基于信息量等值的火工品可靠性評估小樣本方法

董海平，趙霞，蔡瑞嬌

(北京理工大學 爆炸科學與技術國家重點實驗室，北京100081)

0 引言

隨著武器裝備和航空航天器技術的發展，對與之配套的火工品可靠性(本文指發火可靠性)要求越來越高，大部分火工品的可靠度指標已達到了0.999，有的甚至達到了0.999 5.若采用經典方法［1］評估其可靠性，因所需樣本量大，工程中常常難以實施。為了解決火工品高可靠性的評估問題，田玉斌［2］提出了計量與計數法相結合的Bayes 可靠性評定方法，在很大程度上減少了樣本量;馮蘊雯等［3］、張士峰等［4］對小子樣Bayes 可靠性評定方法進行了改進，使樣本量進一步減少［3-4］。劉炳章等［5］、劉杰等［6］提出基于熵強化系數，選擇熵強化系數等于功能裕度系數的點進行試驗，能使試驗熵最大，試驗所需樣本量最小，即“最大熵試驗法”，初步解決了航天火工品高可靠性的評估問題;榮吉利等［7］利用裕度思想提出了一種加嚴條件下的火工機構的可靠性評估方法。這些方法對火工品高可靠性小樣本評估起到了很好的推動作用。

可靠性試驗的目的是獲取產品的可靠性信息，以此對產品可靠性進行評估［8］，因此，可靠性評估技術的關鍵是獲取足夠多的可靠性信息量。信息論中，信息量是隨機變量不確定性的度量。在火工品可靠性試驗中，其試驗結果是隨機的，外界施加的能量越高，發火可靠度越高，其試驗結果不確定性就越小，從試驗成功中獲得的可靠性信息量就越少。按經典方法評估時，一般直接在技術指標規定的工作刺激量處進行試驗，由于在工作刺激量處的發火可靠度高，因此在該處進行的每發產品試驗成功獲得的可靠性信息量就少，為獲得足夠的可靠性信息量需要樣本量就大;反之，如果能在低刺激量處進行試驗，每發產品試驗成功獲得的可靠性信息量就多，為獲得同樣的可靠性信息量需要樣本量就可以小一些。本文根據在低刺激量下試驗比在高刺激量下試驗成功能獲得更多可靠性信息量的原理，降低試驗刺激量，使在低刺激量處少量樣本的試驗獲得的可靠性信息量與根據GJB 376—1987 評估時在工作刺激量處進行大量試驗獲得的可靠性信息量等值，實現小樣本方法與采用GJB376—1987 方法評估結果等效。

1 火工品可靠性試驗信息量等值評估原理

信息論中，一個隨機事件所含有的信息量稱為自信息量，定義［9］為

式中:P 為隨機事件發生的概率;I 代表兩種含義:當隨機事件發生以前，表示事件的不確定性;當隨機事件發生以后，表示該事件所含有(或所提供)的信息量。

信息量采用的單位取決于對數所選取的底，如果采用以e 為底的自然對數，則所得的信息量單位為奈特(nat，nature unit 的縮寫)，即I=-lnP.

火工品可靠性試驗屬一次性作用產品的成敗型試驗，每次試驗成功獲得的可靠性信息量可以采用類似的方式來度量，即可定義為

式中:R 為可靠度，即火工品試驗的發火概率;TI 表示每發產品發火后所提供的可靠性信息量。

火工品的可靠性指標一般表示為:對于工作刺激量xH，在置信水平γ 的情況下，可靠度不低于R.如果采用GJB376—1987 評估，在無失效的情況下，要試驗nxH發產品，其中nxH由(3)式計算。

若火工品感度服從正態分布，則xH處的可靠度為其中μ、σ 為未知的感度分布參數。按照上述火工品可靠性信息量的定義，在xH處單發產品試驗成功獲得的信息量為TIH=-lnRxH.按照信息量可加性原理，nxH發產品試驗全部成功獲得的總信息量為nxHTIH=nxH(-lnRxH).

選擇某一低刺激量xL進行試驗，使xL＜xH，xL處的可靠度為其中μ、σ 為未知的感度分布參數。在xL處單發產品試驗成功獲得的信息量為TIL=-lnRxL，若在xL處試驗nxL發產品，則nxL發產品全部試驗成功獲得的總信息量為nxLTIL=nxL(-lnRxL).

關于火工品的可靠性評估，一般認為按GJB376—1987 評估試驗中包含了足夠的可靠性信息量，評估結果可信。因此，令在低刺激量xL處試驗nxL發產品獲得的可靠性信息量與按GJB376—1987 在工作刺激量xH處試驗nxH發產品獲得的信息量相等，即

(4)式稱為火工品可靠性信息量等值方程。

由于刺激量xL＜xH，則相應的可靠度RxL＜RxH，即(-lnRxL)＞(-lnRxH)，根據等值方程(4)式易得到nxL＜nxH，即降低了樣本量。如果xL越小，則所需的nxL也會越少。實際工程中，為了兼顧生產方和使用方的實際情況，可根據產品的批量和工程實際共同協商確定允許試驗的產品數量nxL，然后根據感度試驗估計出感度分布參數，再利用信息量等值方程和感度分布模型確定出低刺激量xL，最后在xL處進行少量試驗，根據該試驗結果作出可靠性判定。

本方法就是根據在高刺激量處試驗，其獲得的信息量值小，而選擇低刺激量進行試驗，使單個產品試驗獲得的可靠性信息量增加，從而達到了降低樣本量的目的。

2 小樣本評估程序

2.1 計算按GJB376—1987 評估所需的樣本量nxH

由置信水平γ，可靠度R，按(3)式計算nxH.

2.2 升降法試驗

按GJB/Z377A—1994［10］的規定進行3 組升降法試驗，每組樣本量為50，然后根據極大似然估計原理求出產品感度分布參數μ、σ 的估計。

2.3 刻度參數糾偏

由GJB/Z377A—1994 規定的升降法試驗方案得到的試驗結果確定感度分布參數時，μ 的估計是無偏的，而σ 的估計是有偏的［11］。這勢必影響可靠度估計的準確性，因此糾偏成為本方法的關鍵問題。文獻［12］對升降法試驗σ 估計的糾偏問題進行了計算機模擬研究，得出了σ 估計的糾偏系數，本方法采用該文獻提出的糾偏系數對σ 估計進行糾偏，得到經過糾偏處理后的3 組升降法參數估計值的平均值為

2.4 低刺激量xL 的確定

本文以正態分布和對數正態分布為例。

2.4.1 正態分布

nxL可由生產方和使用方根據產品設計、工藝、性能、管理等信息確定，也可采用本方法根據研究結果推薦的樣本量，見表1.

表1 試驗信息量等值評估方法在低刺激量處的試驗樣本量推薦表Tab.1 Test number for assessment method based on test information measure equivalence

將nxH、和nxL代入可靠性試驗信息量等值方程(4)式，求得xL處的可靠度估計值，然后按(6)式計算

2.4.2 對數正態分布

2.5 結果判定

在刺激量xL處，取確定的試驗樣本量nxL進行試驗，若全發火，則可判定產品滿足可靠性指標。

3 大、小樣本對比驗證試驗

某撞擊火帽可靠性指標為:γ=0.90，R=0.999.發火上限為落高10 cm，落錘388 ±1 g.

3.1 大樣本法評估

由于步進法試驗數量較大，且其參數估計穩定，因此在實際工程中常把步進法稱為大樣本方法。大樣本方法是根據步進法試驗數據估計分布參數，然后求出滿足可靠性指標的刺激量上限，若其上限小于該產品的工作刺激量，則可判定產品達到可靠性指標。

對本產品進行了2 800 發的步進法試驗，試驗數據見表2所示。

表2 步進法試驗數據Tab.2 Test data of run-own method

通過χ2檢驗得到該撞擊火帽感度服從對數正態分布，采用極大似然原理估計出其感度分布參數(對數均值為1.57，對數標準差為0.16)，并計算得與可靠性指標對應的刺激量置信上限為^x0.999U=8.02 cm.

由于發火上限落高為10 cm，則可判斷該產品達到了可靠性指標。

3.2 采用本小樣本方法評估

由可靠性指標γ=0.90，R=0.999，按(3)式計算可得，nxH=2 303 發。

進行3 組升降法試驗，受測量精度的限制，升降法試驗中刺激量選正態分布等步長進行，原始數據列于表3中。

根據步進法試驗結果，該產品感度服從對數正態分布，因此先將各刺激量(落高)利用y=lnx 轉換為對數值，然后利用極大似然估計原理求出參數估計值，見表4所示。

利用文獻［12］中的正態分布糾偏系數表對標準差進行糾偏，糾偏后的3 組升降法參數估計值的平均值(對數值)為

表3 3 組升降法試驗數據Tab.3 Three groups of test data up-and-down method

表4 3 組升降法參數估計結果(對數值)Tab.4 Parameter estimation values (logarithm)of three groups of up-and-down test data

由產品可靠性指標和表1可確定樣本量nxL為22 發。xH=10 cm，對xH取對數yH=lnxH=ln10=2.303.把=1.585，=0.164，lnxH，代入(5)式可求得xH處的可靠度估計=0.999 994.然后把nxH=2 303 發，nxL=22 發，=0.999 994 代 入(4)式，求得xL處的可靠度估計值=0.999 372.再按(6)式求得xL的對數值yL=2.11，再根據(7)式，可求得低刺激量xL=8.2 cm.

在8.2 cm 處試驗產品22 發，全部發火。判定該產品發火可靠性達到了置信度γ=0.90，可靠度R=0.999 的指標。

評估結果與大樣本方法一致，驗證了本小樣本方法的可行性。采用本小樣本方法進行評估時，3 組升降法試驗共用了150 發產品，低刺激量處試驗用了22 發，總共用了172 發產品，實現了對可靠度指標為0.999 的評估，所需樣本量約為采用GJB376—1987 或步進法進行評估時的1/10，大幅度降低了樣本量。

4 結論

本文利用在低刺激量處進行試驗比在高刺激量處進行試驗能獲得更多可靠性信息量的原理，選擇低刺激量處進行試驗，使較少樣本試驗獲得的總可靠性信息量與根據GJB376—1987 在工作刺激量處進行的大量試驗所獲得的可靠性信息量相等，以此為基礎，建立了火工品可靠性評估小樣本方法，大幅度降低了樣本量。該方法可解決高可靠性指標的火工品可靠性評定中所需樣本量大，試驗周期長，耗費高的難題。用本方法已在國內20 多個型號火工品與大樣本步進法進行了對比試驗驗證，結果表明本方法正確、可行，可以在火工品高可靠性評估中推廣使用。

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