電磁散射問題中的頻域有限元算法

沈 豐, 王 輝

（南京工業大學 信息科學與工程學院，江蘇 南京 211816）

0 引言

現代科學技術的很多方面都與電磁場有密切的聯系，如通信、地質勘探等中，電磁場的散射起著非常重要的作用。所有電磁場問題的解決，最終都歸結為求解滿足實際邊界條件的麥克斯韋方程[1]。但只有一些典型幾何形狀相對簡單的散射問題，才能獲得解析解。為了解決實際工程問題，一般采取近似解析方法。

有限元是一種十分有效的數值方法，建立了一條連續系統離散逼近的自然途徑，它使微分方程的解法與理論面目一新，推動了泛函分析與計算方法的發展。有限元算法是以微分方程為基礎的求解邊值問題的數值算法，利用里茲變分法或伽遼金法建立方程組再求解[2]。有限元法不僅適用于求解不規則的幾何形狀和邊界條件，而且能計算解決復雜的多介質問題；這是其它數值方法難以處理之處，而對于有限元法來說卻很簡單。

1 有限元應用于電磁散射問題

1.1 電磁散射有限元公式推導

用有限元方法求解邊值問題時，需要將微分方程轉化為積分式，對積分式離散變換為方程組，再進行求解。已經知道，用于PML域的麥克斯韋爾方程組的形式如下[3]：

可以推導出矢量波動方程如下：

根據廣義變分原理,可以得到如下泛函：

1.2 電磁散射算法簡析

文獻[4]推算出了散射角復數散射場振幅S1和S2。

非零的Mueller矩陣元素的元素 S11,S12,S33,S34及偏振表述如下：

不對稱因子g如下計算出來：

散射場也可以由S1和S2描述出來，在球坐標系下表述如下：

這里算出來的是嚴格的精確解，如果球體小，就可以將該計算結果與有效用于小球計算的近似算法結果相比較，來驗證近似算法的正確性。

2 數值算法分析驗證

為了驗證有限元方法用來計算散射問題的正確性，需要利用典型結構與其解析解進行對比。選取不同的球體散射作為有限元數值仿真對象，編寫出了利用MIE級數求解各種球體的散射算法程序。此算法得出的是各個球體散射的解析解，用來和近似解的算法進行比較。以此驗證數值方法(有限元法)程序的正確性。

近似解的算法，分為以下三種情況：①純金屬散射體；②純介質散射體；③金屬加涂層。首先用 ANSYS[5]軟件建模進行區域離散。

2.1 純金屬散射體

構建的純金屬散射體模型。金屬球為最內層的球形區域，半徑為0.25λ，因為金屬內部不存在電磁場，對其進行挖空處理。金屬球外層到PML內層的最近距離為0.2λ，這整個空間都是空氣，把空氣分為兩層：空氣1和空氣2，其交界面作為求解RCS的截面。其中內層空氣層厚度為0.1λ。最后構造的是PML層，其厚度為0.2λ，分別構造面、邊、角的PML。為得到比較精確的結果，以λ的尺寸進行剖分。 劃分完網格后，list得到24 599個節點信息和133 508個單元信息，和MIE程序求出的精確解相比較，如圖1所示。

圖1 半徑為0.25λ的金屬球的RCS

通過與解析MIE級數得到的雙站RCS結果比較，二者基本吻合，說明了該算法在電磁散射中的正確性。

2.2 純介質散射體

構建的純介質散射體模型。介質球為最內層的球形區域，半徑為0.25λ，介質的介電常數為2.65-j2.65。同樣的，介質球外層到PML內層的最近距離為0.2λ，整個空間都是空氣。還是以原來的尺寸做求解RCS的截面，使內層空氣厚度0.1λ。分別構造面、邊、角的PML，厚度為0.2λ。用尺寸λ的四面體進行網格劃分。list得到21 942個節點信息和118 669個單元信息，得到程序結果和MIE程序求出的精確解相比較，如圖2所示。

圖2 半徑為0.25λ的介電常數為2.65-j2.65的純介質球球的RCS

通過與解析MIE級數得到的雙站RCS結果比較，二者基本吻合，說明了該算法在電磁散射中的正確性。

2.3 金屬加涂層散射體

構建的金屬加涂層散射體模型。金屬球為最內層的球形區域，半徑為0.2λ，緊包著金屬體的是介質涂層，其厚度為0.05λ，介質介電常數為2.65-j2.65。介質外層到PML內層的最近距離為0.2λ，內層空氣厚度0.1λ，PML層的厚度為0.2λ。以λ的尺寸進行剖分。list得到22 230個節點信息和119 585個單元信息，得到程序結果和MIE程序求出的精確解相比較，如圖3所示。

圖3 內金屬半徑為0.2λ，涂層厚度為0.05λ金屬涂覆球的RCS，涂層介電常數為2.65-j2.65

通過與解析MIE級數得到的雙站RCS結果比較，二者基本吻合，說明了該算法在電磁散射中的正確性。

3 結語

有限元法不僅適用于求解不規則的幾何形狀和邊界條件，而且能計算解決復雜的多介質問題。主要介紹了將有限元方法用于電磁散射問題中，首先推導了有限元應用于散射問題的變分公式，采用完全匹配層截斷散射問題的邊界。然后介紹了電磁散射算法，對典型的散射體結構進行有限元數值分析，包括金屬體、介質體以及金屬加涂層問題，通過與解析 MIE級數得到的雙站 RCS結果比較，驗證了有限元散射程序的正確性，證明了該算法能夠比較準確地計算各種復雜物體的散射參數。

[1] DAVIDSO D B.Computational Electromagnetics for RF and Microwave Engineering[M].UK: Cambridge Univ.Press,2005.

[2] 金建銘.電磁場有限元方法[M].西安：西安電子科技大學出版社，2001：3-4.

[3] 平學偉.有限元模擬及有限元方程的快速求解技術在電磁場中的應用[D].南京：南京理工大學，2004.

[4] MERRILL E M.Electromagnetic Scattering by Magnetic Spheres Theory and Algorithms[R].USA: Edgewood Research Development and Engineering Center,1994.

[5] 王國強.實用工程數值模擬技術及其在 ANSYS上的實踐[M].西安：西北工業大學出版社，2001：39-50.