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美妙的“雪花曲線”

2011-04-12 00:00:00丁學明
課堂內外·創新作文小學版 2011年1期

同學們都以為數學是很一門很古老的科學,有著悠久的歷史。其實,數學也像其他科目一樣,是在不斷更新和發展的。其中,分形數學(Fractal Math)就是最近發展起來的一門新的數學分支,到目前為止約有20年的歷史,它第一次引起公眾注意的是1985年的《科學美國人》上關于Mandelbrot集的一篇文章,自那以后,分形在表現形式和分形幾何的理解等方面得到更大進展。

下面就是幾個美麗的分形圖形:

在分形數學中,最典型的當數“雪花曲線”了。

雪花曲線因其形狀類似雪花而得名,雪花曲線又名科克曲線,它是在1906年由瑞典數學家赫爾奇·馮·科克第一次作出。雪花曲線是這樣的:

由圖1那樣的等邊三角形開始。然后把三角形的每條邊三等分,并在每條邊三分后的中段向外作新的等邊三角形,但要像圖2那樣去掉與原三角形疊合的邊。接著對每個等邊三角形尖出的部分繼續上述過程,即在每條邊三分后的中段,像圖3那樣向外畫新的尖形。不斷重復這樣的過程,便產生了雪花曲線。

雪花曲線令人驚異的性質是:它具有有限的面積,但卻有著無限的周長!要說明它的面積的有限性,要用到高中極限的知識,但是我們可以這樣想,在一張紙上畫雪花曲線,不管生長多少次,它都不會超過一張紙的,所以說它的面積是有限的。經過研究,由三角形分形后形成的雪花,其面積等于原三角形面積的1.6倍。而雪花曲線的周長則可以持續增加而沒有界限,所以說它的周長是無限的。

上面我們作的雪花曲線是向外作正三角形,如果我們向內作正三角形,則相應地得到如下圖所標示的另一系列的雪花曲線,稱之為反雪花曲線。

像雪花曲線那樣,反雪花曲線也有無限的周長和有限的面積。

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