任意非空心旋轉導體的自感系數

李肅成，李嘉亮

（常熟理工學院物理與電子工程學院，江蘇常熟 215500）

任意非空心旋轉導體的自感系數

李肅成，李嘉亮

（常熟理工學院物理與電子工程學院，江蘇常熟 215500）

計算了單位長度圓柱導體、圓錐導體、半球導體以及橢圓柱導體的自感系數，發現其自感系數與形狀無關，進而證明了任意非空心旋轉導體的自感系數也與導體的粗細及形狀無關.

非空心旋轉導體；自感系數；安培環路定理

關于圓柱體同軸電纜自感系數的問題，理論上可以用兩種方法進行討論，但二者的結論不一致，對此我們通過分析給出了正確的解答.經過計算發現：圓柱體、圓錐體以及半球體的自感系數是相同的，在此基礎上我們選取了任意非空心旋轉導體這一幾何模型，證明了其單位長度的自感系數與導體形狀以及粗細無關.這個普遍結論尚未見有學者報道.

1 基本理論

電磁學中［1,2］，求解自感系數通常有三種方法：

本文主要采用（1）式和（2）式來探究導體的自感系數.而在利用（1）式求解自感系數的時候，會出現對磁通量的概念理解不夠透徹而容易犯的一個很普遍的錯誤.針對這個問題，我們給出了合理的解決方案.

2 幾種特殊形狀導體自感系數的討論

2.1 圓柱導體的自感系數

由（4）式可以看出，當外筒壁半徑非常接近內圓柱半徑時，上式第二項可忽略，從而得到單位長度實心圓柱導體的自感系數L與導體的半徑a無關的結果.

m0同軸電纜的自感系數為顯然（4）式和（5）式的結果并不一致，下面探討產生此差異的原因［3］.

圖1

若為單位長度的同軸電纜，則

這個結論與我們使用能量法所得的結論完全一致.其誤差原因的分析其他學者也討論過［4］.

2.2 圓錐導體的自感系數

由單位長度的實心圓錐體、半徑為R的半無限長圓柱體以及半無限長細長導線所組成的無限長軸對稱導體如圖2所示，其內有均勻分布的穩恒電流流過［5］.文獻[5]直接使用定義法及安培環路定理討論了其自感系數，但對為什么可以應用安培環路定理未加剖析.因此，這里我們首先討論安培環路定理的適用問題.

安培環路定理可表示為∮Β?dl=μ0I環內，是Β的環流與環路中所包圍的電流之間的關系.無論環路外是否存在電流、電流以何種角度穿過以環路為邊界的平面，該方程都是成立的.但是該方程絕不是Β和I環內的關系，因為若環路外有電流的話，環路上任何一點的Β應是環路內、外電流共同產生的.因此，如果對稱性破壞的話，即使已知方程的右邊也無法求出某一點的Β.

圖2

在我們的模型中取錐體為研究對象.如圖3所示，對M點而言，電流①和②在M點所產生的Β方向由紙面外向內，這恰好與環路dl的方向共線，即cosθ=1，所以∮Β?dl=∮Bdl.此外，在以x為半徑的圓周上，由于模型的均勻對稱性，所以Β的大小相等，因此必有∮Β?dl=μ0I環內?B∮dl=μ0I環內.注意：此式完全沒有必要知道①、②電流是以什么角度穿過環路的.此外，還應該注意一個問題：電流①、②應該是從無限遠來，到無限遠去，否則安培環路定理也不適用.

還可以進一步考慮電流流向的磁效應問題.在圖4中取M點及其對稱點M″，而IM的大小與IM″的大小相等.從理論上我們可以將IM和IM″在x和z方向分解，注意到IMx和IM″x的大小相等，方向相反，所以對本問題而言，它們不產生磁效應，也就是說對垂直于軸的環面而言，由于旋轉對稱性，電流在該面內的磁效應為零.因此，在我們的模型中安培環路定理完全可以使用.

與文獻[5]不同，我們將從能量的角度來討論這個問題.由安培環路定理可以求得錐體內任意一點M的磁感強度，即

圖3

圖4

式中，x為M到軸線OO′的距離，z為垂足M′到圓錐頂點O的距離.于是，磁能

由（2）式得到單位長度導體的自感系數為

這一結果與文獻[5]完全一致.

2.3 半球導體的自感系數

設由單位長度的實心半球體（即R=1）、半徑為R的半無限長圓柱體以及細長導線所組成的無限長軸對稱導體（見圖5），其內有均勻分布的穩恒電流流過，求相應于半球導體的自感系數L.

圖5

則磁能

再由（2）式得到單位長度的實心半球體的自感系數為

3 非空心旋轉導體的自感系數

上面四種幾何模型得出的結論完全一致，由此我們可以設想任意非空心旋轉導體（由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的且垂直于軸線的任意截面均是圓面的幾何體）相應于內部的自感系數與導體的粗細以及形狀無關.

由單位長度的任意非空心旋轉實心導體以及兩半無限長圓柱體所組成的無限長軸對稱導體如圖6所示，其內有均勻分布的穩恒電流流過，我們來求此非空心旋轉導體的自感系數L.

再由（2）式得到單位長度的電纜的自感系數為

即任意非空心旋轉導體的自感系數與導體的粗細以及形狀無關，這一結論至今尚未見有學者報道.

圖6

4 橢圓柱體導體的自感系數

圖7

5 結語

在以上所構造的各種模型中，通過理論計算發現其自感系數是相同的.在可以忽略邊界條件影響的情況下，所構造的這些模型是可以在實際電路中實現的（即實現以上模型中的無限長條件）.因而，以上結論也是可以通過實驗驗證的.我們期待實驗學者能夠對我們的結論給以檢驗.

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Any Non-hollow Rotating Self-induced Coefficient of Conductor

LI Su-cheng,LI Jia-liang
(School of Physics and Electronic Engineering,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

By calculating self-induced coefficient of cylindrical conductor,conical conductor,hemisphere con?ductor and elliptical conductor,this paper found it had nothing to do with the shape of conductor.Therefore,the paper proved any non-rotating hollow conductor inductance had no relationship with the thickness and shape of conductor.

non-hollow rotating conductor;self-induced coefficient;Ampere Theorem

O414.1

A

1008-2794（2011）08-0046-05

2011-05-12

李肅成（1987—），男，江蘇鹽城人，常熟理工學院物理與電子工程學院學生.

李嘉亮（1957—），江蘇常熟人，常熟理工學院物理與電子工程學院教授，研究方向：凝聚態物理，E-mail:ljl@cslg. edu.cn.