例談邊界磁場中的極值問題

胡玉濤

(徐州市第二中學 江蘇徐州 221000)

帶電粒子在磁場中的運動既是高中物理教學的難點，又是高考的熱點．它考查了學生綜合分析能力、理解能力、空間想象能力和運用數學處理物理問題的能力．特別是幾種邊界磁場的極值問題，如何根據題設條件確定粒子運動的臨界條件，準確確定粒子在臨界情況下的運動軌跡是解決極值問題的關鍵．對于邊界磁場一般包括以下幾種:平行邊界、三角形邊界、圓形邊界、環(huán)形邊界和圓弧組合型邊界．下面就這幾種邊界磁場進行歸類分析，探究總結處理極值問題的有效方法．

1 平行邊界

【例題1】如圖1(a)所示，一足夠長的矩形區(qū)域abcd內充滿磁感應強度為B的勻強磁場，方向垂直紙面向里．有一帶正電粒子從ad邊的中點O垂直磁場射入，速度為v0并與ad邊夾角θ=30°．已知粒子質量為m，電荷量為q，ad邊長為l，ab邊足夠長，粒子重力不計，求粒子能從ab邊上射出磁場的v0大小范圍．

圖1

解析:由題意可知，當粒子的速度較大時，由于粒子做圓周運動的半徑較大，則粒子會從dc邊射出;若粒子的速度較小，則粒子做圓周運動的半徑較小，粒子則會從ad邊射出．因此為了滿足粒子能從ab邊射出磁場，其臨界條件是:

(1)粒子到達dc邊時的瞬時速度與dc邊相切，相應速度為v01，如圖1(b)所示．則

(2)粒子到達ab邊時的瞬時速度與ab邊相切，相應速度為v02，如圖1(c)所示．則

所以粒子能從ab邊上射出磁場的v0應滿足

2 三角形邊界

【例題2】在邊長為2a的△ABC內存在垂直紙面向里的磁感強度為B的勻強磁場．有一帶正電荷q，質量為m的粒子從距A點槡3a的D點垂直AB方向進入磁場，如圖2(a)所示．若粒子能從AC間離開磁場，求粒子速率應滿足什么條件．

解析:(1)設粒子的速率為v1時，其圓軌跡正好與AC邊相切于E點，如圖2(b)所示．由圖知，在

所以

因此則粒子能從AC間離開磁場，其速率應大于v1．

(2)設粒子速率為v2，其圓軌跡正好與BC邊相交于F點，與AC相交于G點，易知A點即為粒子軌跡的圓心，如圖2(c)所示．則

所以

則粒子從AC間離開磁場，其速率應小于等于v2．綜上，要粒子能從AC間離開磁場，粒子速率應滿足

圖2

3 圓形邊界

【例題3】在真空中半徑r=3×10－2m的圓形區(qū)域內有一勻強磁場，磁感應強度B=0．2 T，方向如圖3(a)所示．一帶正電的粒子以v=1．2×106m/s的初速度從磁場邊界上直徑ab端的a點射入磁場．已知粒子比荷，不計粒子重力，則粒子在磁場中運動的最長時間為多少?

圖3

解析:帶電粒子在磁場中的運動時間由粒子運動軌跡所對圓心角的大小決定．又因為粒子在圓形磁場中運動，所以其圓弧軌跡所對的弦既是其軌跡圓的弦，又是圓形磁場的弦．當弦最長時，對應的圓心角最大，因此粒子從a點入射從b點射出時，粒子運動時間最長，如圖3(b)所示．

得θ=74°

4 環(huán)形邊界

【例題4】核聚變反應需要幾百萬攝氏度以上的高溫，為把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內(否則不可能發(fā)生核反應)，通常采用磁約束的方法(托卡馬克裝置)．如圖4(a)所示，環(huán)狀勻強磁場圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區(qū)域內．設環(huán)狀磁場的內半徑為R1=0．5m，外半徑為 R2=1．0 m，磁場的磁感強度 B=1．0 T．若被束縛帶電粒子的比荷為，中空區(qū)域內帶電粒子具有各個方向的速度．試計算

(1)粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度;

(2)所有粒子不能穿越磁場的最大速度．

解析:(1)要使粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入，不能穿越磁場，則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切，軌跡如圖4(b)所示．由圖知

得

圖4

(2)當粒子以v2的速度沿與內圓相切方向射入磁場且軌道與外圓相切時，則以v2速度沿各方向射入磁場區(qū)的粒子都不能穿出磁場邊界，如圖4(c)所示．由圖知

因此所有粒子不能穿越磁場的最大速度為

5 圓弧組合型邊界

【例題5】在xOy平面內有許多電子(質量為m，電荷為e)從坐標原點O不斷地以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限，如圖5(a)所示．現加一個垂直于xOy平面的磁感應強度為B的勻強磁場，要求這些電子穿過該磁場后都能平行于x軸向x軸正方向運動．試求出符合條件的磁場的最小面積．

解析:不同方向射出的電子的圓形軌跡的半徑相同，所有電子在所求的勻強磁場中均做勻速圓周運動．由

圓O2在y軸正方向的半個圓應是磁場的上邊界;兩邊界之間圖形的面積即為磁場的最小面積，如圖5(c)陰影部分面積．則磁場區(qū)域面積

設磁場區(qū)域足夠大，畫出所有可能的軌跡如圖5(b)所示，其中圓O1和圓O2為從圓點射出，經第一象限的所有圓中的最低和最高位置的兩個圓．若要使電子飛出磁場平行于x軸，這些圓的最高點應是區(qū)域的下邊界．由幾何關系可以證明，此下邊界為一段圓弧將這些圓心連線［圖5(b)中虛線O1O2］向上平移一段長度為

圖5

以上通過例題歸類分析了帶電粒子在不同邊界磁場中的極值問題．從中可以看出，主要包括帶電粒子在磁場中的運動速度、時間、半徑，磁場面積等問題．而定圓心、定半徑、定軌跡是解決這類問題的關鍵．根據運動特點和幾何知識準確確定臨界條件是重要的思維方法．