常 虹，張 冰

(1.吉林建筑工程學院，長春130021;2.吉林建筑工程學院城建學院，長春130111)

在環境激勵下提取結構各結點加速度響應時，由于周圍環境噪音的干擾及傳感器自身的精度等影響，使得有用信號被噪聲所淹沒，因此為了獲得有用信號，通常對所測得的加速度信號進行去噪預處理，剔除噪聲信號.

1 小波去噪的基本原理

利用小波分析的方法進行去噪處理的實質就是將信號在不同尺度下作小波變換，即用不同中心頻率的帶通濾波器對信號進行過濾，得到信噪比較高的信號.在工程實際中，噪聲信號通常表現為高頻信號，而有用的信號通常表現為低頻信號或比較平穩的信號.

設f(x)是實測得到的信號，采用Mallat算法，將信號在不同頻率上作分解得:

得到信號在低頻空間的投影為:

在高頻空間的投影為:

其中:Ajf(x)為信號中f(x)頻率不超過2－j的成分，Djf(x)為信號中f(x)頻率介于2－j與2－j+1之間的成分.

將上述的小波分解式寫成矩陣形式有:

其中:j=1，2…J.上式即為Mallat塔式分解算法，其中H尺度函數對應的是低通濾波器，H= (hk－2n);G小波函數對應的是帶通濾波器，G= (gk－2n);Cj在分辨率為2－j進行離散逼近，而Dj－在分辨率為2－j進行細節離散，{hk}k∈Z和{gk}k∈Z是一對離散的正交鏡像濾波器，其中一個為低通一個為高通濾波器.

在對信號分解完以后需要對信號進行重構，Mallat重構的算法為:

其中:H*為H的共扼，G*為G的共扼.

小波分析去噪方法實質就是通過Mallat分解，將實測的信號在不同頻率范圍內進行分解，然后再進行信號的重構，在進行重構時，將與噪聲相對應的高頻細節信號的系數置為零，從而達到去除噪音的目的，去噪后的信號表達式)為:

2 小波函數的選擇

利用小波變換進行去噪的第一步就是選擇合適的基小波，小波基的應用原理是利用其很少的非零小波系數去逼近特殊的函數，因此要選擇能產生最多的接近零的小波系數的基小波，由于正交性、緊支撐性、正則性、對稱性及消失矩等性質的不同，基小波的選擇會對降噪效果產生很大的影響.要是信號是正則的同時小波函數又具有足夠的消失矩，那么小尺度上的小波系數就會很小，實際工程中的信號沒有完全正則的，通常都存在少數的奇異點，為了較少高幅值小波系數的數量，就必須減少小波函數的支集長度.因此在具體選擇小波的時候，就面臨消失矩和支集長度之間的矛盾.

為了對比哪一種小波的去噪效果更好，本文分別選取Db3、Db6、bior6.8、sym6、coif3、rbio6.8、dmey小波函數，對Benchmark模型在環境激勵作用每層樓、一層的第24支撐發生損傷的情況下，提取結點15的加速度響應進行分析對比，比較各種小波函數去噪情況下的信噪比和均方根誤差，見表1.

表1 不同小波函數降噪效果比較

從表1可以看出，bior6.8小波函數去噪效果最理想，信噪比最高均方根誤差最小，Haar小波去噪效果最差.因此本文后面所涉及的去噪工作均選用bior6.8小波作為基小波.

3 最大尺度的選擇

最大尺度越大被濾掉的噪聲越多，對噪聲分離是有利的，但在信號重構是丟失的細節信號也多，信號容易失真，因此最大尺度的選擇必須合適.理論上可選擇的最大尺度為J=［log2N］，其中［］代表向下取整，通過試驗一般J取3～5比較合適.文鴻雁［1］在如何確定最大分解尺度時提出:逐漸增大尺度J，然后根據下式RMSE值的變化是否趨于穩定來確定J，

當J分別取1，2，3…時求得RMSE:通常總有r＞1，但當r≤1.1時認為噪聲基本去除，這時J可取的最大尺度為k或k+1.

本文取Benchmark模型結點15的加速度響應，小波函數取bior6.8，當J取不同尺度時分別計算原始信號和估計信號之間的均方根誤差，計算結果見表2.

表2 不同分解尺度信號均方根誤差

由以上分析可得，當分解尺度取2時r＜1.1，因此本文小波降噪的最大分解尺度均取2.

在利用小波進行分解和重構濾波方法時，為了減小信號邊界誤差，在對信號進行降噪處理的時候需要對原始信號進行邊界延拓.通常采取的辦法有對稱延拓法、周期延拓法和補零法.

4 非線性小波變換閾值法

4.1 算法實現

通常情況下，一維信號的非線性小波變換閾值去噪法主要有兩種軟閾值法和硬閾值法兩種:

軟閾值法:

其中:dj，k為去噪前的高頻系數為去噪后的高頻系數，T為閾值.

4.2 閾值函數的選取

l)固定閾值(sqtwolog規則)

該方法的依據是N個具有獨立同分布的標準高斯變量中的最大值小于T1的概率隨著N的增大而趨近于1.

2)Stein無偏似然估計閾值(rigrsure規則)

該規則是采用基于Stein無偏似然估計原理的自適應閾值，該方法的去噪過程為:確定信號的長度N，設P=［p1，p2，p3，…..pN］，其中p1≤p2≤p3≤……≤pN，P的元素為小波包分解系數的平方并按照由小到大的順序排列.定義風險向量R=［r1，r2，r3……rN］，其中:

以R元素中的最小值ra作為風險值，由ra的下標變量a求出對應的閾值為附加信號的標準差.

3)Heursure閾值(啟發式SURE閾值)

Heursure閾值是前兩種闡值的綜合，該方法所選擇的是最優預測變量閾值.如果信噪比很低，則采用固定的闡值形式;若信噪比比較高時，采用啟發函數自動的在前兩種閾值中選擇一個較小的作為閾值.

Heursure閾值的確定方法如下.

②令sure閾值T3可以表示為

4)極大極小閾值T4(Minimaxi規則)

極小極大(Minimaxi)閾值是一種固定的闡值選擇形式，它產生的是一個最小均方誤差的極值，并不是無誤差，它的計算公式為.

5 仿真算例

針對美國健康監測協會提出的Benchmark模型的損傷監測進行研究，結構工況選取環境激勵作用每層樓，損傷工況選取一層的第24支撐發生100%損傷，噪音標準選取10%，結構模型選取12個自由度且質量對稱分布，荷載激勵時間為10 s，采樣頻率為1 000，提取結點15的加速度響應進行降噪預處理.

5.1 閾值的選取

為了選擇最理想的小波去噪方案，選用前面提到的bior6.8小波函數，分解尺度為2，在對比多個閾值的情況下最終確定最優方案.在不同的情況下，評價小波去噪效果的優劣必須通過一些具體指標來衡量，采用均方根誤差(RMSE)和信噪比(RSN)來衡量.

表3 不同閾值方法去噪效果比較

由以上對比可知Rigisure規則去噪效果最好，sqtwolog規則去噪效果最差，因此本文后面提到的去噪均采用Stein無偏似然估計閾值法去噪，整個去噪過程是采用Matlab中的小波工具箱［2］.

5.2 小波去噪的步驟

由于實際試驗中數據量太多［3－7］，而本文只是為了說明降噪效果，所以只取結點15加速度響應的前3 s共300個數據進行Mallat2層塔式分解處理，分析中為了減小邊界誤差需要對邊界進行對稱延拓.

1)信號的分解

根據前面所述，采用bior6.8小波函數對節點15的加速度響應進行2層分解，分解后得到2層尺度系數cj，k和小波系數dj，k，見圖1.

圖1 2尺度bior6.8小波分解系數圖

2)對小波分解得到的高頻系數進行處理

對于分解得到的高頻系數 d1，d2，分別采用Stein無偏似然估計閾值法進行量化處理，得到量化后的高頻系數，見圖2.

圖2 2尺度bior6.8小波分解高頻系數圖

3)進行小波的重構

根據小波分解的第2層的低頻系數和經過量化處理后的第1層到第2層的高頻系數進行信號的重構，得到重構的數據，然后對對稱延拓的數據進行去噪，得到最終去噪后的信號，見圖3.

圖3 去噪后的信號和原始信號對比圖

從圖3可以看出，經過降噪后的信號比較光滑，而且保持了原始信號的尖峰和特征，效果較好.

［1］ 文鴻雁，張正祿.非線性小波變換閾值法去噪改進［J］.測繪通報，2006(3):18－21.

［2］ 胡昌華，李國華.基于MATLAB 7.X的系統分析與設計—小波分析［M］.西安:西安電子科技大學出版社，2008.

［3］ 李愛萍，段利國.小波分析在信號降噪處理中的應用［J］.太原理工大學學報，2001，(1):69－71.

［4］ 朱 華.小波分析及其在信號降噪中的應用研究［D］.湖北:武漢理工大學，2007.

［5］ 張茁生，蔡元龍.小波分析在信號處理中的應用［J］.無線電工程，1994(8):11－18.

［6］ 文 莉，劉正士，等.小波去噪的幾種方法［J］.合肥工業大學學報，2002(2):167－172.

［7］ 劉 健，范洪霞，焦艷會，等.帶白噪聲的小波混沌神經網絡及其應用［J］.哈爾濱商業大學學報:自然科學版，2011，27 (2):177－181.