雙排剛性樁屏障對平面SH波的隔離性狀研究

夏唐代,孫苗苗,陳 晨,陳煒昀

（浙江大學 巖土工程研究所,杭州 310058）

車輛荷載、建筑施工等引起的振動因其干擾人們的日常生活而對周圍環境產生了不容忽視的影響,并已成為學者關注的熱點問題。采用屏障是隔離環境振動的有效措施。目前采用較多的有2種屏障形式,一種是連續屏障,主要有空溝、填充溝,混凝土墻等形式,對于連續屏障的研究已較為成熟。最早由Barkan[1]和Richart[2]對空溝和鋼板樁屏障進行了試驗研究;其后Woods[3]進行了一系列的現場原位測試,并首次提出用無量綱振幅比ARC來評價屏障的隔振效果;但是在地下水位較高或者軟土地區,連續屏障的施工難度加大因而增加了施工和維護的費用,非連續屏障便成為近年來在軟土地區運用廣泛的隔振手段之一。

非連續屏障對彈性波的散射研究起步較晚,目前較多采用排樁和排孔等形式。Woods[4]運用全息照相技術原理,對瑞利波波場中圓孔屏障隔振進行了研究;Liao和Sangrey[5]用模型樁屏障做試驗得出柔性樁比剛性樁的隔振效果更好的結果;Boroomand和Kaynia[6]用簡化的地基模型來檢驗單排樁的隔振效果;Avilés和 Sánchez-Sesma[7-8]研究了單排實心樁對P波、S波及R波的散射問題;Kattis[9-10]等運用三維頻域邊界元技術分析了實心樁和方樁的隔振作用;徐平等[11-12]研究了剛性空心管樁屏障對平面P、SH和SV波的隔離效果;Cai[13-14]等分析了飽和多孔彈性介質中單排樁的屏蔽作用;Lu[15-16]等對用排樁隔離移動荷載產生的振動進行了詳細的研究。

迄今為止,上述文中所述的計算非連續屏障對平面波的隔離問題都只考慮了單重散射,單重散射假設的不足在于它忽略了散射體也就是樁列作為一個整體相互之間相干相位關系,僅僅在樁間距較大的時候才是正確的;而在實際工程中,通常采用的排樁間距較小,排樁體系作為整體屏障起到作用。并且,多個任意排列,任意半徑大小的樁屏障對平面波多重散射問題的精確解尚未見報道。該文引入圓柱體對聲波和電磁波的多重散射解[16-17],提出了一種新的考慮多重散射的方法來求解平面SH波入射下任意排列任意直徑的剛性樁的散射問題。

1 波函數展開

1.1 問題的基本公式

如圖1所示,各向同性的無限均質彈性介質的土體中含有任意排列的任意半徑圓柱形剛性樁,假設樁長遠大于樁徑,則該問題可以簡化為二維平面問題。入射平面SH波（偏振方向平行于樁身軸線）應滿足Helmholtz方程：

圖1 任意布置、任意半徑圓柱形樁對SH波的散射計算簡圖

式中ks=ω/c,稱為土體中SH波的波數,ω為圓頻率,c=G/ρ,其中G和ρ分別為土體的剪切模量和密度。

在第s根樁的坐標系下,滿足上述方程的入射SH波可以表示為

式中上角標inc表示入射,這里為了研究和討論方便,運動量中的時間因子exp（-iωt）（i= -1為虛數單位,t為時間）均被省略。

基于變量分離法,設第s根樁對SH波第m重散射解可表示為

式中上角標sc表示散射,H n（?）為第一類Hankel函數,n為階數。s Am為每根樁第m重散射的待定復系數（s Am系數隨散射重數m而不同）。

因此可得總共s根樁的總散射波解為

1.2 散射系數的求解

對于任意排列的剛性圓柱樁,計算簡圖如圖1所示。以第s樁為例,假定樁半徑為as,選定s=0時的樁中心為參考坐標系原點,每根樁各自坐標軸都平行于參考坐標軸。遠場P點可以用與s樁的距離rs和角度θs確定,s′樁相對于參考坐標系的坐標可用（rss′,θss′）確定 。例如P點對于s′樁坐標系的坐標為（rs′,θs′）,s′樁相對 于 0 樁 的坐標為（r0s′、θ0s′）等 。為了求出散射系數s Am,首先考慮m=1的第一重散射的散射系數s A1,因剛性樁埋置得足夠深,假設土體與剛性樁界面完全聯結,即樁與周圍土體界面處滿足位移連續條件,則第一重散射的邊界條件為：

其中s A=-Jn（ks as）/H n（ksas）,r0s為s=0時遠場P點到0樁的距離矢量。

其次考慮第s根樁被其余樁的第一重散射波所激發,產生第二重散射波,同樣可以假設第二重散射在樁土界面處也滿足邊界條件

即可求出第二重散射系數s A2：

為了便于相加,需要把s′u1sc化為s點坐標下的函數,根據Graf加法原理,

2 數值計算和分析

2.1 單排樁計算結果分析

假設樁為無限長,入射穩態平面SH波振幅為u0,入射角α,樁排布于同一直線上,樁半徑as和樁間距sp均相同,樁數N,為了便于討論,對位移場的頻率進行歸一化處理

定義歸一化位移幅值為排樁后某處總波場引起的位移幅值與入射波在該處引起的自由場位移幅值的比值。各變量參數取值如下：α=π/2,as=1,sp/as=3.,N=8,ηs=0.4。此算例計算中Bessel函數階數n截斷到8階已滿足精度的要求。

式中λs為土體中SH波長。

圖2 單排N根樁屏障計算模型及參考坐標系

圖3分別為不同散射重數（m=1～4）屏障后中線上土體無量綱位移幅值隨y/as（-20≤y/as≤500）的變化曲線,首先從圖3中可以得到,屏障前的區域因入射波與散射波的干涉產生振幅放大現象,而在屏障后,靠近屏障處的隔振效果優于遠離屏障處。其次當散射重數取3和4時,屏障后無量綱位移的增量很小,當y/as≥150時的值幾乎沒有變化,曲線重合,說明該理論計算方法同實際情況相符。

在實際工程中,近場主動隔振的區域在2.5～3.0倍波長內,從圖3中可以看到屏障后10≤y/as≤60左右范圍內相同位置處的位移幅值隨著計算時所取的散射重數增加而減少,多重散射的理論計算結果與以往只考慮單重散射的相比更接近工程實際情況,有一定的工程應用價值。從圖3還可以看出,當多重散射的重數取到3重時已經能夠滿足計算的精度要求,且此結果與文獻[7]的結果較為吻合。

圖4為位移場不同歸一化頻率入射波下的單排樁屏障后無量綱位移等值線圖,低頻波（ηs=0.4）入射時屏障后無量綱位移分布較為平均,靠近屏障區域隔振效果較好,在10≤y/as≤60范圍內可以有效隔離80%左右的入射波,因此低頻波用單排樁屏障已經能起到較好的屏蔽作用。然而,對于高頻波（ηs=1.0）入射時屏障后中心范圍內集中出現振幅放大效應,最佳隔離區域向兩側分散,屏蔽作用較為不均勻,單排樁已不能起到較好的屏蔽作用,故可以考慮多排樁屏障進行隔振。

2.2 雙排樁計算結果分析

實際工程中對高頻入射波較多采用雙排樁進行振動污染的隔離,因此雙排樁理論計算分析的結果對于工程應用具有重要意義。為了與單排樁屏障進行對比,同樣選取屏障參數如下：N=8,α=π/2,as=1,sp/as=3.0,N=8,ηs=1。排樁按兩排梅花型布置,計算模型及參考坐標系見圖5。

圖5 雙排N根樁屏障計算模型及參考坐標系

雙排樁與單排樁屏障的區別在于雙排樁的隔振效果與屏障的厚度即排間距有較大關系。圖6考查了排距對隔振效果的影響（排間距0≤h/as≤3.5）。

從圖6可以看出,屏障后等值線分布規律基本相同,越靠近屏障處屏蔽效果越好。當h/as=0時,雙排樁即退化為單排樁,退化解與單排樁屏障的數值計算結果一致,進一步說明本文理論計算方法的正確性。由之前的研究可得,單排樁隔振的屏蔽區域較小,且排樁前中心處有明顯的振幅放大效應。隨著雙排樁排距的增加（0.5≤h/as≤2.0）,屏障后20≤y/as≤100范圍內無量綱位移減小,屏障后振幅放大效應趨于平均,說明雙排樁逐漸作為一個整體對入射波進行隔離。當排間距h/as=3.5時,屏障后20≤y/as≤200較大范圍內都能隔離70%～80%的入射波,隔振效果明顯優于單排樁。工程中可以選擇排間距h/as=3.5作為雙排樁隔振屏障的設計依據。

為了討論樁間距對雙排樁隔振效果的影響,考查了不同樁間距下（2.5≤sp/as≤5.0）屏障后中線上無量綱位移隨y/as的變化。圖7表明樁間距較小時（2.5≤sp/as≤3.0）,屏障后位移減小不明顯,屏障未能起到較好的屏蔽作用;當sp/as=3.0時,屏障后一定區域內（20≤y/as≤200）無量綱位移減小,振幅放大效應明顯,能有效隔離約70%的入射波,表明此時雙排樁作能為整體取得較好的隔振效果;隨著樁間距增加（3.0≤sp/as≤5.0）,屏障后無量綱位移明顯增加,振幅放大效應減弱,雙排樁不再作為整體屏障起到屏蔽作用,因此在實際工程中為了能形成整體屏障,雙排樁間距一般應滿足sp/as≤3.0。

3 結 論

對排樁隔離環境振動的問題,提出了一種新的計算任意排列任意直徑的剛性樁對平面SH波的散射問題方法—多重散射法。通過對單排,以及雙排樁后土體豎向位移振幅的研究,對環境振動的污染隔離提出了有意義的建議。數值分析計算的結果表明：

1）排樁作為隔振體以整體屏障發揮作用,文中提出的考慮多重散射的計算方法優于以往只考慮單重散射而不考慮散射波之間相干相位關系假設的單重散射解。散射重數越多,計算結果與實際情況符合得越好,一般取到四重時已滿足工程要求。

2）當入射SH波頻率較高時可以考慮多排樁進行隔離,多排樁數值計算結果可以退化至單排樁,表明本文理論計算方法的正確性。

3）多排樁隔離效果與屏障厚度和及整體性有關,屏障厚度即排間距,排間距h/as=3.5左右能取得較佳的隔離效果;同時隔振設計中樁間距應滿足sp/as≤3.0,屏障才能作為整體發揮作用。

[1]BARKAN D D.Dynam ics of bases and foundations[M].New York：M c Graw-H ill.1962.

[2]RICHART F E,HALL J R,WOODS R D.V ibrations o f soils and foundations[M].Prentice-H all,Englewood cliffs,NJ.1970.

[3]WOODS R D.Sc reening of surface w aves in soils[J].Journal of Solids M echanics and Foundation.Division,ASCE,1968,94（4）：951-979.

[4]WOODS R D,N E BARNET,R SANGESSER.Holography,a new too l for soil dynam ics[J].Journal of Geotechnical Engineering Division,ASCE,1974,100：1231-1247.

[5]LIAO S,SANGREY D A.Use of piles as isolation barriers[J].Journal o f Geotechnical Engineering Division,ASCE,1978,104（9）：1139-1152.

[6]BOROOMAND B,KAYNIA A M.Vibration isolation by an array of piles [C]//First International Conference on Soil Dynam ics and Earthquake Engineering.Karlsruhe,Germany,1992：683-691.

[7]AV ILéS J,SáNCHEZ-SESMA F J.Piles as barriers for elastic w aves[J].Journal of Geotechnical Engineering Division,ASCE,1983,109（9）：1133-1146.

[8]AV ILéS J,SáNCHEZ-SESMA F J.Foundation isolation from vibrations using piles as barriers[J].Journal of Engineering Mechanics,1988,114（11）：1854-1870.

[9]KATTIS S E,POLYZOS S,BESKOS D E.Vibration iso lation by a row of piles using a 3-D frequency domain BEM[J].International Journal o f Numerical Methods Engineering,1999,46：713-728.

[10]KATTISS E,POLYZOSS,BESKOS D E.Modelling of pile w ave barriers by effective trenches and their screening effectiveness[J].Soil Dynam ics and Earthquake Engineering,1999,18：1-10.

[11]徐平,夏唐代,吳明.剛性空心管樁屏障對P波和SH波的隔離效果研究[J].工程力學,2008,25（5）：210-217.

XU PING,XIA TANG-DA I,WU GANG.Study on the effect of barrier of a row of rigid hollow pipe piles for the iso lation o f P and SH waves[J].Engineering M echanics,2008,25（5）：210-217.

[12]徐平,夏唐代,周新民.單排空心管樁屏障對平面SV波的隔離效果研究[J].巖土工程學報,2007,29（1）：131-136.

XU PING,XIA TANG-DA I,ZHOU XIN-M IN.Study on effect of barrier of a row o f hollow pipe piles on isolation of incident plane SV w aves[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2007,29（1）：131-136.

[13]CA I Y Q,DING G Y,XU C J.Screening of p lane S w aves by an array of rigid piles in poroelastic soil[J].Journalof Zhejiang University,Science A,2008,9（5）：589-599.

[14]CA IY Q,DING G Y,XU C J,et al.Vertical amplitude reduction of Rayleigh w aves by a row of piles in a poroelastic half-space[J].International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,2009,33（16）：1799-1821.

[15]LU J F,XU B,WANG J H.Numerical analysis of isolation of the vibration due tomoving loads using pile row s[J].Journal o f Sound and Vibration,2009,319（3/4/5）：940-962.

[16]WANG JH,ZHOU X L,LU JF.Dynamic response of pile groups embedded in a poroe lastic medium[J].Soil Dynam ics and Earthquake Engineering,2003,23（3）：235-242.

[17]TWERSKY V.Multip le scattering o f radiation by an arbitrary configuration of parallel cy linders[J].Journal of the Acoustical Society of America,1952,24（1）：42-46.

[18]TWERSKY V.Mu ltip le scattering of radiation by an arbitrary p lanar configuration of parallel cy linders and by tw o paralle l cy linders[J].Journal of A pp lied Physics,1952,23（4）：407-414.

（編輯王秀玲）