基于振速測量的HELS方法研究

楊德森，郭小霞，時勝國

(哈爾濱工程大學 水聲工程學院 黑龍江 哈爾濱 150001)

20世紀80年代初，Williams等人提出基于空間聲場變換(STSF)的近場聲全息技術(NAH)，并證明了NAH技術在聲源識別和定位方面的作用［1-3］;針對STSF對重建的聲源表面形狀要求嚴格的缺點，Kim和Lee等人提出基于邊界元(BEM)方法的NAH，建立了任意形狀聲源的近場聲全息理論，但是BEM存在特征頻率處解的非唯一性問題，以及不同階數的奇異積分問題［3-4］;針對這些缺點，Wu和 Wang提出Helmholtz方程最小二乘法(HELS)來實現對振動體外聲輻射問題的分析［5-8］.HELS方法是另一種有效的聲場重建方法，需要的測點數遠遠少于前面2種NAH方法要求的數量，這大大地提高了計算和工作效率.

這3種主流的近場聲全息技術都是通過測量聲壓，進行聲場重建和預測.而眾所周知，振速作為聲學量之一，也是值得關注的.尤其是隨著矢量水聽器的發展，可以同時測量聲場中的聲壓量和質點振速分量，為研究振速量提供了簡便的測量手段.

目前已經有學者對基于振速測量的重建特性進行了研究，Finn Jacobsen等人在聲場變換算法的基礎上，推導出基于質點振速測量的近場聲全息重建公式，仿真研究表明在測量平面中基于聲壓測量的聲壓預報結果與基于質點振速測量的質點振速預報結果沒有明顯的區別，但是基于振速測量的聲壓重建較基于聲壓測量的振速重建要好得多，并且它較傳統技術對于傳感器失真不那么敏感［9］.張永斌等也用同樣的方法證明了采用同樣反映聲場特征的質點振速來進行聲場重建計算，有邊緣重建精度高的特點而且還可以采用比聲壓小的全息面來獲得同樣的重建精度［10］.以上研究都是基于STSF方法，就是說這種基于振速測量的聲場重建模型也存在對于外形不規則的聲源，其應用的可靠性和精度會下降，重建的結果有時甚至會扭曲實際聲場量的分布，不能準確反映物理事實.

由HELS方法振速模型的仿真研究可知［11］，振速模型能夠更精確的重建聲場中的聲壓量和振速量，但是從誤差分析中可以看出重建振速量時，振速模型可以得到更高的重建精度，為研究聲場中的振速信息提供更準確的量值.本文將著重研究基于HELS方法的振速模型用于重建聲場中振速信息的性能，首先推導出基于振速測量的聲場重建模型，然后通過仿真研究證明其重建振速時的重建精度大于聲壓模型，最后在仿真研究的基礎上進行了湖上試驗研究:運用8只矢量水聽器組成線陣后掃描，得到發射換能器的空間聲場分布的矢量信息進而計算得到聲源位置.

1 基于振速測量的HELS原理

由理想流體介質中小振幅聲波的波動方程，可以得到不依賴于時間變量的穩態聲場的Helmholt方程:

式中:p(x，y，z)為空間點(x，y，z)處的復聲壓，▽2為Laplace算子，k為波數.其中聲壓p滿足3種類型的邊界條件.利用第二類邊界條件求解，可以近似表示為一組獨立函數ψ的線性組合:

式中:ρ和c分別表示介質密度和介質中的聲速，Cj為配置系數，ψj為基函數.

在球坐標系下，滿足無限遠處的Sommerfeld輻射條件:

選取Helmholtz方程的特解——球面波函數為基函數:

式中:hn(kr)表示球Hankel函數，Pmn(cos θ)表示連帶Legendre函數［4］.

根據尤拉方程:

式中，v表示質點振速.

將線性表達式(2)代入方程(5)中得到:

令ζ=kr，則得到球坐標系下徑向振速的表達式:

hn'(ζ)表示球漢克爾的導數.即得到了徑向振速的重建公式:

從聲場重建式(2)～(8)的推導過程中沒有近似，故結論是嚴格的，有其可行性.由式(8)可以看到，只要確定了基函數組ψvrj，也就獲得了振速模型重建公式，能夠解得系數Cj理論上就能夠重建任意場點的振速值.

2 仿真參數的選取

HELS方法源于傅里葉級數，即將一個函數展開成有限個基函數的序列.如果要從測量值得到傅里葉級數，連續的傅里葉積分就必須離散化，這就引出了如何采樣的問題.理論上空間采樣要求傳聲器的間距必須小于或等于所感興趣的最高頻率對應的半波長，綜合考慮本文分析聲波的最高頻率為1 000 Hz，水下試驗中可實現最小陣元間距為: ΔDZ=0.75m≤λmin/2，試驗中可操作最小測量距離Zm=0.85?λmin，對于單極子聲源僅僅需要J=4就可以完成聲場重建.根據測量點數M與擴展函數個數J的關系:M≥1.4J，取M=7×8，形成矩形陣進行聲場測量.

3 仿真算例及結果分析

為簡單起見，選取點源作為仿真對象，其諧和球面行波場中各點法向振速的理論公式為

式中:A為利用邊界條件求得的常數，在此取A=1，聲源位于坐標原點.

圖1、圖2分別給出了聲場中存在噪聲時，聲壓和振速重建相對誤差比較，可以看到基于振速測量的重建結果明顯好于基于聲壓測量的重建結果.結果也顯示了振速模型在重建效果方面的優勢所在:振速模型的聲場量重建結果同樣隨著噪聲的增加而變差，但是其變化較聲壓模型緩慢，所以說振速模型對噪聲的敏感性要好于聲壓模型.

圖1 聲壓重建誤差比較Fig.1 The error comparison of reconstructed pressure

圖2 振速重建誤差比較Fig.2 The error comparison of reconstructed velocity

但是這些研究僅僅是在仿真條件下進行的，沒有經過外場實驗的驗證，為了進一步確認該方法的工程應用性能，進行了湖上試驗驗證.

4 試驗研究

4.1 單試驗系統

聲全息測量用的接收線陣是由8個膠囊形三維矢量水聽器組成的線陣，相鄰水聽器間距為0.75 m，陣長為0.75×(8－1)=5.25 m.每個水聽器分別用彈簧固定于圓柱形支架內，為了減小湍流對測量的影響，用絲襪將支架包裹，最后將安裝好的8個小支架固定在基陣架上.

矢量陣基陣水平放置于z坐標軸，x坐標軸垂直于聲源測量面，聲源吊放位置到基陣之間的正橫距離0.85 m，距離水面11.3 m.聲源由基陣上方位置A開始以速度v=0.05 m/s作勻速直線運動，直到另一側對稱位置C停止運動，運動距離為L= 6 m，此時水平陣持續記錄數據.對采樣數據分段后，生成相對于聲源運動的虛擬陣列數據，虛擬陣列沿相反方向運動形成面陣，面陣在運動方向的孔徑為L.由于聲源運動速度V=0.05 m/s，即馬赫數Ma=2.6×10－5，所以運動對于測量數據的影響非常微小，也就是說多普勒效應可以忽略.

選定坐標系后(5號水聽器為坐標原點)，聲源的位置坐標為(y=0，z=－0.2).試驗系統如圖3、4所示.

圖3 試驗坐標系Fig.3 The coordinate system of the experiment system

圖4 聲源位置俯視圖Fig.4 The planform of the source position

聲全息測量數據采集傳輸系統包括轉接機箱、可編程濾波放大器6000、Pulse3560E，采集的數據直接保存到電腦硬盤，經過預處理后得到聲場中聲學量的重建值.

4.2 試驗數據預處理

通過接收系統，最后得到的信號是正弦信號時域上離散的電信號采樣值，而HELS方法的輸入信號為聲信號的頻域值，可以看到要對接收到的信號進行一定的預處理才能夠應用，則需要完成如下工作:1)對選定信號段進行相應的加窗窄帶濾波，降低噪聲的影響.2)根據矢量水聽器各通道一致性校準的結果和測量放大器的放大量，對信號進行幅度修正，將電信號轉化為聲信號.3)將截取的整段數據分成7個小段，進行離散傅里葉變換后，獲得該聲源頻率點的頻域輸入信號.4)最后根據各個虛擬陣元及真實陣元的掃描位置，進行排序構成HELS方法的輸入數據.

4.3 試驗結果分析

利用4.1節所描述的測量系統測得的數據后，根據4.2節給出的預處理方法對數據進行處理，再分別通過HELS方法的聲壓模型及振速模型對聲場中的振速量進行重建，并與理論值對照分析重建振速幅值誤差及聲場中聲源的定位誤差.試驗中根據法向振速的傳播規律公式(9)，再利用測量得到的法向振速量，計算得到重建面的理論值.

4.3.1 單聲源分析

由測量陣列步長決定了可分析聲波的最高頻率為1 000 Hz，則選取試驗工況:按照1/3倍頻程發射200～1 000 Hz的正弦聲波，如圖5、6所示(限于篇幅僅給出250 Hz與400 Hz典型聲源聲場的重建結果).

圖5 法向振速重建結果比較(f=250 Hz)Fig.5 Comparison of reconstructed particle velocity at 250 Hz

圖6 法向振速重建結果比較圖(f=400 Hz)Fig.6 Comparison of reconstructed particle velocity at 400 Hz

由圖5、6可以看出雖然聲壓模型也可以較準確的重建聲場中的法向振速值，但是其重建結果明顯丟失了一部分細節信息，而且存在較振速模型大得多的幅值誤差.另外，不論是振速模型還是聲壓模型都是重建面的中心區域誤差小，邊緣誤差大，這是因為HELS方法是利用球面波近似聲源的聲輻射，在中心區域這種近似是較吻合的，而在邊緣處這種近似相差最遠，而且該方法本身的截斷濾波也去除了說明邊緣不連續性的高階波數.

由聲場重建模型可知，當測量模型一定時發射聲波的頻率也對聲場重建精度有很大的影響，下面分析各工況法向振速聲場的重建結果并計算不同頻率時重建聲源的幅值及定位誤差.

表1 不同頻率聲波的幅值誤差與定位誤差Table 1 Amplitude error and orientation error for different frequencies

由表中數值可以看出，在所選頻率范圍內振速模型和聲壓模型的性能很穩定，都能夠得到較準確的法向振速重建值，而且定位誤差與幅值誤差的變化幅度都不大，與HELS方法低頻適用性強的特點相符.從結果中也可以看出振速模型的重建結果明顯優于聲壓模型，振速模型的幅值誤差低于聲壓模型一個數量級，定位誤差也明顯小于聲壓模型.所以說重建聲場中的振速量時，振速模型明顯優于聲壓模型.

4.3.2 雙聲源分析

在實際工程中，有時也存在一些相干聲源，對于該類聲源HELS方法采取的措施是將幾個聲源包絡在一個大的虛擬球面內看做單個聲源進行聲場重建，在虛擬大球面的外部可以得到聲場的精確解.

利用兩個發射換能器同時發射聲波，共分析2個工況:聲源頻率為500 Hz和630 Hz，圖7為數據處理之后得到的法向振速理論值與重建值.

可以看到在該工況下，聲壓模型和振速模型都不能準確重建2個聲源的聲場分布.

圖7 法向振速重建結果比較圖(f=500 Hz)Fig.7 Comparison of reconstructed particle velocity at 500 Hz

圖8 法向振速重建結果比較圖(f=630 Hz)Fig.8 Comparison of reconstructed particle velocity at 630 Hz

該工況下，振速模型能夠清晰的分辨出2個聲源的位置和相對大小，但是聲壓模型卻已經失效.

可以看到2個模型重建相干聲源聲場的精度較單個聲源稍差一些，但是振速模型的重建結果較聲壓模型能夠更清晰地顯示2個聲源的位置及相對大小.同時也可以看出當頻率增加時，雖然也能分辨出聲源個數，但是聲場的分辨率明顯降低，且聲壓模型的重建結果與理論值相比存在明顯的誤差.這也是在意料之中的結果，因為2個聲源排成一線可近似為長形聲源，在HELS方法中，基于球Hankel函數構成的解析解最適合于聲源表面形狀接近1∶1∶1的聲源，并能夠在其最小球面內獲得較高的重建精度，而對于長形聲源重建精度稍差.

由試驗結果可以看到:

1)利用聲壓模型重建聲場中的振速量幅值誤差偏大，由于環境噪聲的影響使得聲場重建存在幅值誤差，所以該結果與仿真結果相吻合.

2)由于振速模型對于噪聲的敏感性要低于聲壓模型，所以其確定的聲源位置與實際聲源的位置能夠更好吻合，誤差非常小，而聲壓模型確定的聲源位置明顯誤差較大.

3)從不同頻率聲波的聲場重建結果可以看出該模型比較穩定，能夠較精確的對可測量范圍內的聲波完成聲源定位及聲場分析.

4)從相干聲源聲場的重建結果看出，當測量模型一定時，振速模型對于長形聲源聲場的重建也存在一定誤差，但振速模型能夠更清晰的識別聲源.

5 結論

由傳統HELS方法的基本原理出發推導出基于振速測量的模型，仿真分析了聲場重建性能，設計湖上試驗系統，并進行了結果分析，得出以下結論:

1)新模型同樣具有實現過程簡單，測點數目少和計算量小的特點，尤其它較聲壓模型有更高的聲場重建精度.

2)證明振速模型對陣元位置誤差及環境噪聲的敏感性較聲壓模型低，能夠更精確的確定聲源的位置;在較低頻率振速模型的頻率適用性強，能夠穩定且精確的對可測量范圍內的聲波完成聲源定位及聲場分析;同時對于相干聲源的聲場也能較準確的進行重建并識別聲源個數及聲源的位置信息.試驗研究驗證了振速模型用于水下聲源識別定位的可行性和優越性，確定了該模型的工程應用前景.

［1］MAYNARD J D，WILLIAMS E G，LEE Y.Near-field acoustic holography.Ⅰ.Theory of generalized holography and the development of NAH［J］.J Acoust Soc Am，1985，78 (4):1307-1322.

［2］VERONESI W A，MAYNARD J D。Nearfield acoustic holography(NAH).Ⅱ.Holographic reconstruction algorithms and computer implementation［J］.J Acoust Soc Am，1987，81(5):1307-1322.

［3］何元安.大型水下結構近場聲全息的理論與實驗研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工程大學，2000:71-91.

HE Yuanan.Theoretical and experimental investigation on near field acoustic holography of the large underwater structures［D］.Harbin:Harbin Engineering University，2000: 71-91.

［4］KIM G T，LEE B T.3-D sound source reconstruction and field reproduction using Helmholtz integral equation［J］.J Sound Vib，1990，136:245-261.

［5］WANG Z X，WU S F。Helmholtz equation least-squares method for reconstructing acoustic pressure field［J］.J Acoust Soc Am，1997，102(4):2020-2032.

［6］WU S F.On reconstruction of acoustic pressure fields using the Helmholtz equation least squares method［J］.J Acoust Soc Am，2000，107(5):2511-2522.

［7］ISAKOV V，WU S F.On theory and application of the Helmholtz equation least squares method in inverse acoustics［J］.Inverse Problems，2002，18(4):1147-1159.

［8］SEMENOVA T，WU S F.On the choice of expansion function in the Helmholtz equation least squares method［J］.J Acoust Soc Am，2004，117(2):701-710.

［9］JACOBSEN F，LIU Y.Near field acoustic holography with particle velocity transducers［J］.J Acoust Soc Am，2005，118(5):3139-3144.

［10］張永斌，畢傳興.基于質點振速測量的近場聲全息技術［J］.農業機械學報，2007，38(9):112-116.

ZHANG Yongbin，BI Chuanxing.Near field acoustical holography study based on measurement of particle velocity［J］.Transactions of Chinese Society of Agricultural Mechaninec，2007，38(9):112-116.

［11］郭小霞，楊德森，時勝國.基于振速測量的HELS方法聲場重建研究［J］.信號處理，2010，26(6):806-810.

GUO Xiaoxia，YANG Desen，SHI Shengguo.Helmholtz equation least squares method for reconstructing acoustic field with the measurement of particle velocity［J］.Signal Processing，2010，26(6):806-810.