述的最后兩個步驟包含多個計算過程，主要包括：

（1）在評估過程的最初，基于概率論或模糊理論，確定對象關于指標z*的性狀，表達為Θ 上的一個概率分布或一個歸一化的模糊分布，記為

式中，要求z*必須對應于樹的一個葉結點。

如何計算V*，取決于對象的初始信息。舉例來說，如果對象關于z*的指標值r*是一個實數，且“z*的性能為θi”這一模糊事件的隸屬函數（記為是已知的，則首先計算r*對的隸屬度，然后對 這n 個隸屬度進行歸一化處理，從而得到V*。這里，θi∈Θ。如果r*是一個模糊數，其余條件同上，則計 算r*對的貼近度。不過，目前已有的貼近度算 法很多，性能不一，相比較而言，文獻[15]提出的具有自適應能力的算法性能更好，且能統一處理普通實數和模糊數，可用于此處計算V*。

需要說明的是：

第一，上文中，作為實數的指標值r*可以通過對具體對象進行實測得到，而作為模糊數的指標值r*可以在獲得一組實測數據的基礎上采用模糊統計的方法得到。當無法獲得實測數據時，可以由領域專家給出一個估計值（可以是實數也可以是模糊數），同時給出這個估計值的可信度（可信度是區間[0，1]內的一個實數，當它小于1 時，說明這個估 計值帶有“不完全可信性”）。可以采用類似的方法得到。在的具體數據難以獲得的情 況下，V*也允許由專家直接給出。

第二，當對象關于指標z*的有關信息中蘊含有由隨機性引起的不確定性時，主觀Bayes 方法、確定性理論等都可用來求解V*。這里不再贅述。

（2）把對象關于指標 z*的性態描述為Θ上的mass-函數m*:(m*(θ1),m*(θ2),…,m*(θn),m*(Θ ))。

對V*做如下轉換：

式中，i=1,2,…,n；*a′、*a′分別為r*和的可信 度，。若，則表明對象的有關初始信息蘊含不完全可信性。

某些情況下，專家也可能直接用Θ上的一個mass-函數而不是V*來描述對象關于z*的性態，記該函數為 若*( )m Θ′ ＞0，說明對象的初始信息中蘊含不確知性。

若專家同時為*m′賦以*(0,1]a ∈ 的可信度，則有

（3）根據當前對象的已知信息對其可靠性進 行評估，并將評估結果表達為Θ上的mass-函數m。這里，所謂已知信息包括當前對象的指標集Z={zj|j= 1,2,…,τ}和權重集W={wj|j=1,2,…,τ}，以及當前對象 關于指標jz Z∈ 的性態mj。如果zj為“樹”的終端 結點，則有mj=m*。m 的求取方法見式（6）～式（8）。

式中，⊕為D-S 法則中的“正交和”運算。

（4）如果m 對應于評估總目標，則它可直接作為最終的評估結果。當然，也可以按下述方法把m 轉換為式（2）的形式，即

式中，V 為Θ 上的模糊變量；CF(V)為V 的可信度。

4 本文中評估方法的特點與評估結果釋義

從上述的信息處理過程易知：

（1）式（3）中的V*以及式（4）、式（5）中的 m*都是對對象關于其底層指標的評估結果的描述。蘊含在對象初始信息中的隨機性或者模糊性由V*表達，包括不確知性、不完全可信性和“隨機性或模糊性中的一種”在內的多種不確定性由m*綜合表達。隨后，各種不確定性由式（6）～式（8）進行統一處理。因此，式（8）中的mass-函數m 是各種確定性信息和不確定性信息的綜合體現。

（2）式（7）是本文方法中的“證據組合”環節。與其他基于證據理論的方法（并不僅限于“評估”方法）相比，證據組合的預處理和后處理工作在本文中是充分的。這些工作包括：

式（3）～式（5）把與當前評估指標有關的信息表達為Θ 上的多個mass-函數。

式（6）根據指標的權重為這些mass-函數賦權，旨在“證據組合”過程中區分來源于不同途徑的證據的不同重要性。該環節在目前基于D-S 證據理論解決問題的各種方法中常被忽略，因為經典的證據理論不對各項證據區分主次。

式（8）對證據的組合結果做了進一步處理，以避免由于“證據賦權”而不真實地擴大有關信息中的不確知性，從而保障了評估結果的合理性。

其中，前兩項工作為“證據組合”的預處理，最后一項工作為“證據組合”的后處理。

（3）作為對象的評估結果，式（8）中的m 從多個角度描述了對象的性態，很多重要結論可以從中導出，包括：m(θi)是對命題θi∈Θ 的信任度，也是對θi的一種確定性度量；m(θj)+m(Θ )是對命題θi不予反對的程度，也是對θi的一種不確定性度量。

[m(θi)，m(θj)+m(Θ )]是命題θi的信任區間。

m(Θ )表示對Θ 中的任一命題既不肯定也不否定的程度，也是蘊含在對象的初始信息中的各種不確定性給對象的評估結果帶來的不確定性。

（4）目前常用的評估方法通常以式（2）中的V 表達評估結果。與之相比，式（9）附加了V 的可信度CF(V)。當不完全可信性、不確知性等存在于對象的初始信息中時，CF(V)是度量它們給對象的評估結果帶來的不確定性的唯一依據。但當前的常規方法卻不能獲得這種依據，因此丟失信息是不可避免的。與之相反，本文中的方法對相關信息給予了最大程度的保留。

5 復雜系統的可靠性評估方法

一個不含冗余結構的復雜系統（記為S）通常可以視為由一系列“功能獨立且各異”的子系統串聯組成。此時，上述方法可用來獲得各子系統的可靠性評估結果，而S 的可靠性評估結果則可由各子系統的可靠性評估結果導出。各子系統的評估結果宜以式（8）而不是式（9）的形式表達。

這里，記S={s(k)|k=1,2,…,q}，其中s(k)表示一個子系統；記s(k)的可靠性評估結果為Θ 上的 mass-函數m(k)，并有

則S 的可靠性評估結果（記為m*）為

顯然，m*也是Θ 上的一個mass-函數。其中，m*(Θ )為存在于以串聯方式聯接的各子系統的可靠性評估結果中的不確定性給系統S 的可靠性評估結果帶來的不確定性。

類似地，m*也可以按式（9）轉換為Θ 上的一個模糊分布V*，并有CF(V*)=1?m*(Θ )。

6 應用實例與分析

中性點經消弧線圈接地的電力網通常需要配備阻尼電阻。當電力網發生接地故障時，流過該電阻的電流劇增，此時必須迅速將阻尼電阻短接，以避免它因過熱而燒毀。控制該電阻短接的直流控制系統（記為S）由過流繼電器s(1)、中間繼電器s(2)和直流接觸器s(3)串聯組成。S 的工作原理為：當流過阻尼電阻的電流超過限定值時，s(1)首先動作，然后通過s(2)控制s(3)閉合其觸點，從而將阻尼電阻短接。從故障發生的時刻起到電阻被短接，時間越短越好。

實例1：試對s(1)的可靠性進行評估。

這里，確定模糊評語集（或者稱辨別框架） Θ ={θi|i=1,2,…,5}={好，較好，一般，較差，差}。根據S、s(1)的功能以及s(1)本身的技術特征，為s(1)選取可靠性評估指標集Z={z1,z2,z3}={可靠度，實時性，其他}，Z 的權重集為{0.4，0.4，0.2}。其中，z2={z21,z22}={動作時間，回跳時間}，其權重集為（0.7，0.3）；z3={z31,z32,z33}={電磁兼容，過載能力，工作壽命}。

顯然，s(1)的可靠性評估指標體系可描述為一棵“深度為3”的樹。

（1）與z1有關的初始信息如下：Θ 中各模糊評語子集的隸屬函數如下圖所示，圖中有關信息的可信度為0.95；s(1)的可靠度為0.996。

根據上述信息，算得V1=（0，0.6667，0.3333，0，0），為Θ 上的一個模糊分布，其定義見式（3）。若考慮信息的不完全可信性，則可按式（4）將V1

圖 z1 的各模糊評語子集的隸屬函數 Fig. The membership function of z1 with respect to each fuzzy remark sub-set

轉換為Θ 上的mass-函數m1:（0，0.6334，0.3166，0，0，0.05）。根據z1的權重按式（6）為m1賦權， 得到1mΔ:（0，0.2533，0.1267，0，0，0.62）。

（2）與z2有關的初始信息是由專家給出的。s(1)關于指標z21和z22的性態被描述為Θ 上的兩個mass-函數21m′ 和22m′ ，其數據見下表，其可信度均為0.9。

上述信息至少同時蘊含了三種不確定性，包括：不確知性、不完全可信性，以及隨機性和模糊性中的一種。例如在與z21有關的信息中，“不確知”的程度為0.3，“不可信”的程度為0.1，隨機性或模糊性體現于 21m′ 的前五個分量的比例關系。與z2={z21,z22}有關的信息處理結果見下表。表中，mass- 函數m2j、 2 jmΔ、 Δ Δ21 22 m m⊕ 和m2依次按式（5）～式 （8）建立。

表 與z2 有關的信息及其處理結果 Tab. The information relating to z2 and its processing result

與之相反，按照本文方法得到的評估結果 m2和則是較為合理的。

m2中的各個分量（在證據理論中稱為“基本概率數”）都有切實的含義，根據它們可對評估結果做 出合理的信息論解釋；而則不然。的唯一價值體現于它的前五個分量的比例關系。由于在中分配給辨別框架Θ的基本概率數沒有實際意義，不僅導致中的其余五 個“基本概率數”也沒有切實含義，而且導致用于度量評估結果的不確定性的重要依據被丟失。因此， 與m2相比， Δ Δ21 22 m m⊕ 涵蓋的信息量要小得多。“證 據組合”的后處理的意義乃現于此。

（3）類似地，利用與z3有關的初始信息可得到s(1)關于z3的評估結果，記為m3。這里不再贅述。

（4）假設m3為（0.0944，0.1351，0.2209，0.2586，0.1713，0.1197）。s(1)關于z1和z2的評估結果已在上文中算出，分別為m1:（0，0.6334，0.3166，0，0，0.05），m2:（0.6042，0.0798，0，0，0，0.3160）。 由此得到三個加權的mass-函數，即1mΔ:（0，0.2533，0.1267，0，0，0.62），2mΔ:（0.2417，0.0319，0，0，0，0.7264）和3mΔ:（0.0189，0.0270，0.0442，0.0517， 0.0343，0.8239）。這三個函數的組合結果為 m′:（0.1611，0.2299，0.1193，0.0278，0.0185，0.4434）。對m′做進一步處理，可得到s(1)的可靠性評估結果為Θ 上的mass-函數m:（0.2402，0.3427，0.1778，0.0415，0.0275，0.1703）；也可將m 轉化為Θ 上的模糊分布V=（0.2895，0.4131，0.2143，0.0500，0.0332），V 的可信度為0.8297。由m 可得到的一系列重要結論參見本文第四部分中的第三項，這里不再重復說明。

實例2：試對S 的可靠性進行評估。

s(1)的可靠性評估結果即上文中的m。這里，假設 s(2)和 s(3)的可靠性評估結果分別為（0.2092，0.4333，0.2180，0.0686，0.0219，0.0490）、（0.2458，0.2931，0.2393，0.1254，0.0105，0.0859），則根據式（10）可得S 的可靠性評估結果為m*:（0.2326，0.3133，0.2173，0.0932，0.0250，0.1186）。這一評估結果也可以等價地表達為Θ 上的模糊分布 V*=（0.2639，0.3555，0.2465，0.1057，0.0284），其可信度為0.8814。

7 結論

本文基于D-S 證據理論，提出了對具有獨立功能的對象進行可靠性評估的一種方法，并在此基礎上提出了對不含冗余結構的復雜系統進行可靠性評估的方法。本文方法具有如下特點：

（1）能夠在評估過程中綜合處理包括隨機性、模糊性、不完全可信性、不確知性在內的多種不確定性。

（2）以辨別框架上的一個mass-函數來表達評估結果，便于對評估結果做出合理解釋，并定量地度量蘊含在對象的初始信息中的各種不確定因素給評估結果帶來的不確定性。

（3）針對對象的每個評估指標建立一項證據，并通過“證據的組合”來得到評估結果。本文圍繞“證據組合”做了充分的預處理和后處理工作，從而避免了信息丟失，保障了評估結果的合理性。

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