基于退化量分布時序分析的產品壽命預測

王 立 李曉陽 姜同敏

(北京航空航天大學 可靠性與系統工程學院,北京 100191)

基于退化量分布時序分析的產品壽命預測

王 立 李曉陽 姜同敏

(北京航空航天大學 可靠性與系統工程學院,北京 100191)

針對現有性能退化預測方法采用單調回歸函數對產品退化隨機過程描述不夠合理的問題,從產品在各時刻退化量分布角度出發,分析退化量分布參數估計的非平穩時序類型,并對各參數估計分別采用相應類型的非平穩時序分析方法建模,進而給出一種與實際退化隨機過程更為相符的基于退化量分布的產品壽命及可靠度預測方法.通過對某電子產品的退化試驗,采用所提出的壽命預測方法進行了該電子產品壽命及可靠度預測.結果表明該方法相比傳統方法更符合實際.

性能退化;壽命預測;退化量分布;非平穩時序分析

越來越多長壽命高可靠性產品出現,使產品壽命與可靠性評估更加困難.基于產品性能退化信息預測產品壽命及可靠度成為一種有效途徑.

目前性能退化預測主要有兩種思路:①將性能退化量隨時間變化的隨機過程各樣本函數稱為退化軌跡,基于退化軌跡預測.②將性能退化量在不同時刻所服從分布的參數看作隨機變量,基于退化量分布進行預測.

現有性能退化預測研究中,文獻[1]假設退化量為正態分布進行可靠性預計;文獻[2]給出性能退化量分布參數的極大似然估計方法;文獻[3]采用退化軌跡函數預測產品性能退化;文獻[4]采用線性模型來描述退化量分布參數和退化軌跡.這些文獻均將產品退化軌跡或退化量分布參數假設為單調回歸函數,進行性能退化預測.然而,實際工程中由于受到環境等因素影響,性能退化量存在隨機性及周期性變化,且在這種變化下退化量分布參數往往具有非平穩隨機性.現有方法對產品退化隨機過程描述不夠合理.

非平穩時序包括方差平穩時序和相關系數平穩時序等.非平穩時序分析利用現代統計學和信息處理技術,能充分挖掘非平穩隨機時序的自相關性,刻畫時序隨機性波動規律,是一種適于描述退化隨機過程的方法.文獻[5]給出基于退化軌跡時序分析的性能退化產品壽命預測方法;文獻[6]給出基于退化量分布的性能退化預測時序分析法,但將退化量分布參數時序籠統視為方差平穩隨機時序.由于退化量分布不同參數屬于不同非平穩時序類型,將所有參數時序籠統視為方差平穩隨機時序的假設過于簡單,與實際情況不完全相符.因此本文從退化量分布角度出發,對各退化量分布參數,分別采用相應非平穩時序分析方法,進行性能退化產品壽命預測方法研究.

1 退化量分布數字特征分析

產品退化量分布反映了退化隨機過程一維分布,其基本數字特征為均值和方差.若各樣本退化軌跡為單調回歸函數,退化隨機過程如圖 1.

可知,退化量分布均值和方差為單調回歸函數.

然而工程中,由于產品受到各種環境因素影響,實際的退化隨機過程如圖 2.

圖 2 實際退化隨機過程

可知,當各樣本退化軌跡為隨機時序時,退化量分布均值和方差也可能為隨機時序.當隨機時序具有自相關性時,則時序取值不僅與當前時刻有關,且與其歷史時刻取值有關.若仍采用單調回歸函數描述退化量分布均值和方差時序,則反映不出退化過程隨機波動的自相關性,從而影響退化預測結果.因此,應對退化量分布均值和方差分別采用時序分析方法描述.

2 退化量分布參數估計

本文提出所研究的性能退化過程假設:

假設 1 產品的性能退化過程總體趨勢具有單調性,即性能退化總體趨勢不可逆.

假設 2 退化過程中,所有產品采樣時刻相等.

假設 3 隨著時間的變化,退化量分布的類型不變,僅參數變化.

設共有 n個產品樣本,以 yt表示產品在 t時刻的性能退化量(或性能退化量的某種非線性變換),以 yti表示 yt的第 i個產品樣本.當 yt服從某位置-尺度分布時,任意時刻的位置參數與尺度參數即 yt的數字特征,分別記為 μt和,它們可確定 yt在 t時刻分布情況.例如:

1)當性能退化量服從正態分布時,yt表示性能退化量,其分布參數為 μt和

2)當性能退化量服從對數正態分布時,yt表示性能退化量的對數,yt服從正態分布,其分布參數為 μt和

3)當性能退化量服從形狀參數為 θt、尺度參數為 ηt的威布爾分布時,yt表示性能退化量的對數,yt服從極值分布,其分布參數為 μt=lnηt和μt和的估計值可由 yt的樣本均值和樣本方差得到.由于和是按時間順序變化的隨機變量,因此是時間序列,并且是具有一定退化趨勢的非平穩時間序列.

3 退化量分布參數估計平穩性分析

不同類型的非平穩時序建模方法迥異,因此在對退化量分布參數估計采用時序分析方法建模前,必須先進行平穩性分析,以確定退化量分布參數估計的非平穩時序類型.

1)產品樣本退化軌跡時序非平穩性分析.

實際工程中,通常認為產品各樣本在 m時間段內退化軌跡 yti(t=1,2,…,m)為相互獨立的方差平穩時序.由時序分解原理,yti可分為確定性時序 dti和平穩隨機時序 rti的疊加.

2)樣本均值時序非平穩性分析.

3)樣本方差時序非平穩性分析.s2

t時序表達式為

式(3)中第一項為確定性時序.

其中,g(t)為關于 t的非零函數;bi為常數.式(3)第二項可表示為

根據文獻[7]對相關系數平穩隨機過程定義:

定義 1 設{xt,t∈ T}是隨機過程,如果

1){xt,t∈T}是二階矩過程;

2)對任意的 t,t+τ∈T,有

則{xt,t∈T}是相關系數平穩隨機過程.

另外再根據文獻[8]中的定理:

定理 1 設 xt為相關系數平穩隨機過程,則)為平穩隨機過程,其中D(xt)=σ2I2(t),σ為常數.

由此,本文給出推論如下:

推論 1 任一非零確定性時序與平穩時序之積為相關系數平穩時序.

證明 設 zt為任一平穩時序,I(t)為任一關于 t的非零函數,即非零確定性時序,則

由此可知 I(t)zt為相關系數平穩時序. 證畢

因此,當 (dti-d-t)滿足式 (4)時 ,式 (3)第二項為相關系數平穩時序.

式(3)第三項中,當 rti為正態過程時,(rtir-t)為平穩時序且為正態過程.為常數,并有

因此,本文僅考慮式(3)前兩項,將 s2t時序視為確定性時序與相關系數平穩時序之和.

4 退化量分布參數估計時序建模

產品退化量分布參數估計時序模型是根據產品樣本的退化軌跡時序模型推導而得,因此本文首先給出退化軌跡時序的建模方法.

1)產品樣本退化軌跡時序建模.

在產品性能退化過程中,產品除自身退化特性外,往往還受到環境及設備因素影響,包括周期性和隨機性影響,因此每個樣本退化量時序 yti的確定性部分 dti還可進一步分解為單調趨勢項 fti和周期項 cti的疊加

fti可采用線性回歸函數或可轉化為線性的單調非線性回歸函數描述為

其中,bi為待定系數;f0i為 fti初值;g(t)為單調非線性函數,當 g(t)=t時,式(7)為線性回歸函數.

cti可采用適用于挖掘數據潛在周期性規律的潛周期模型描述,由于同一批受試產品樣本所受到的環境及設備影響相同,因此不同樣本的周期項 cti理論上也相同,則有

其中,q為角頻率個數;λj為角頻率;aj為幅值.

rti可采用傳統平穩時序分析方法中工程應用廣泛、建模簡單且適于預測的自回歸模型描述為

其中,pi為自回歸模型階數;ηji為自回歸系數;εti為白噪聲.

2)樣本均值時序模型.

y-t具有與樣本退化軌跡時序相同表達形式:

即式(4)滿足,式(3)第二項為相關系數平穩時序.

由式(11)可知,式(3)第一項為單調趨勢項,以 fst表示趨勢項,xt表示相關系數平穩項,有

由式(3)和式(11),fst模型為

其中,bs為待定系數.

相關系數平穩項 xt的模型為

其中,fxt表示相關系數平穩項 xt的確定性部分,稱為相關系數平穩趨勢項,是關于 t的非零函數;rxt表示相關系數平穩項 xt的隨機性部分,稱為相關系數平穩隨機項,是平穩時序;σr為 rxt的標準差;σxt為 xt的標準差.

由文獻[8]可知,σxt可由 xt的絕對值序列|xt|的均值模型得到,即

可知 E|xt|即 fxt,由式(3)和式(11),fxt可采用單調回歸函數模型描述為

其中,bx為待定系數.rxt采用自回歸模型描述為

其中,px,ηxj,εxt為 rxt的自回歸 模型階數 、自回歸系數、白噪聲.

5 基于退化量分布的壽命預測

1)退化量分布參數估計時序預測.

根據時序模型最佳(最小均方誤差)預測原理,由式(10),y-t的向前 l步最佳預測值為

2)壽命預測.

通過給定某失效閾值 D,可得到 yt在任意時刻到達 D的概率,即產品可靠度 Rt.由第 2節有:

①當性能退化量服從正態分布或對數正態分布時,yt服從正態分布,若 yt隨 t單調上升,產品可靠度為

若 yt隨 t單調下降,產品可靠度為

②當性能退化量服從威布爾分布時,yt服從極值分布,若 yt隨 t單調上升,產品可靠度為

若 yt隨 t單調下降,產品可靠度為

此時,產品壽命定義為產品性能穿越失效閾值的概率為 Rt時,所對應的時間 t,而并非產品性能第一次穿越失效閾值的時間.

6 實 例

對同一批次 13個某電子產品進行退化試驗,如圖 3.對產品施加額定電壓,以串聯電阻兩端電壓值作為觀測數據.采樣間距為 1min.試驗共進行了17000min.

圖 3 試驗設備示意圖

由于噪聲干擾對非平穩時序分析影響很大,在對試驗觀測數據進行處理前,應先對其進行濾波處理,以去掉噪聲干擾的影響.

經過濾波后的試驗觀測數據再經初值化預處理后如圖 4.

圖 4 初值化后的試驗觀測數據

采用皮爾遜 χ2擬合優度檢驗方法對各時刻對應的預處理后數據分別進行退化量分布假設檢驗.根據產品個數,本文取 6個數據量值寬度相等的區間,以保證每個區間包含 2個以上產品樣本,則 χ2理論值為 7.815.若 χ2檢驗值小于理論值,則接受數據分布假設.對該數據所有時刻退化量分布類型的 χ2檢驗平均值如表 1.

可知,威布爾分布檢驗不通過,取 χ2檢驗平均值最小的對數正態分布為退化量分布.

取經過預處理后數據的對數作為退化數據進行本方法的分析,如圖 5,黑色平滑曲線為采用冪函數對各產品樣本退化軌跡擬合的趨勢項.

表 1 退化量分布 χ2檢驗平均值

圖 5 退化軌跡時序及其趨勢項

對退化軌跡時序進行趨勢項和周期項建模,減去這兩項,得到退化軌跡時序隨機項如圖 6.

圖 6 退化軌跡時序隨機項

對退化軌跡時序隨機項采用輪次檢驗法進行平穩性檢驗.本文將隨機項按時間分為 20等份,對各份的均方值進行輪次計算,在 0.05顯著性水平下,若輪次數在 64至 125間時,則該數據平穩,各產品結果如表 2.

表 2 退化軌跡時序隨機項平穩性檢驗

可知全部產品退化軌跡時序隨機項平穩.則該批產品退化軌跡為方差平穩時序.對隨機項采用皮爾遜 χ2擬合優度正態分布檢驗結果如表 3.

表 3 退化軌跡時序隨機項正態分布檢驗

可知全部產品退化軌跡時序隨機項符合正態分布,則式(3)第三項為平穩時序.

分別對退化數據的樣本均值時序和樣本方差時序進行建模.樣本均值時序的趨勢項模型為

樣本方差時序的趨勢項模型為

對減去趨勢項后的樣本方差殘差數據進行平穩性檢驗結果為 57,檢驗未通過,說明樣本方差時序并非方差平穩時序.如圖 7.

如圖 8,樣本方差殘差數據絕對值的均值模型為

圖 7 樣本方差時序殘差數據

圖 8 樣本方差殘差數據絕對值及其均值

該殘差數據除以其絕對值均值后,再進行平穩性檢驗結果為 105,檢驗通過,說明樣本方差可視為相關系數平穩時序與確定性時序之和.如圖9.

采用第 5節方法,將退化量分布樣本均值及樣本方差時序預測至 30000min,如圖 10、圖 11.

根據該電子產品的實際失效情況的經驗,取產品失效閾值為初始值的 93%,得到可靠度與壽命關系預測結果.如圖 12.

圖 9 樣本方差相關系數平穩隨機項

圖 10 樣本均值時序及其預測

圖 11 樣本方差時序及其預測

圖 12 可靠度與壽命關系預測

可見,采用本文基于退化量分布非平穩時序分析得到的可靠度與壽命關系曲線相比單調回歸函數分析方法能反映出退化隨機過程的波動性規律.該批電子產品中位壽命預測為 24580min.

7 結 論

本文的研究分析和實例應用表明,對于實際工程中大多數產品,其各樣本退化軌跡為非平穩隨機時序,則其退化量分布的數字特征往往也為非平穩隨機時序.因而本文從退化量分布角度出發,提出樣本均值和樣本方差時序的非平穩時序分析方法,從而得到反映產品退化隨機過程波動性規律的產品可靠度與壽命關系預測.

實際上,這種可靠度隨壽命時間的波動性是由于產品可靠度被定義為產品在各時刻退化量穿越失效閾值的概率,在退化量分布數字特征隨時間并非單調性變化的實際情況下,產品可靠度也因此不隨時間單調下降,而是在單調下降的總體趨勢下,還具有一定波動性.這種波動性既包含與當前時刻相關的周期性波動,也包含與歷史時刻相關的隨機性波動.

由于考慮了產品退化過程中由環境因素引起的周期性和隨機性波動,與現有僅考慮產品各樣本退化軌跡單調性退化趨勢的方法相比,本文方法描述的產品退化隨機過程與實際情況更相符.

需指出,本文假設產品的失效閾值為一固定值,然而實際工程中,產品不同樣本的失效閾值往往是隨機性的.由于產品的失效閾值對產品壽命預測結果影響很大,考慮隨機失效閾值的基于退化量分布產品壽命預測方法值得進一步研究.

此外,對于某些產品由于制造費用昂貴,只能得到小樣本退化數據的情況,應采用本文第 4節中產品樣本退化軌跡時序建模方法,即基于至少一個產品樣本的退化軌跡進行產品退化過程描述和壽命預測.對于某些產品由于退化過程過緩,只能在一定時間內能到短時退化數據的情況,可采用加速退化試驗的方法,通過提高產品所受的應力水平,加快產品的退化失效過程,從而在較短時間內即可得到更多退化信息.

References)

[1]Jayaram JSR,Girish T.Reliability prediction through degradation data modeling using a quasi-likelihood approach[C]//Proceedings Annual Reliability＆Maintainability Symposium.New York:IEEE,2005:193-199

[2]Huang W,Duane L.An alternative degradation reliability modeling approach maximum likelihood estimation[J].IEEE Transactions on Reliability,2005,54(2):310-317

[3]Wilson SP,Taylor D.Reliability assessment from fatigue micro crack data[J].IEEE Transactions on Reliability,1997,46(2):165-171

[4]鄧愛民,陳循,張春華,等.基于性能退化數據的可靠性評估[J].宇航學報,2006,27(3):546-552 Deng Aimin,Chen Xun,Zhang Chunhua,Reliability assessment based on performance degradation data[J].Journal of Astronautics,2006,27(3):546-552(in Chinese)

[5]Wang Li,Li Xiaoyang,Jiang Tongm in,et al.SLD constant-stress ADT data analysis based on time series method[C]//Proceedings 8th International Conference on Reliability Maintainability and Safety.Chengdu,China:IEEE Computer Society,2009:1313-1317

[6]尤琦,趙宇,馬小兵.產品性能可靠性評估的時序分析方法[J].北京航空航天大學學報,2009,35(5):644-648 You Qi,Zhao Yu,Ma Xiaobing.Performance reliability assessment for products based on time series analysis[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2009,35(5):644-648(in Chinese)

[7]傅惠民.相關系數平穩過程方法[J].機械強度,2002,24(3):400-404 Fu Huim in.Method for correlation coefficient stationary process[J].Journal of Mechanical Strength,2002,24(3):400-404(in Chinese)

[8]傅惠民,劉成瑞,馬小兵.時間序列均值和方差函數的確定方法[J].機械強度,2004,26(2):164-169 Fu Huimin,Liu Chengrui,Ma Xiaobing.Method for determining functions of time seriesmean and variance[J].Journal of Mechanical Strength,2004,26(2):164-169(in Chinese)

(編 輯 :婁 嘉)

Life prediction of product based on degradation amount distribution time series analysis

Wang Li Li Xiaoyang Jiang Tongmin

(School of Reliability and Systems Engineering,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

For the problem that traditional life prediction methods described product degradation stochastic process inadequately using monotonous regression function,the non-stationary time series types of different degradation amount distribution parameters estimation was analyzed based on product degradation amount distribution at each time.Different parameters estimation was modeled respectively usingnon-stationary time series analysis method.Hence,a realistic product life and reliability prediction method based on degradation amount distribution time series analysis was proposed.A degradation test of a certain electronic product was conducted,and product life and reliability were obtained by the suggested method.The results show that the suggested life prediction method is more reasonable than traditional life prediction method.

performance degradation;life prediction;degradation amount distribution;non-stationary time series analysis

TB 114.3

A

1001-5965(2011)04-0492-07

2010-08-10

國家安全重大基礎研究項目(61312803)

王 立(1983-),女,北京人,博士生,xiaolizi1983@hotmail.com.