微積分學中的極限思想及其應用

[摘 要] 闡述了極限思想的起源和發展，分析了極限思想的思維本質和哲學意義，提出了極限理論在微積分及其他學科分支的應用。

[關鍵詞] 極限思想 極限理論 應用

本文是山東交通學院教育研究課題資助項目，編號：JY2009008、 JG2010006.

極限思想是微積分學的基本思想。微積分學中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數、定積分、多重積分、曲線和曲面積分、級數的斂散性等都是借助于極限定義的。所以，微積分學可以看作是以極限概念為基礎、極限理論為主要工具來研究函數的一門學科。

極限思想的產生和發展

極限思想到理論的發展我們可以認為經歷了三個階段：

第一階段：極限思想的萌芽。如公元前5世紀希臘學者德漠克利特為解決不可公度問題創立的“原子論”，公元前4世紀歐道克斯創立的“窮竭法”， 我國《莊子天下篇》中引用的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，公元3世紀我國劉徽的“割圓術”，公元5世紀祖沖之計算圓周率等問題中，都蘊含了最原始的樸素的極限思想。

第二階段：極限理論的發展階段。極限思想的進一步發展與微積分的建立緊密相連。極限概念在數學中首次被英國數學家華利斯在《無窮量算術》（1655年）提出，當以無窮小為理論基礎的微積分受到質疑的時候，牛頓意識到極限概念的重要性，并提出了極限的直觀性定義：“如果當n無限增大時，an無限地接近于常數A，那么就說an以A為極限。”但這種直觀的定性解釋并沒有解決當時的數學危機，在此基礎上，許多數學家對極限的概念進行了完善[1]。

第三階段：極限概念的定量化和數學符號表達階段。這主要指由柯西精確定義，維爾斯特拉斯用符號精確表達的極限的

數學定義，該定義的提出，解決了微積分面臨強大邏輯質疑的窘狀，給微積分提供了嚴格的理論基礎。由此，數學由常量數學正式進入變量數學的時代，極限的數學定義，沿用至今，成了微積分發展的重要里程碑。

極限思想方法的思維本質及哲學意義

所謂極限思想方法，是用聯系變動的觀點，把所考察的對象看作是某對象在無限變化的過程中變化結果的思想方法。[2]

極限概念中蘊含著豐富的運動辯證的哲學思想，現在我們對此進行分析。

（1）極限思想揭示了有限和無限的相互轉化。從左向右看，是無限向有限的轉化，從右向左看， 是有限中包含著無限。[3]

（2） 極限思想揭示了近似和精確的相互轉化。

定積分是一種和式的極限 ，定積分的近似計算就是用有限和去替代極限值，即精確值。

（3）極限思想體現了量變到質變的規律：量的變化引起了質的變化。例如，正多邊形隨著邊數的無限增大圖形無限逼近于圓，這實現了質的飛躍。

（4）極限思想揭示了變量和常量、過程和結果的對立統一。如 ，寫不盡的數列反映了變量an的無限變化，而常量a反映了變量無限變化的結果。每一個an都不是a，反映了兩者的對立，而變量的極限又是常量，這又反映了兩者的統一。

總之，極限思想揭示了變量和常量、無限與有限、近似與精確、量變與質變的對立統一關系。借助于極限，人們可以從有限認識無限，從近似認識精確。從而把曲線問題轉化為直線（以直代曲），把曲面問題轉化為平面，把運動轉化為靜止，把變化的問題轉化為不變，把不規則的轉化為規則。有這樣的辯證關系，于是產生了一些有趣的現象：■=20，0+0+0+…=■，（這里的0指無窮小量）。

極限思想的應用

1.極限思想提供了一種研究方法。

有了極限的數學定義，我們就可以以平均速度的極限來研究瞬時速度，以平均功率來研究瞬時功率，以割線的極限位置定義切線，用面密度的極限研究點密度，利用內接正多邊形的面積趨近圓的面積，極限思想不僅是物理和幾何上常用的一種思想方法，也是力學及其他理工科研究的一種重要思想方法。另外，極限理論的建立，為微積分的進一步發展鋪平道路，也為分析的龐大分支奠定了基礎，同時使得分析方法真正地進入了分析學。[4]

2.極限理論奠定了微積分的基礎。

首先，極限是微積分中的基本概念，是微積分的直接基礎，也是微積分區別于常量數學的重要工具。

其次，極限的思想貫穿于微積分學的始終，很多數學概念以極限為基礎。例如：函數在一點處連續的定義 ：當自變量的增量趨于零時，函數值的增量趨于零；函數在一點處導數的定義是函數值的增量與自變量的增量之比的極限。

再次，極限思想擴展了分析的研究范圍，促進了微積分的發展和完善。如利用極限將正常積分推廣至廣義積分：。

3.在其他學科分支上的應用及作用

（1）在數論領域，極限理論促進了實數系的建立。極限運算需要一個完備的封閉數系，正如加減乘除四則運算法則需要一個封閉的數域一樣。這個完備的數系就是實數系。魏爾斯特拉斯等邏輯構造了實數系，這樣數學分析中的所有概念包括極限都可以通過實數和他們的基本運算和關系精確地表述出來。即分析基礎的邏輯基礎是實數系—極限系—微積分。[5]

（2）概率論上大數定律和中心極限定理就是使用極限思想研究大量隨機現象統計規律性的。中心極限定理是概率論中最著名的結果之一，它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋自然群體的經驗頻率呈現正態分布曲線的原因。另外，微分方程中討論解的奇異極限，泛函分析中馬氏鏈的極限性質，經濟學中極限趨勢理論，算法中極限編程思想， 土體極限分析（極限平衡理論）等處處都體現了極限思想的廣泛應用。

參考文獻：

[1]李文林.數學史教程[M].北京：高等教育出版社，2000：255.

[2]錢佩玲，邵光華.數學思想方法與中學數學[M].北京:北京師范大學出版社，1999：319.

[3][5]張順燕.數學的源與流[M].北京:高等教育出版社，2000.

[4]張曉麗.淺談關于極限理論的理解[J].大舞臺：教學與藝術，2009(11)：94-96.

作者單位：山東交通學院數理系 山東濟南