一種因果維納濾波器的推導(dǎo)方法

吳素珍，焦計(jì)平，周又玲

（海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南 ?？?570228）

0 引言

20世紀(jì)40年代，維納奠定了關(guān)于最佳濾波器研究的基礎(chǔ)。即假定線性濾波器的輸入為有用信號(hào)和噪聲之和，兩者均為廣義平穩(wěn)過程且知它們的二階統(tǒng)計(jì)特性，維納根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則(濾波器的輸出信號(hào)與需要信號(hào)之差的均方值最小)，求得了最佳線性濾波器的參數(shù)，這種濾波器被稱為維納濾波器。

在許多實(shí)際應(yīng)用中，人們往往無法直接獲得所需要的有用信號(hào)，能夠觀測(cè)到的一般是退化了或者失真了的有用信號(hào)。這就需要解決在噪聲中如何提取信號(hào)的問題。維納濾波就是用來解決這樣一類從噪聲中提取信號(hào)問題的一種過濾(或?yàn)V波)方法之一[1-3]。它是用線性濾波器實(shí)現(xiàn)對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的最佳線性估計(jì)。

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展,維納濾波器在信號(hào)處理中得到越來越廣泛的應(yīng)用。繼承維納濾波器的思想，60年代，卡爾曼等人提出了卡爾曼濾波器，最后在維納和卡爾曼的基礎(chǔ)上，人們提出了自適應(yīng)濾波器以及多方面的應(yīng)用[4-5]。深刻理解維納濾波器的數(shù)學(xué)原理,不僅對(duì)學(xué)習(xí)維納濾波器是必要的,而且對(duì)全面系統(tǒng)地掌“數(shù)字信號(hào)處理”課程的基本概念、基本理論與基本方法也是十分重要的[6]。

1 維納濾波器及維納—霍夫方程

維納濾波器是由數(shù)學(xué)家維納提出的一種以最小均方為準(zhǔn)則的線性濾波器，可以有效地從受污染的信號(hào)中提取有用信號(hào)。在一定的約束條件下，濾波器輸出與期望輸出的差的均方值達(dá)到最小。通過數(shù)學(xué)運(yùn)算最終可變?yōu)橐粋€(gè)托布利茲方程的求解問題。

維納濾波器是實(shí)現(xiàn)對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的最佳線性估計(jì)。設(shè)計(jì)維納濾波器的過程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)或傳遞函數(shù)H(z)的表達(dá)式，其實(shí)質(zhì)是解維納-霍夫方程。

一個(gè)線性系統(tǒng)，如果它的沖激響應(yīng)為h(n)，當(dāng)輸入一個(gè)隨機(jī)信號(hào)x(n)，且：

其中s(n)表示信號(hào)，v(n)表示噪聲。則輸出 y(n)=s?(n)，則有：

模型如圖1所示。

圖1 維納濾波器信號(hào)模型

式中，e(n)表示估計(jì)誤差，定義為：

其中：

式（5）常稱為維納濾波器的標(biāo)準(zhǔn)方程或維納-霍夫方程[7]。對(duì)于因果IIR維納濾波器，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：

對(duì)于維納-霍夫方程的求解，可以從時(shí)域進(jìn)行求解，也可以從頻域進(jìn)行求解。由于有了m≥0的約束，時(shí)域求解該方程是困難的。所以往往轉(zhuǎn)為頻域和復(fù)頻域求解。為此，博特和香農(nóng)相繼提出的將x(n)加以白化的方法來確定維納-霍夫方程的z域解[8]。

假設(shè)信號(hào)s(n)和噪聲v(n)都是平穩(wěn)的，因此，濾波器的輸入x(n)也是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，并可被看成由白噪聲ε(n)激勵(lì)一個(gè)線性移不變系統(tǒng)B(z)產(chǎn)生的輸出。這里是有理函數(shù)，且N(z)和D(z)都對(duì)應(yīng)于最小相位序列，故B(z)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)。另一方面，若將x(n)作用于B(z)的逆系統(tǒng)，那么必將產(chǎn)生輸出ε(n)，這就是對(duì)x(n)的所謂“白化”處理。就是把因果IIR維納濾波器看成由兩部分和G+(z)級(jí)聯(lián)而成，這樣，濾波過程包括兩步，如圖2給出這種方法的圖示：第一步，用對(duì)x(n)進(jìn)行白化處理，得到噪聲ε(n)；第二步，用因果IIR維納濾波器G+(z)對(duì)ε(n)進(jìn)行濾波，得到最佳估計(jì)[7]。

圖2 將因果濾波器看成兩部分級(jí)聯(lián)

顯然，待求的因果維納濾波器的傳輸函數(shù)為：

經(jīng)過推導(dǎo)，最終得到：

具體的公式推導(dǎo)過程，在參考文獻(xiàn)[7]中可找到，此處從略。下面，筆者利用數(shù)字信號(hào)處理中Z變換性質(zhì)，從另外一個(gè)角度，推導(dǎo)因果維納濾波器的H(z)。

2 從單邊Z變換推導(dǎo)法因果維納濾波器的H(z)

[9-10]可知，序列x(n)，n∈Z的單邊 z變換為：

由于維納濾波器為滿足維納－霍夫方程的濾波器，即：

式中，“*”表示卷積運(yùn)算。對(duì)式（10）兩邊同時(shí)取單邊 z變換，可得：

式中，

根據(jù)頻譜因式分解定理可知，若Pxx(z)在單位圓上無零點(diǎn)，那么：

式中，B(z)是因果序列的Z變換，而B(z?1)為非因果序列的Z變換，在大多數(shù)情況下，Pxx(z)是滿足該條件的。對(duì)于單邊Z變換而言，可以推證其如下性質(zhì)：

性質(zhì)1 若定義序列x(n)單邊及因果Z變換為：

則：

進(jìn)一步地，由式（9）、式（17）可知：

性質(zhì)2 若：

即x1(n), x2(n)同為因果序列。由此可知 x(n)=x1(n)?x2(n)亦為因果序列。因此[X(z)]+=X(z)=X1(z) X2(z)，式中，X(z)=Z[x(n)]，為序列x(n)的Z變換。

由式（3）可以分解為：

其中H(z)為因果序列h(n)的子變換，B(z)也為因果序列的Z變換，因此：

由此可知：

3 實(shí)例

4 結(jié)語

在因果維納濾波器的推導(dǎo)算法中，式（18）和式（19）對(duì)整個(gè)推導(dǎo)過程是至關(guān)重要的。從式（20）可以看出，利用這里所述的方法得到的因果濾波器與其他方法得到的結(jié)果是一致的，這說明該算法的正確性。另外，這里所提到的算法和其它算法的不同之處在于求解過程主要基于數(shù)字信號(hào)處理中Z變換性質(zhì)，屬因果維納濾波器的一種較為新穎的推導(dǎo)方法。

參考文獻(xiàn)

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