功能梯度Timoshenko梁的靜力彎曲分析

付俊強,龔云

(1.洛陽理工學院機械工程系,河南洛陽471023,2.焦作師范高等專科學校基建處,河南焦作454002)

均質材料Timoshenko梁的研究已有許多文獻報道,Timoshenko[1]首先研究了各向均勻梁的剪切變形效應;龔善初[2]應用最小余能原理的理論和方法,對Timoshenko梁進行了動力分析;劉吉源[3]分析了在軸向力作用下的Timoshenko梁的橫向振動頻率特性;馬連生[4]利用Euler-Bernoulli梁理論、Timoshenko梁理論和Reddy三階梁理論的特征值問題的相似性,研究了不同梁理論之間特征值的關系。近年來,人們從不同角度開展了FGM結構力學方面的研究,Ma和Wang[5-6]基于經典理論,用打靶法求解了周邊簡支和周邊固支功能梯度材料圓薄板在橫向荷載作用下的大撓度彎曲問題,以及在徑向均布機械荷載作用下的后屈曲行為;Shen[7]采用二次攝動技術求解了四邊簡支功能梯度復合材料矩形板在熱/機荷載作用下的非線性彎曲問題;WOO[8]基于經典理論,推導了橫向載荷和溫度場作用下FGM矩形板和淺殼大撓度Fourier級數形式的解析解。

本文基于 Timoshenko梁理論,推導了功能梯度材料梁的彎曲控制方程,通過理論推導和相似性分析證明,將功能梯度Timoshenko梁問題的求解轉化為均勻材料梁的求解,從而為功能梯度梁的彎曲分析提供便捷的途徑。

1 求解方法

考慮一厚度為h、長度為l、橫截面積為A的矩形截面FGM梁,材料的彈性模量只沿厚度方向呈梯度變化,梁上作用有橫向均布載荷q,建立坐標系如圖1。

Timoshenko梁理論克服了Euler梁理論的局限性,粗略地考慮了橫截面內的剪切變形。它的基本假定是：橫截面在變形中始終保持平面,但在彎曲變形之后,橫截面不再與中軸線垂直,而是形成了一定的轉角,該轉角是由彎曲應力引起的轉角和由剪應力引起的轉角共同組成。它不僅考慮了彎曲變形,也考慮了由剪應力引起的剪切變形,且假定剪應力沿橫截面等值分布,這種變形理論也稱為一階剪切變形理論。需強調的是,該理論必須進行剪切修正,這個修正系數不僅與材料和幾何參數有關,還與載荷及邊界條件有關。

Timoshenko梁變形理論下梁的幾何方程為

式中 u0、w0—軸線上一點的位移;φ—橫截面轉角;ε和γ—橫截面上的線應變和剪應變。

橫截面上的正應力和剪應力為

式中G—剪切彈性模量;k—校正因子;E=E (z)—彈性模量,沿厚度呈梯度變化。

假設彈性模量按下列冪函數變化

式中Eb=E(h/2),Et=E(-h/2),它們分別為上、下表面的彈性模量。

對于功能梯度材料,彈性常數滿足

由式(2)可得橫截面的等效內力

將式(3)代入式(6),并令α=K-1,K= Et/Eb,積分可得

顯然,對于均勻材料有Eb=Et=E,α=0,這時就有A1=EA,B1=0,D1=EI。其中I= bh3/12為橫截面的慣性矩。力形式的平衡方程為

將式(5)代入式(8),得到位移形式的平衡方程

對式(10)求一次導數,并結合式(9)可得關于轉角的獨立方程

對式(11)無量綱變換,得到無量綱化的微分方程

由式(10)可以求得

上式積分則可得撓度。式中第二項是對Euler梁理論的修正,如果梁為細長的,則δ2=(h/l)2很小,該項即可被忽略,則變形為滿足直法線假設的Euler梁理論。

如果材料為均勻的,則φ1=1,φ2=0,φ3= 1/12,c=1。這時方程(13)和(14)變為

如果我們已求得均勻Timoshenko梁的轉角φ＊,則非均勻Timoshenko梁的轉角為

由式(16)知均勻梁與非均勻梁的無量綱撓度之間的關系為

積分后可得非均勻Timoshenko梁的無量綱撓度函數。

2 結論

1)將功能梯度材料Timoshenko梁在靜載荷作用下的彎曲變形解用相同尺寸、相同載荷作用下均勻材料Timoshenko梁的彎曲變形解乘以非均勻系數來表示。

2)將求解非均勻Timoshenko梁的問題轉化為解均勻材料Timenshenko梁和非均系數的問題,從而使得問題大大簡化。

3)由于方程都是線性的,這種相似轉化可以推廣到無量綱彎矩、轉角和剪力的計算,而且對于任意的載荷工況和邊界條件都適應。

[1]TIMOSHENKO S P.On the correctionfor shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars[J]. PhilMag,1941,744-746.

[2]龔善初.幾何參數對Timoshenko梁固有頻率的影響[J].武漢理工大學學報,2005,29(3)：473-475.

[3]劉吉源,戈新生,陳立群.軸向力作用下Timoshenko梁的橫向振動[J].北京機械工業學院學報,2000,15 (3)：56-59.

[4]馬連生,歐志英,黃達文.不同梁理論之間簡支梁特征值的解析關系[J].工程力學,2006,23(10)：91-95.

[5]MA L S,WANG T J.Nonlinear bending and post-buckling of a functionally graded circular plate under mechanical and thermal loadings[J].International Journal of Solids and Structures,2003(40)：3311-3330.

[6]MA L S,WANG T J.Axisymmetric post-bucking of a functionally graded circular plate subjected to uniformly distributed radial compression[J].Materials Science Forum,2003, 423-425.

[7]SHEN H S.Nonlinear bending response of functionally graded plates subjected to transverse loads and in thermal environments[J].International Journal of Mechanical Sciences, 2002,44(3)：561-584.

[8]WOO J,MEGUID S A.Nonlinear analysis of functionally graded plates and shallow shells[J].International Journal of Solids and Structures,2001(38)：7409-7421.