優化和均衡——系統理論的重要問題

陳光亞

（中國科學院 系統科學研究所，北京 100190）

對于一個系統，人們總是希望系統的結構及運行處于一個優化和均衡或和諧的狀態.因此，系統的優化和均衡問題就成為系統科學和系統工程研究的一個重要問題.錢學森先生指出：系統科學是從事物的部分和整體，局部與全局及層次關系來研究客觀世界，系統是由一些相互關聯、相互作用、相互制約的組成部分所構成的具有某種功能的整體［1－2］.系統的優化和均衡是“某種功能”的重要組成部分.錢學森先生的系統科學思想和系統工程方法強調“整體論與還原論相結合”及“從定性到定量綜合集成方法”，于是，系統的優化和均衡問題，可以描述成一個三元組（S，F，P）.其中S表示一個系統，F表示判斷系統狀況的指標，F通常是以目標函數形式表示，P表示比較目標函數“值”大小的準則，也稱為偏好.目標函數“值”的大小對應于系統狀態的好壞.例如，S是由多項式不等式描述的系統，F是一個線性或非線性函數，P是自然的數值大小的偏好，那么（S，F，P）就刻畫了一個運籌學中的線性或非線性規劃問題.如果S是由一個微分方程描述的系統，F是一個泛函目標函數，則（S，F，P）刻畫了一個最優控制問題.

約一半Nobel經濟學獎獲得者的獲獎工作是與優化和均衡有關.他們從宏觀和微觀的角度對經濟系統和金融系統中的優化和均衡問題進行了研究，并取得了開創性的成果.例如康托諾維奇（Kantorovich）對生產計劃的研究，這實際上是一個運籌學中的線性規劃問題，列昂惕夫（Leontiev）的投入產出法實際上是一個資源配置的優化平衡問題.更直接的研究顯現在Arrow和Debreu對數理經濟的一般均衡理論的研究以及Nash對博弈論中的均衡點存在性方面的開創性工作.Myerson獲獎的主要工作——最優機制設計，本質上是研究經濟管理的優化和均衡問題.馬科維茨（Markowitz）以著名的投資決策理論獲得諾爾貝經濟學獎，投資決策問題實質上也是一個優化問題.還可以列出許多諾貝爾經濟學獎獲得者的獲獎工作，這些工作利用優化和均衡的思想方法對經濟、金融以及重要的社會問題進行研究，獲得了開創性的應用成果.

本文從錢學森系統科學思想出發，將整體論和還原論相結合，基于定性到定量的綜合集成方法，對運籌學及非線性分析中的一些問題進行回顧和重新思考，以期對今后的研究工作提供一些啟示.

1 優化和均衡

1.1 最優解概念的擴充

“最優解”概念的最自然的理解是在一組實數中，按照實數的自然大小關系，選取最大或最小的數（相對于整體極值）或選取某些極大或極小數 （相對于相對極值）.單個數值目標函數的優化問題（如線性規劃、非線性規劃等）是研究最優解的典型的數學模型.

在經濟、金融、管理決策等問題中，人們往往遇到多個判別指標的問題.例如，我國在1958年大躍進時期提出了“多、快、好、省”的方針，在運輸和旅游中要考慮運費、時間、舒適程度以及安全等.比較兩組數之間的“大小”或“好壞”相較于單純實數之間的大小更為復雜，這就引出了“偏好”和“Pareto最優解”的概念［3］.

1.2 最優解和Pareto最優解的一致性

在一組實數中，按照實數自然大小順序找出一個最大數或最小數，那么這個數稱為“最大解”或“最小解”.在數值數學規劃問題中，理解為這個目標函數值在容許集合中的原像稱為數學規劃的最優解.換一種說法，一組數的最大數（或最小數）等價于在此組數中找不到另外一個數比它更大（或更小）.因此，“最大”或“最小”等價于“找不到更大”或“找不到更小”，后者正顯示了所謂的“Pareto”最優的本質.研究Pareto最優性是諸如多目標優化決策，合作博弈，數理經濟中的一般均衡等問題所研究的對象.于是，在整體論和還原論相結合的視角下，所有這些問題本質上都是一致的，都在研究Pareto最優解，不同之處在于它們利用的偏好不一樣.

如果將和諧理解為均衡，和諧社會理解為均衡社會，那么，人們可以說和諧社會就是一個最優的社會形態，不過這里所謂的“最優”應看成是Pareto最優.不同的“偏好”決定了不同的和諧形態.

1.3 變分不等式是優化和均衡之間的橋梁

運籌學和系統工程工作者應用變分不等式是從研究非線性規劃問題開始的.在一個凸容許集上求一個可微凸函數的最優解等價于去解一個變分不等式.但是，如果并不知道質點運動軌跡的表達式，只知道質點運動的速度變化規律，求此質點的穩定點（最優點）的優化問題就不能構造成在容許集合上求函數的極值問題，但能將問題描述成一個變分不等式問題來求解.這顯示，變分不等式模型是獨立的數學模型，它并不依賴于求函數極值的數學規劃問題.近代的研究表明，交通網絡的平衡問題、金融網絡的平衡問題、數量經濟中的均衡問題等均可轉化為求解一個等價的變分不等式問題.因此，變分不等式既體現了優化的特性又顯現了均衡的本質.

2 關于“復雜性”問題的某些思考

當前復雜性問題已成為世界研究的熱點課題.但是據本人所知，對復雜性概念還沒有一個公認的統一的定義.對復雜性的研究還是需要從定性到定量的綜合集成的方法，還是需要走某些學科共同所走的途徑.也許，復雜性概念類似于經濟和金融學中的偏好、統計和概率理論中的隨機性、模糊理論中的模糊性概念.對于“偏好”的好與壞，諾貝爾經濟學獎獲得者Debreu在他的名著《Theory of Value》中用了整個章節來研究效用函數［4－5］，使得偏好的“大小”與一個數值函數的大小是同構關系.處理初等概率問題是很困難的，基本上只能利用排列組合方法.現代概率和統計理論引入了隨機變量及分布函數概念之后，概率和統計問題就能夠利用數學理論中的實變函數理論和測度論等工具進行嚴格處理.模糊問題也是難以把握和處理的問題，當引入了隸屬函數等概念后，模糊問題就可以利用數學工具加以解決.復雜性問題也許同樣可以通過從定性到定量的途徑來引入數學工具進行研究.

［1］錢學森.創建系統學［M］.太原：山西科技出版社，2001.

［2］錢學森.再談系統科學體系［J］.系統工程理論與實踐，1981，1（1）：2－4.

［3］CHEN G Y，HUANG X X，YANG X Q.Vector Opti－mization：Set－Valued and Variational Analysis［M］.Berlin：Springer，2005.

［4］DEBREU G.Theory of Value［M］.New York：Wiley，1959.

［5］ARROW K J，DEBREU G.Existence of an equilibrium for a competitive economy［J］.Econometrica，1954，22（3）：265－290.