薄膜加載變形的有限元數值優化反演求解

石廣豐，劉麗萍，袁帥

（1.長春理工大學，長春 130022；2.長春職業技術學院，長春 130033；3.中國專利信息中心，北京 100088）

薄膜反射鏡技術是解決空間望遠鏡主鏡大口徑、輕量化問題的主要手段，而利用靜電成形法是薄膜反射鏡成形的革命性控制方法［1］。但是，反射鏡聚合物薄膜的超柔、低剛度特點使得薄膜反射鏡的面形控制受到極大的挑戰。目前由已知薄膜加載條件，求薄膜變形（正演求解）的問題廣泛研究，已有很多成果［2］。多電極靜電薄膜反射鏡面形控制的核心問題就是由已知目標面形（一定面形精度的拋物面）反求初始平面狀態下的薄膜受載性質［3］，這屬于薄膜加載變形的反演求解問題。

1978年國外的D.J.Mihora給出了薄膜反射鏡的反演數值解法［4］，但具體內容未見報道。1986年E.S.CLAFLIN和N.BAREKET給出了基于泊松方程小變形理論的最小二乘法解析求解方法［5］。2004年JéromeJuillard和MihaiCristescu在已知目標面形的前提下，求VonKarman方程的解析解［6］。在國內，浙江大學的徐彥通過求解變形前后的薄膜力學平衡微積分方程方法在均布載荷作用下以拋物面為目標面反演求解了初始面形和載荷大小［7］。從國內、外的現狀分析可知，目前關于薄膜加載變形的反演求解問題研究的并不多。

本文建立了薄膜加載變形的有限元數值優化反演求解模型，并通過 ANSYS有限元仿真軟件的APDL參數化語言編制了優化求解程序，對一定預張力條件下的薄膜受載性質和面形之間的關系進行了研究，對于薄膜反射鏡的非均布載荷成形控制具有重要意義。

1 反演求解

1.1 優化算法

由薄膜受載變形的正演求解問題，我們可以求出薄膜在一定預張力［8］條件下受均布載荷所得的變形值。若將這個變形值條件下的拋物面面形作為目標，反演求解所需的離散均布載荷的大小，可大大減少數值迭代計算的次數和時間。即薄膜加載變形的正演問題為反演求解問題提供了計算的基礎（如圖1）。算法如圖2所示。

圖1 薄膜受載變形的求解方法Fig.1 Solution methods of membrane pressed to deform

圖2 薄膜加載變形反演求解算法Fig.2 Algorithm of inverse solution about membrane forced to deform

下面介紹一下在有限元分析軟件ANSYS環境中利用其APDL程序語言建立薄膜加載變形反演求解的參數化求解模型。

1.2 有限元求解模型

（1）薄膜區域加載

以6 mm 的單元大小對［9］300mm口徑、25m厚的聚酰亞胺薄膜進行劃分，結點數2276，有限元模型如圖3和4所示。薄膜材料屬性如文獻［3］。從表1可以看出均壓條件下薄膜中心變形量數值和Hencky-Campbell薄膜大變形級數解析解［10］在小數點后三位是相同的，可見程序的正確性。

圖3 薄膜有限元模型Fig.3 Finite element model of the membrane

圖4 分區均布加載形式Fig.4 Style of discrete equal pressures exerted on the membrane

外界的溫、濕度變化會對薄膜的面內張力產生影響，根據薄膜熱膨脹系數與熱張力的關系，薄膜預張力為［9］

根據式（1），可以在模擬環境中通過采用降溫的方法來模擬薄膜邊界預張力的變化。

表1 一定邊界條件下的薄膜受載變形對比Tab.1 Contrast of membrane deformation under certain boundary condition and pressure

（2）面形目標提取

薄膜成形面形和理想面形偏差的均方根是評價面形質量的重要手段。將結點坐標值和結點變形值相加，得到變形后的結點坐標。在軸截面內可由兩個固定邊界點和中心變形點確定理想拋物線。由計算面形和理論面形對應結點的坐標偏差RMS可反映迭代計算的優化目標。

（3）面形優化

在確定優化目標之后，將離散均布載荷分別作為變量進行全局優化，計算面形和理論面形中心變形量偏差和薄膜極限拉伸強度作為狀態變量，可實現一定邊界預張力和薄膜材料模型條件下薄膜成形所需的離散優化載荷大小。

2 求解分析

為了分析離散環形均布載荷的多少對優化面形的控制作用，利用上面的求解模型得到了薄膜分別在變形中心變形量為0.5mm、1mm和1.5mm三種情況下的載荷多少與所得薄膜面形精度之間的關系。從圖3中可以發現當劃分載荷等徑寬區域的數目超過3以上時，薄膜的面形精度區域穩定。因此可以利用三環離散均布載荷來進行面形控制的優化分析。

圖3 優化面形偏差RMS隨等徑寬分區載荷環數變化的關系Fig.3 Relation between optimized surface RMS and the annulus number change of equal pressures exerted on membrane in the radial direction

采用三環等徑寬載荷作用區域對薄膜進行不同預張力條件下的優化載荷加載變形求解。從表2-表4中可以看出：

（1）當預張力相同的條件下，非均布優化載荷可使面形精度顯著提高；但隨著均步載荷的增大，非均壓優化面形的精度下降，即在已有控制條件下，小變形的面形精度高，薄膜變形越大，面形越差。

（2）預張力越大，薄膜面形優化后的精度也越大，預張力增大所提高的面形精度和薄膜非均布優化所得的面形精度相當。

（3）薄膜變形量越小，薄膜面形的均壓和優化非均壓的面形精度之間優化幅度越小；薄膜變形量越大，薄膜面形的均壓和優化非均壓的面形精度優化幅度越大，優化非均布電壓之間差值也越大，優化面形對比分析明顯。當預張力增大時，薄膜面形的均壓和優化非均壓的面形精度之間的優化幅度降低。

（4）雖然優化后的面形精度得到提高，薄膜中心變形量卻有一定偏差。可以縮小薄膜中心變形量偏差狀態變量來達到精確矢高控制的目的，但會犧牲部分面形精度。因此應當合理設置薄膜中心變形量偏差狀態變量和面形目標優化精度，獲得所需面形的控制目的。

表2 對應降溫-6.7538℃時的優化加載和面形關系Tab.2 Relation between optimized pressures and precision of membrane surface at the changed temperature of-6.7538℃

表3 對應降溫-15.1751℃時的優化加載和面形關系Tab.3 Relation between optimized pressures and precision of membrane surface at the changed temperature of-15.1751℃

表4 對應降溫-26.9262℃時的優化加載和面形關系Tab.4 Relation between optimized pressures and precision of membrane surface at the changed temperature of-26.9262℃

通過此反演求解模型可以初步分析出薄膜預張力、離散均布優化載荷和面形精度和矢高之間的影響關系，找到了面形離散均布載荷控制的依據。

3 結論

給出了以一定面形精度和中心變形量的拋物面為目標的柔性平面薄膜加載變形的反演求解算法和有限元模型。通過對300mm口徑、25um厚的聚酰亞胺薄膜三環等徑寬離散均布載荷的反演優化求解，分析了薄膜邊界預張力和優化載荷對薄膜面形精度和矢高的控制規律和特點。在薄膜邊界預張力一定的情況下，薄膜面形精度由優化載荷和變形矢高決定；對于大變形的薄膜面形控制，在施加優化載荷的同時，提高薄膜邊界預張力可有效提高薄膜面形精度。

本文工作為薄膜反射鏡的大變形高精度面形控制研究奠定了理論基礎。

［1］石廣豐，金光，張鵬.靜電薄膜反射鏡的關鍵技術研究［J］.長春理工大學學報：自然科學版，2009，32（4）：592-638.

［2］齊迎春.空間薄膜反射鏡的成像機理研究［D］.中國科學院研究生院，2007.

［3］石廣豐，金光，劉春雨，等.薄膜反射鏡成形控制［J］.光學精密工程，2009，17（4）：732-737.

［4］Mihora D J，Stresses in adaptive membrane reflector［C］.Eighth U.S.National Congress of Applied Mechanics，University of California at Los Angeles（UCLA），1978，6.

［5］Claflin E S，Bareket N.Configuring an electrostatic membrane mirror by least squares fitting with analytically derived influence functions［J］.Opt Soc Am，1986，3（11）：1833-1839.

［6］Jérome J，Mihai C.An inverse approach to the design of adaptive micro-mirrors［J］.J Micromech Microeng，2004，14：347-355.

［7］徐彥，關富玲，馬燕紅.充氣可展天線的反射面設計及精度測量［J］.浙江大學學報：工學版，2007，41（11）：1921-1926.

［8］石廣豐，金光，張鵬，等.邊界位移調節量對薄膜反射鏡成形的影響［J］.半導體光電，2010，31（3）：402-405.

［9］齊迎春，金光，許艷軍.空間薄膜反射鏡面形設計及優化［J］.光學精密工程，2007，15（6）：818-823.

［10］Campbell J D.On the theory of initially tensioned circu lar membrane subjected to uniform pressure［J］.Quart J Mech，1956，4：84-93.