湍流邊界層脈動(dòng)壓力波數(shù)—頻率譜模型對(duì)比研究

王春旭 曾革委 許 建

中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢 430064

湍流邊界層脈動(dòng)壓力波數(shù)—頻率譜模型對(duì)比研究

王春旭 曾革委 許 建

中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢 430064

湍流邊界層噪聲是艦船主要水動(dòng)力噪聲之一。湍流邊界層噪聲預(yù)報(bào)須選用適當(dāng)?shù)拿}動(dòng)壓力波數(shù)—頻率譜模型。引入6種常用的脈動(dòng)壓力波數(shù)－頻率譜模型，在波數(shù)域和頻域內(nèi)進(jìn)行對(duì)比；運(yùn)用這些模型對(duì)槽道流邊界層脈動(dòng)壓力自功率譜進(jìn)行預(yù)報(bào)，并引入試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，為工程應(yīng)用中選擇適當(dāng)?shù)拿}動(dòng)壓力波數(shù)—頻率譜模型提供依據(jù)：Corcos模型物理意義明確，但預(yù)報(bào)精度稍差；Chase模型表達(dá)式復(fù)雜，經(jīng)驗(yàn)性更強(qiáng)，物理意義不明晰，預(yù)報(bào)精度較高。

湍流邊界層噪聲；波數(shù)—頻率譜模型；脈動(dòng)壓力；自功率譜

1 引言

當(dāng)艦船、魚(yú)雷或者拖曳導(dǎo)流罩航行時(shí)，物面邊界層由層流發(fā)展為湍流。湍流邊界層為時(shí)間—空間上隨機(jī)變化流動(dòng)狀態(tài)。湍流邊界層內(nèi)隨機(jī)的速度擾動(dòng)會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)的脈動(dòng)壓力，這種隨機(jī)脈動(dòng)壓力一方面直接產(chǎn)生輻射噪聲，另一方面激勵(lì)物面彈性結(jié)構(gòu)振動(dòng)并產(chǎn)生輻射噪聲，統(tǒng)稱(chēng)為“水動(dòng)力噪聲”。俞孟薩［1］對(duì)這個(gè)問(wèn)題做過(guò)全面的綜述。無(wú)論是計(jì)算湍流邊界層脈動(dòng)壓力直接輻射噪聲，還是預(yù)報(bào)其激勵(lì)彈性結(jié)構(gòu)振動(dòng)而產(chǎn)生的輻射噪聲，其方法仍是基于“聲比擬”思想的，將邊界層脈動(dòng)壓力作為“力源”代入到聲比擬方程預(yù)報(bào)相應(yīng)的輻射噪聲。因此，如何定性定量地描述湍流邊界層內(nèi)部隨機(jī)脈動(dòng)壓力是首要的問(wèn)題，統(tǒng)計(jì)湍流理論是最適當(dāng)?shù)倪x擇，采用頻率—波數(shù)譜定量地描述這種面分布的時(shí)間空間隨機(jī)脈動(dòng)壓力。頻率—波數(shù)譜是通過(guò)大量的試驗(yàn)測(cè)量擬合出來(lái)的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式。Corcos［2］、Efimtsov［3］、Smol’yakov 和 Tkachenko［4］、Ffowcs－Williams［5］、Chase［6－7］先后基于試驗(yàn)提出一系列被廣為應(yīng)用的頻率—波數(shù)譜模型，各有特點(diǎn)。

本文將對(duì)6種常用湍流邊界層脈動(dòng)壓力的波數(shù)—頻率譜模型在波數(shù)域和頻域進(jìn)行對(duì)比，并將算例與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，分析各種模型的特點(diǎn)、應(yīng)用適用性及邊界層湍流噪聲預(yù)報(bào)方法。

2 邊界層脈動(dòng)壓力頻率—波數(shù)譜的比較

在如圖1所示的坐標(biāo)系統(tǒng)下，對(duì)于充分發(fā)展的平板湍流邊界層，脈動(dòng)壓力頻率—波數(shù)譜可以表示為 y、z 方向波數(shù)的函數(shù)Φ～p（ky，kz，ω），通常它是通過(guò)試驗(yàn)擬合得到的，并認(rèn)為平板上各點(diǎn)邊界層厚度完全一樣。頻率一定情況下，邊界層內(nèi)脈動(dòng)壓力的主要能量集中在 ky＝0，kz＝ω ／Uc附近，即所謂的遷移波附近，如圖2所示。如何定量準(zhǔn)確描述邊界層的壓力脈動(dòng)頻率－波數(shù)譜是邊界層湍流噪聲研究的重點(diǎn)。迄今為止，出現(xiàn)了多種頻率波數(shù)譜模型，本文選取應(yīng)用較多的6種進(jìn)行分析。為了考察各自適用性，在相同條件下對(duì)其進(jìn)行對(duì)比分析。

2.1 Corcos模型

Corcos首先擬合了窄頻帶邊界層壁面壓力相關(guān)函數(shù)，它是關(guān)于y、z方向的流動(dòng)特征尺度ry、rz的函數(shù)，表達(dá)式如下：αy，αz是可選擇的參數(shù)，用以與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行匹配。對(duì)ry、rz進(jìn)行Fourier變換可得到邊界層壁面脈動(dòng)壓力的頻率—波數(shù)譜。需要注意的是，其中的壁面脈動(dòng)壓力功率譜密度Φ（ω）有多種選擇，本文采用Blake［8］建議的方法，得到的壁面脈動(dòng)壓力的頻率－波數(shù)譜如下：

不同的文獻(xiàn)給出了多種 αy、αz取值，Blake 給出的值是 αy＝0.77，αz＝0.1。 Uc表示邊湍流邊界層內(nèi)的遷移速度，一般取為：Uc＝0.7～0.8U∞。 已有的研究表明，采用Corcos模型預(yù)報(bào)邊界層噪聲，其低波數(shù)段往往過(guò)大。

2.2 Efimtsov 模型

Efimtsov模型沿用了Corcos模型的方法，但是在壁面脈動(dòng)壓力空間相關(guān)函數(shù)中引入了邊界層厚度δ及尺度空間分離的影響，定義相關(guān)長(zhǎng)度Λy＝ Uc/（|ω|αy），Λz＝ Uc/（|ω|αz）如下：

應(yīng)用時(shí)，將式（2）中的參數(shù) αy，αz分別用αy＝Uc/（|ω|Λy），αz＝ Uc/（|ω|Λz）。 其中，Strouhal數(shù)定義為Sh＝，uτ是摩擦速度。其中的常系數(shù)a1～a6分 別 取 值 如 下 ：0.1，72.8，1.54，0.77，548，113.5， 這對(duì)應(yīng)于 Corcos 模型中 αy＝ 0.77，αz＝0.1的取值。

2.3 Smol’yakov 和 Tkachenko 模型

和 Efimtsov模型推導(dǎo)思路一樣，Smol’yakov和Tkachenko模型在壁面脈動(dòng)壓力空間相關(guān)函數(shù)表達(dá)式中考慮了空間分離和邊界層厚度的影響，最終擬合成指數(shù)形式函數(shù)。但是并不是將橫向和縱向分離變量表達(dá)式做簡(jiǎn)單相乘，而是引入了指數(shù)因子－（/Λ+/）1/2，聯(lián)合考慮空間分離的影響。對(duì)壁面脈動(dòng)壓力空間相關(guān)函數(shù)表達(dá)式做Fourier變換，得到其脈動(dòng)壓力頻譜—波譜模型。與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，較之Corcos模型，在低波數(shù)段有改進(jìn)，但仍然偏高，因此引入一個(gè)修正項(xiàng)ΔF，使之在低波數(shù)段與試驗(yàn)結(jié)果吻合，但是不對(duì)遷移波附近造成大的影響。最終的頻譜—波譜模型表示如下：

式中，δ* 是邊界層位移厚度，取值為 δ*＝ δ／8。

2.4 Ffowcs－Williams模型

Ffowcs Williams從 Lighthill聲比擬理論開(kāi)始，并假定Lighthill方程右端的速度聲源項(xiàng)是Corcos形式，得到一個(gè)頻譜—波譜模型，包含多個(gè)未知參數(shù)及函數(shù)，至今未完全確定，需要進(jìn)一步更精細(xì)的試驗(yàn)確定。其中常用的一個(gè)簡(jiǎn)化模型，忽略了可壓縮性，對(duì)其中的未知函數(shù)做了一些假定，形成的表達(dá)式形式上是對(duì)Corcos模型進(jìn)行修正：

2.5 Chase 模型Ⅰ

Chase采用和Ffowcs－Williams相同的方法，應(yīng)用了一些更具體更具啟發(fā)性的假定得到一個(gè)邊界層脈動(dòng)壓力頻譜—波譜模型：

根據(jù)Chase的建議，其中的參數(shù)取值如下：CM＝ 0.074 5，CT＝ 0.047 5，h ＝ 3.0，bM＝ 0.756，bT＝0.378。

2.6 Chase 模型Ⅱ

Chase模型Ⅰ在兩個(gè)方面存在著不足：其一是在氣動(dòng)聲學(xué)領(lǐng)域它不能涵蓋超音速域（|kz|＜ω/c0）；其二它也不能描述在試驗(yàn)中觀察到的低波數(shù)段（ω／c0＜kz＜ω／Uc）“白波數(shù)”現(xiàn)象。為了改善后一種缺陷，Chase解除了低波數(shù)段的波數(shù)—頻率譜對(duì)波數(shù)依賴(lài)，即Φ～p（k，ω）|k|2，給出了一種改進(jìn)的頻譜波譜模型：

與Chase模型Ⅰ相比較，F(xiàn)M仍然是嚴(yán)格的，F(xiàn)T則進(jìn)行了簡(jiǎn)化，其他的參數(shù)建議使用如下：h＝3.0，hCM＝ 0.466，hCT＝ 0.014，b ＝ 0.75。

2.7 頻率—波數(shù)譜波數(shù)域比較

為了考察以上各種模型的適用性和特點(diǎn)，固定 Ma＝ 0.003 3，邊界層厚度為 0.1 m，在不同頻率下比較上述各個(gè)模型波數(shù)—頻率譜結(jié)構(gòu)。

圖3給出的是Sh＝666，ω＝999時(shí)6種脈動(dòng)壓力波數(shù)—頻率譜的比較；圖4對(duì)應(yīng)的是Sh＝266，ω=399的情況；圖 5對(duì)應(yīng)的是 Sh＝66，ω＝99的情況，圖6對(duì)應(yīng)的是Sh＝26、ω＝39的情況。橫坐標(biāo)是流向方向的波數(shù)，用遷移波波數(shù)無(wú)量綱化。縱坐標(biāo)表示脈動(dòng)壓力譜幅值。

在中高頻段（Sh＝666，Sh＝266），Corcos模型和Efimtsov模型完全重合，在遷移波附近預(yù)報(bào)聲級(jí)和其他模型相似，在低波數(shù)段，較之其他模型，預(yù)報(bào)聲級(jí)要高出很多。Smol’yakov和Tkachenko模型聯(lián)合考慮了橫向和縱向空間分離作用，并引入修正因子，使得其遷移波附近波數(shù)－頻率譜結(jié)構(gòu)比其他模型要窄，在低波數(shù)段值也較小。在低波數(shù)段，均能體現(xiàn)試驗(yàn)中觀察到的“白波數(shù)”現(xiàn)象。

在低頻段（Sh＝66，Sh＝26），邊界層厚度的影響顯現(xiàn)出來(lái)，Corcos模型沒(méi)有考慮邊界層厚度δ的影響，與高頻時(shí)相比，幾乎沒(méi)有改變。而Efimtsov模型由于其相關(guān)尺度變小，遷移波顯著變寬，波峰迅速減小。Smol’yakov和Tkachenko模型的相關(guān)尺度也受到邊界層厚度的影響，但對(duì)遷移波變寬度和峰值影響均較小。

Ffowcs Williams模型較之Corcos模型，低波數(shù)段減小，高波數(shù)段增大，但基本不受頻率影響，在各頻率下譜結(jié)構(gòu)基本保持不變。

頻率減小，Chase模型Ⅰ和Chase模型Ⅱ差別變小，趨近于一致。在高頻時(shí)能看到Chase模型Ⅱ相對(duì)于Chase模型Ⅰ在低波數(shù)段的 “白波數(shù)”現(xiàn)象，低頻時(shí)不明顯。

3 湍流邊界層脈動(dòng)壓力自譜預(yù)報(bào)

3.1 邊界層脈動(dòng)壓力自功率譜預(yù)報(bào)方法

為了進(jìn)一步考察第2節(jié)6種頻率－波數(shù)譜模型的噪聲預(yù)報(bào)的特點(diǎn)及其優(yōu)劣，在此采用這6中模型對(duì)湍流邊界層脈動(dòng)壓力自功率譜進(jìn)行預(yù)報(bào)，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

對(duì)于選定的湍流邊界層壓力脈動(dòng)的波數(shù)—頻率譜，邊界層脈動(dòng)壓力自功率譜可以如下給出［9］：

式中，J1第一類(lèi)一階Bessel函數(shù)；R是傳感器半徑

3.2 槽道流數(shù)值模擬

利用式（11）預(yù)報(bào)邊界層脈動(dòng)壓力自功率譜，需要先對(duì)Horne和Handle槽道流進(jìn)行數(shù)值模擬，提取相關(guān)流場(chǎng)信息。

第2節(jié)中六種波數(shù)—頻率模型、式（11）所要用到的流場(chǎng)信息有：邊界層厚度、邊界層對(duì)流速度、摩擦速度、位移邊界層厚度。因此，并不需要知道流場(chǎng)詳細(xì)的細(xì)節(jié)，非穩(wěn)態(tài)雷諾平均（URANS）方法足以提供上述需要的結(jié)果。另一方面，盡管Horne和Handle試驗(yàn)的槽道流是一個(gè)三維問(wèn)題，但是該槽道截面形狀比較大，而且并不需要知道流場(chǎng)模擬的結(jié)果細(xì)節(jié)，因此可以將問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題。

標(biāo)準(zhǔn)k－ε模型封閉雷諾應(yīng)力是URANS方法最常用的形式，但是該模型是針對(duì)充分發(fā)展湍流建立的，在壁面附近，常需采用壁面函數(shù)，不利于應(yīng)用。本文中的數(shù)值模擬采用Jones和Launder［12］提出的低Re數(shù)k－ε模型，控制方程全流域都適用，近壁區(qū)域不再使用壁面函數(shù)。

將控制方程式采用一階混合格式離散。采用基于交錯(cuò)網(wǎng)格的SIMPLE算法進(jìn)行計(jì)算。其他計(jì)算參數(shù)如下：無(wú)窮遠(yuǎn)來(lái)流速度 U＝0.7 m／s，取流體運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)ν ＝ 1.05 × 10－6m2／s。 計(jì)算起始點(diǎn) x＝1.25 m處速度剖面用1／7冪次率剖面模型給出。計(jì)算流場(chǎng)長(zhǎng)度為1.5 m。

圖7給出的是邊界層厚度發(fā)展，邊界層厚度是用來(lái)流速度 U＝0.7 m／s定義的。大約在 x＝2.55 m處以后，邊界層厚度保持不變。

圖 8給出了 x＝2.0 m 和 x＝2.5 m 處的速度剖面，從中可看出邊界層的發(fā)展。

3.3 槽道壁面湍流脈動(dòng)壓力自譜預(yù)報(bào)

Horne和 Handle［11］在美國(guó)海軍研究試驗(yàn)中心（NRL）的矩形截面水槽中測(cè)量了湍流邊界層脈動(dòng)壓力自功率譜。水槽矩形截面尺寸為457 mm×25 mm（18∶1），所用兩個(gè)圓形傳感器的直徑為 0.5 mm，間距為 2H，在雷諾數(shù) Rh＝UH／υ＝25 000 （U為槽道中心線最大速度，H為槽道高度）情況下，測(cè)量的脈動(dòng)壓力自譜如圖9～圖11中實(shí)線所示。可見(jiàn)，邊界層脈動(dòng)壓力自功率譜主要表現(xiàn)為0.1～1 kHz的連續(xù)譜，在高頻段脈動(dòng)壓力自譜衰減很快。

根據(jù)3.2節(jié)槽道流數(shù)值計(jì)算結(jié)果及式（11），即可用第2節(jié)6種波數(shù)—頻率譜模型計(jì)算槽道邊界層脈動(dòng)壓力自功率譜并進(jìn)行比較。

圖9是Corcos模型和Efimtsov模型邊界層壓力脈動(dòng)自譜預(yù)報(bào)以及與試驗(yàn)的比較。從該圖可以看出，Corcos模型和Efimtsov模型預(yù)報(bào)邊界層壓力脈動(dòng)自譜基本相同，在低頻方向稍有差異，與圖3～圖6結(jié)論一致；與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相比，在頻段1～100 Hz，規(guī)律和量級(jí)上比較都吻合，但在該頻段兩端，吻合度比較差，特別是在高頻方向，這兩個(gè)模型預(yù)報(bào)值最后都趨于常數(shù)，這與式（1）中壁面脈動(dòng)壓力功率譜密度Φ（ω）的選擇有關(guān)。

圖 10是 Smol’yakov模型和 Ffowcs Williams模型邊界層壓力脈動(dòng)自譜預(yù)報(bào)以及與試驗(yàn)的比較。Ffowcs Williams模型式（6）可以看作是對(duì)Cor-cos模型式（1）的修正，與圖 9 Corcos模型和E-fimtsov模型預(yù)報(bào)結(jié)果相比，這種修正作用很大，特別是在高頻段，與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

圖11是Chase模型Ⅰ、Ⅱ邊界層壓力脈動(dòng)自譜預(yù)報(bào)以及與試驗(yàn)的比較。與試驗(yàn)結(jié)果相比，Chase模型Ⅰ、Ⅱ在頻譜結(jié)構(gòu)和量級(jí)上都有較好的吻合度，Chase模型Ⅱ更優(yōu)。

4 結(jié)論

本文引入了6種常用的邊界層脈動(dòng)壓力波數(shù)—頻率譜模型，在頻域和波數(shù)域?qū)Ρ确治龈髂Ｐ吞攸c(diǎn)。運(yùn)用這些模型對(duì)某槽道流TBL脈動(dòng)壓力自譜進(jìn)行預(yù)報(bào)并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，分析各模型適用性。得出相關(guān)結(jié)論可供工程應(yīng)用參考。

一般性結(jié)論是：Corcos模型及在此基礎(chǔ)上發(fā)展的模型形式簡(jiǎn)單，推導(dǎo)過(guò)程中物理意義明確。但是在低波數(shù)段、低頻段、高波數(shù)段或者高頻段不穩(wěn)定，影響噪聲預(yù)報(bào)結(jié)果。Chase模型根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了大量修正，表達(dá)式復(fù)雜，更經(jīng)驗(yàn)化，已不具備明確物理意義，但是準(zhǔn)確性較好。

［1］俞孟薩，吳有生，龐業(yè)珍.國(guó)外艦船水動(dòng)力噪聲研究進(jìn)展［J］.船舶力學(xué)， 2007， 11（1）： 152－158.

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A Comparative Study of Models for the Wavenumber-Frequency Spectrum of TBL Fluctuation Pressure

Wang Chun－xu Zeng Ge－weiXu Jian
China Ship Development and Design center，Wuhan 430064，China

The Turbulent Boundary Layers （TBL） noise is one of the major components of hydrodynamic noise.For prediction of the TBL noise， however it requires a suitable model of the wavenumber－frequency spectrum of TBL fluctuation pressure，so choosing a most appropriate model becomes substantially important.Six kinds of wavenumber－frequency spectrum models were introduced and compared in frequency domain and wavenumber domain in this study.The auto－spectrum of TBL pressure of a channel was calculated with the six models as mentioned above， and also compared with the experimental results.Some of available results are presented for practical use.The study shows that the Corcos model has definite physical significance but less accuracy， other than Chase model， which is empirical and has much more complicated expression， but usually leads to more accurate results with the experimental＇s.

TBL noise； wavenumber－frequency spectrum model； TBL fluctuation pressure； auto－spectrum

U661.44

A

1673－3185（2011）01－35－06

10.3969/j.issn.1673-3185.2011.01.007

2010-07-20

“十一五”裝備預(yù)研課題（51310040402）

王春旭（1981－），男，博士。研究方向：艦船聲隱身技術(shù)。E-mail：chxwang＠ yahoo.cn

曾革委（1968－），男，博士，研究員。研究方向：艦船聲隱身技術(shù)。

許 建（1966－），男，博士，研究員。研究方向：艦船聲隱身技術(shù)。