疊加法在變截面梁的變形上的應用

徐香新，吳勇剛

1. 中國礦業大學力學與建筑工程學院，江蘇 徐州 221116

2.中國礦業大學理學院，江蘇 徐州 221116

在材料力學中，疊加法和積分法是兩種解決梁變形問題的重要方法。積分法是一種基本的數學方法，通過所列出的彎矩方程，可以確定梁上任一點的撓度和轉角，適用范圍非常廣。但積分法計算繁瑣，需列彎矩方程，根據邊界條件確定積分常數。若梁上載荷較復雜，求解工作將變得更加困難。因此需要尋求一種更為有效地解決辦法。當只需要求解梁上某些特定截面的轉角和撓度時，可以通過疊加法進行求解。疊加法的優點在于可在表中查找出幾個簡單載荷單獨作用時的變形，然后針對具體截面，進行疊加。通過簡單計算，即可求出具體截面的撓度和轉角。

1 簡單介紹疊加法

疊加法是基于小變形理論所建立。在材料力學中所提到的小變形指的是微小的彈性變形，求解支反力和分析內力時仍采用變形前的幾何形狀和尺寸；為線性結構時，認為一種載荷對構件的作用不受其它載荷的影響，此即為疊加法。在本論文中小變形指的是小撓度，因此計算彎矩時仍采用變形前的尺寸。若梁上的應力不超過材料的比例極限，且梁的變形又很小，則可以認為梁上的撓度和轉角與載荷成線性關系，即當梁上同時作用幾個載荷時，由每一個載荷所引起的梁的變形將不受其他載荷影響，因此可用疊加法來求解梁的變形。疊加各個載荷單獨作用時的變形，可得到所求變形。也就是說，疊加法是分別計算每一基本變形各自引起的應力、內力、應變和位移，然后將所得結果疊加，便是構件在組合變形下的應力、內力、應變和位移。

2 疊加法在實際生活中的應用

在現實生產生活中，疊加原理無處不自在，尤其是在物理、力學、電學、數學等學科領域更是發揮著不可代替的作用。機械工程中的多數軸類零件，由于其結構、減輕自重、節省材料的要求常將其做成階梯狀，因此對這類機械零件剛度要求非常高，則需計算階梯軸的變形。在求解此類問題的變形時，疊加法是最有效的方法之一。

3 疊加法在求變截面梁的變形時的應用

3.1 變截面懸臂梁

如圖1為所示變截面懸臂梁，求自由端C點的撓度。

圖1

解：

1）剛化 AB段，將BC段看成B為固定端，C為自由端，載荷為F

2）剛化 BC段，將 AB段看成A為固定端，B為 自由端，載荷為F和M=Fl

同時AB段變形會使 BC段產生剛性位移

3）C點的撓度為

3.2 變截面簡支梁

如圖2所示為變截面簡支梁，欲求中點C的撓度，考慮到結構的對稱性 ，可知C點轉角為零，撓曲線在C點的斜率為零。可將該梁看成是由兩段懸臂梁所組成，C為固定端 ，A、B為自由端，A、B兩自由端撓度相等，即為實際截面C的撓度，因此用一段懸臂梁疊加計算即可。解法同上題。

圖2

綜上所述，當求解具體截面變形時，疊加法是一種非常有效的方法。若載荷作用較復雜，一般的方法是將梁簡化成簡支梁和懸臂梁的受載情況，若梁的截面有變化時，要進行相應截面的剛化。因此熟練使用疊加法，充分發揮其優越性，則在解決工程實際問題的效率大大提高。

[1]馮迎輝.疊加法求梁的變形的分析[J].西安航空技術高等專科學校學報，2000，1(3)：35-37.

[2]劉鴻文.材料力學[M].4版.北京：高等教育出版社，2005.

[3]哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學[M].7版.北京：高等教育出社，2009.