賞識學生對數學問題的生成性解決

隨著課程改革的不斷深入，學生的主體地位在課堂教學中逐漸得到了體現. 教師的角色也由知識的傳授者轉向了學生全面發展的組織者、引導者和合作者． 生成性教學，正是在這一改革浪潮中被推到了前沿，成為共同關注的話題． 杜威認為教育即生長，教育就是經驗持續不斷地改組或改造． 蘇霍姆林斯基認為，學生只有在生成中才是自由的、靈動的、富有創造力的．因此，在數學教學中我們需要及時地賞識學生對數學問題的不同解法、不同理解與不同生成，使課堂充滿生機和活力．

一、 賞識學生對數學問題的不同解法

最早提出“生成學習”概念的是美國心理學家維特羅克． 他在生成學習理論中指出，大腦不是簡單的消費器，而是知識的加工廠；大腦不是被動地記錄信息，而是主動地建構知識的意義，生成個人的經驗、解釋和假設． 他說：“生成是學習的一個基本認知過程”；“文內聯系與文外聯系的建構是生成的基本內容”．由于解題經驗和方法的差異，文內聯系與文外聯系的建構方式也是不一樣的，所以，在教學中，要賞識學生對數學問題的不同解法．

問題1某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的． 如果某臺計算機感染上這種病毒，那么它就會在下一輪病毒發作時傳播一次病毒，并感染其他20臺未感染病毒的計算機． 現有10臺計算機被第1輪病毒感染，問被第5輪病毒感染的計算機有多少臺？

教學參考書答案：a1=10，a2=10×20，a3=10×202，a4=10×203，a5=10×204=1600000.

生1：a1=10，a2=10×20=200，a3=（10+10×20）×20=4200，a4=（10+10×20+210×20）×20=88200，a5=（10+200+4200+88200）×20=1852200.

此題的兩種解答結果截然不同． 前者對計算機病毒傳播的理解是一代接著傳一代；后者的理解是在每一輪的發作中各代同時都在傳播的．相比之下，后者更有理由！值得賞識．

問題2已知1650年世界人口為5億，當時人口的增長率為0.3%；1970年世界人口為36億，當時人口的增長率為2.1%.

用馬爾薩斯人口模型計算，什么時候世界人口是1650年的2倍？什么時候世界人口是1970年的2倍？

教學參考書答案：由2×5=5e0.003t，得到t≈231，1650+231=1881；由2×36=36e0.021t，得到t≈33，1990+33=2003.

生2：由5（1+0.003）x=10，可得x≈231.4；由36（1+0.021）x=72，可得x≈33.35． 為什么算法不同，但是結果卻是驚人地相似呢？

結論：1+e≈ex（當x很小）．

在此題的解答中，生2同學想到嘗試用另一種函數模型解決問題，比較兩者的結果，使大家發現“1+e≈ex（當x很小）”的結論． 不同的解法，能夠有意外的收獲，令人贊嘆不已．

二、 賞識學生對數學問題的不同理解

當代著名的課程論專家小威廉姆·多爾說：“在課堂教學中，存在一個迷人的想象王國，在那里沒有人擁有真理，而每個人都有權力要求被理解．”他還進一步指出“在對知識的探索中，我們對的不是已經固定等待發現的實在，而是解釋上帝笑聲回音的多種方式”． 是啊，對待數學問題亦是如此，要善待“解釋上帝笑聲回音的多種方式”，注意賞識學生對數學問題的不同理解．

問題3設f（x）是定義在區間［-6，11］上的函數． 如果f（x） 在區間［-6，-2］上遞減，在區間［-2，11］上遞增，畫出f（x）的一個大致的圖象，從圖象上可以發現f（-2)是函數f（x）的一個．

參考答案：最小值，如圖1．

生3：不一定，如圖2． f（x）在區間［-6，-2］上的最小值為b；但是，f（x）在區間［-2，11］上的最小值為a． 所以，f（x）在區間［-6，11］上的最小值不存在．

生4：不會存在這樣的圖象，因為f（x）是定義在區間［-6，11］上的函數，所以f（-2）不能同時對應兩個不等的值a和b，因此，只有a=b，即原來的圖象正確．

此題的解決中反映出學生對題意有不同層次的理解． 生3關注的是各個閉區間上的單調性，考慮端點值，然后進行反常規思考，舉出“反例”，問題的提出很有創意，具有很強的批判思維；而生4注意整體思考，從函數的概念本質出發，對生3的反例予以否定． 兩位同學的思考和解答都給大家很好的啟發，取得特好的解題效果．不賞識他們，那是我們的失職啊．

A. a＞0B. a＞1C. 0＜a＜1D. a≠1

解：ax-1≥0，ax≥1，∵ x∈（-∞，0），∴0＜a＜1，∴選C.

生5：a可以取1，所以正確答案應為0＜a≤1．

此題的命題意圖是考查學生對指數函數概念本質的理解和掌握程度，不想忽略了“a=1”的情形，而學生卻考慮到這種特例，應該予以贊賞．

三、 賞識學生對數學問題的不同生成

葉瀾教授說過：“不但要使師生的生命活力在課堂上得到積極發揮，而且要使過程本身具有生成新因素的能力，具有自身的、由師生共同創造出的活力．” “學生在課堂活動中的狀態，包括他們的學習興趣、積極性、注意力、學習方法與思維方式、合作能力與質量、表達意見、建議、觀點，提出的問題與爭論乃至錯誤的回答等，無論是以言語，還是以行為、情緒方式的表達，都是教學過程中的生成性資源．”因此，我們要認真對待和賞識學生對數學問題的不同生成．

問題5已知集合M={yy= -x2+2}，N={yy= -x+2}，則集合M∩N=（）

A. （0，2），（1，1）B. {（0，2），（1，1）}

C. {（0，1）} D. {yy≤2}

解∵ M={yy≤2}，N={yy∈R} ∴ M∩N={yy≤2}.

變式1已知集合M={（x，y）y= -x2}，N={（x，y）y= -x+2}，則集合M∩N=（）

A. （0，2），（1，1）

B. {（0，2），（1，1）}

C. {（0，1）}

D. {yy≤2}

生5：M∩N=?覫!如圖3．

注意，與原題的元素身份不一樣！

生6：在變式1中若選B，則題目條件怎么改呢？

生7：應改為M={（x，y）y= -x2+2}，N={（x，y）y= -x+2}．

生8：或改為M={（x，y）y=（x-1）2+1}，N={（x，y）y= -x+2}．

變式2若集合M={（x，y）y= -x2+c}，N={（x，y）y= -x+2}，則集合M∩N的子集的個數是（）

A. 1 B. 2

C. 4 D. 1或2或4

生9：c應該限定為常數，否則無法求解． 如c= x2+x？

生10：其實，這題還可以把條件進行拓展，可改為M={（x，y）y=ax2+bx+c，a≠0}，然后，再進行分類討論．

生11：這題還可改問為：真子集的個數呢？答案為1或3.

此題在教師的預設中有變式1和變式2，注意到變式教學和問題的生成，但是，卻意想不到生6和生9等同學的不同問題，真的讓人耳目一新！如果不及時地賞識他們，將會抹殺他們的數學探究熱情和發現問題的靈氣！

生成性教學中，由于學生學習中“問題”、“疑難”等生成性資源的時常涌現，使得教師預設的教學目的、教學內容、教學策略等要時常做出相應的調整． 生成性教學中，教師的主要作用是主動捕捉和挖掘有價值的生成性資源，積極利用生成性資源組織教學． 而生成性資源是教學活動得以開展和進行的“生長點”、“腳手架”，它使得教學能在此基礎上動態推進．生成性教學，正是從學生已有的經驗和學科的胚胎性知識出發，在資源的“生成”與“利用”中推動學生經驗的建構與知識的生成． 讓我們在數學問題的生成性解決中不斷賞識學生吧．