迭代計算方法在測繪領域中的具體應用

王建國

(中煤國際工程集團南京設計研究院，江蘇南京 210031)

迭代計算方法在測繪領域中的具體應用

王建國?

(中煤國際工程集團南京設計研究院，江蘇南京 210031)

應用迭代計算方法總結出計算點位到特殊曲線徑向距離的算法，并根據算法原理編制相應程序，實踐應用證明程序的正確性、可靠性和實用性。

迭代；算法；徑向距離

1 引 言

迭代法是一種不斷用變量的舊值遞推新值直到誤差小于事先設定的容許誤差完成迭代計算的過程。迭代法作為一種很常用也很重要的計算方法在測繪諸多領域中均有應用，如:監測網優化設計規劃求解、卡爾曼濾波五組核心遞推公式、BP神經網絡訓練、空間直角坐標反算大地坐標、赫爾默特方差分量估計、道路點位坐標反算施工坐標、拱壩溢流壩計算點位徑向距離等。

本文主要對點位到特殊曲線的徑向距離展開討論，并以工程實例進行驗證。

2 原理推導

現在要計算點P(X0，Y0)到曲線的徑向距離、徑向方向線和曲線交點的高程以及該交點距原點的弧長。解決這個問題的關鍵在于如何找到計算點P對應于曲線上的某一點Q。為了尋找這樣的點，思路有三:

(1)以計算點P為圓心的圓與特殊曲線剛好相切所對應的切點即為Q點。

(2)過曲線上點Q的切線的斜率K1與Q點和P點的連線的斜率K2有這樣的數學關系，即:K1×K2＝0，該方程為僅含有未知數X的一元方程。解算最終可得Q點坐標X、Y值。

(3)使得過曲線上Q點的法線恰好通過計算點P。

本文即是基于第三種思路運用迭代的算法來尋找滿足要求的Q點。

目前點到緩和曲線的最短距離討論的文獻資料也較多。文獻[1]用點P到通過迭代點的法線之垂距作為里程迭代增量，直到垂距小于設定的精度要求，迭代收斂。文獻[2]用點P與迭代點的距離、迭代點處的切線、點P到切線的垂線構造直角三角形，用切線長作為里程迭代增量，直到迭代點的切線與點P的切線重合，迭代收斂。本文結合上述兩文獻的迭代思想來解決點到曲線的最短距離問題。

首先建立如圖1所示的坐標系。我們假定曲線上任一點P1(X1，Y1)，則過點P1的法線為P1A，計算點P到法線P1A的距離DPA，可得知P點相對于法線的位置(P點在法線P1A左側時PA為負，在右側時PA為正，相對于圖上而言)，通過該相對位置使法線向點P移動，移動所需的X坐標的改變量△X≈DPA×cos(α)。通過這樣修正該點的X坐標使法線向點P移動，當移動滿足點P到法線的距離小于所設定的精度時迭代結束，曲線上該點便是點P對應于曲線上某一點的近似點(如圖1中的B點)，上述過程可簡述為如下步驟:

①計算過假定點P1(X1，Y1)的法線的坐標方位角F；

②計算點P(X0，Y0)到法線P1A的垂直距離DPA；

③對假定點P1的坐標X1進行修正:

④DPA值大于所設定的精度則重復上述步驟，否則迭代結束；

某曲線設其方程為:

圖1 工程坐標系中點與曲線關系原理圖

對式(1)求導數得:

上述式(2)一階導數可理解為過曲線上某點的切線的斜率K即:

因此，切線坐標方位角:

則通過直線P1A的坐標方位角為:

而直線P1P的坐標方位角αP1P可以通過這兩點坐標反算求得，則點P到直線P1A的距離:

上式中L為交點B的橫坐標。

3 工程實例

某工程縱剖面圖如圖2，其設計線形曲線方程為:Y＝X2/400＋0.023X。本文應用上面介紹的原理編制相應的程序，計算結果如表1所示。

圖2 隧道龍落尾縱剖面圖

圖2 中三點坐標:A(36.3215，532.7096)、B (45.5541，514.8421)、C(57.1535，519.0177)分別位于曲線的典型位置，計算結果如表1所示。

迭代解法與直接解法計算結果比較表(單位/m) 表1

迭代程序部分主要代碼如下:

迭代解法計算過程表(單位/m) 表2

從以上實例可以看出:

(1)計算的結果正確，迭代次數在工作中可以接受；實際工作中可通過調整迭代精度控制計算速度。

(2)計算精度可控，由于計算出了移動所需的大致X坐標差來進行修正，計算出交點的X坐標值的誤差約為限定的計算精度和該點切線角的余弦之積。

4 結 語

思路一效率較低，實際工作中不建議采用，思路二、三在實際工作中可以采用，結合一種計算機語言如Matlab或VB編程能夠批量自動計算，從而使工作效率得以提高。

本文探討了點位到一類曲線的徑向距離的一種迭代算法，簡要分析了算法的速度和計算的精度。實例驗證該算法原理正確，通用性強，程序易于實現，能夠滿足實際工作的需要。

[1] 李全信.確定地面點與線路中線相對關系的統一數學模型[J].測繪通報，2002(8)

[2] 馮曉，李敏.任意組合曲線坐標正反算通用算法及應用試驗[J].礦山測量，2008(2)

[3] 任玉杰.數值分析及其MATLAB實現[M].北京:高等教育出版社，2007

[4] 佟士懋，邢芳芳，夏齊霄.AutoCAD ActiveX/VBA二次開發技術基礎及應用實例[M].北京:國防工業出版社，2006

The Specific Application of Iteration in Surveying and Mapping

Wang JianGuo
(Sino Coal International Engineering Group Nanjing Design Institute，Nanjing 210031，China)

In this paper，the algorithm of calculating radial distance between points and curve by using iteration is introduced.Based on the algorithm，writer design relevant programme.The result shows that it is accurate，reliable and practical.

iteration；algorithm；radial distance

1672－8262(2011)02－153－03

P209

B

2010—08—10

王建國(1980—)，男，工程師，主要從事工程測量及數據處理研究。