基于灰色與線性回歸組合模型在變形預測中的研究

劉燕芳,陳天偉,陳凱華,張潔潔

(桂林理工大學土木建筑工程學院,廣西桂林 541004)

基于灰色與線性回歸組合模型在變形預測中的研究

劉燕芳*,陳天偉,陳凱華,張潔潔

(桂林理工大學土木建筑工程學院,廣西桂林 541004)

從GM(1,1)模型原理和GM(1,1)與線性回歸組合模型原理的不同之處開始討論,并且用組合模型進行了樣本實例計算,與單一的灰色模型和簡單的滑動平均作出對比,得出組合模型計算較準確,精度較高。

變形分析;灰色系統理論;灰色與回歸組合模型;簡單滑動平均

1 引 言

變形監測的目的是獲得變形體變形的空間和時間特征,并作出變形的幾何分析和物理解釋。變形監測有實用和科學上兩方面的意義。實用上的意義主要是檢查各種工程建筑物和地質構造的穩定性,及時發現問題,以便采取措施;科學上的意義包括更好地理解變形的機理,驗證有關工程設計的理論和地殼運動的假說以及建立正確的預報變形的理論和方法。

灰色理論在變形監測方面做出了較大貢獻,而本文用了幾種方法的對比,說明灰色與線性回歸模型可以很好的運用于變形監測。

2 GM(1,1)模型原理

記原始序列X0為[2]:

根據灰色系統理論對原始序列做1次累加生成后,得到生成序列X1(1),即:

式中X1(t)可用下式進行計算:

系統預測模型GM(1,1)的白化形式的微分方程表示為:

對微分方程求解,得到其離散的通解為

式中,c為積分常數,需要通過一個邊界條件來確定。在目前所采用的預測模型中,都是假定:

式(4)在式(5)條件下的特解為:

式中,B以及y用式(9)計算:

預測公式為:

3 組合模型

由(4)可以將微分方程解為[4]:

對X1(t+1)求導或做累減還原,得到原始系列的預測公式為:

分析微分方程的解式(11),可以看出它的形式如下式:

用線性回歸方程Y=aX+b及指數方程Y=a·exp(p)的和來擬合累加生成X1(t),因此可將生成序列寫成:

在上式中,參數v及C1,C2,C3需要確定。

并設:

同樣有:

則上面兩式相比為:

因此得到V的解為:

將式(15)的換為X1,則由式(19)可得v為近似解取不同的m=(1,…,n-3)值可以得到不同的估值以它們的平均值作為v的估計值。

將上式的計算結果用一次累減生成即可得到原序列X0的預測值。從上式可以看出,如果C1=0,則一次累加生成為線性回歸模型,如果C2=0,則累加生成序列為GM(1,1)模型。新模型使原線性回歸模型中不含指數增長趨勢,即GM(1,1)模型中不含線性因素的情形得到改善。

4 灰色與回歸組合模型的應用

4.1 小樣本數據時模型的應用

表1是對某教學樓進行沉降觀測,從1期～8期的沉降觀測值。

沉降量原始系列 表1

在這里用灰色CM(1,1)與線性回歸組合模型來處理[1]。

原始系列:

一次累加:

根據不同的M,利用式(13)和式(20)計算V的估計值,V=0.094。

用式(24)得到C的估計值:

得到一次累加生成系列的組合模型為,

通過這個模型一次累減后得到各個時刻的預測值為表2所示。

各時刻預測值,殘差值及相對誤差 表2

利用該模型計算的平均相對誤差為0.06%,用后方差檢驗C=0.156,P=1,屬于一級精度,由此可以看出由組合模型能取得較高精度的結果。

4.2 時間序列分析方法的應用

我們仍然用表1的數據來建立模型。時間系列分析[5]法有三種模型,這里我們用簡單滑動平均計算方法。當數據個數不多時,建立復雜的模型不太可能,這時簡單滑動平均可以發揮作用。

對數據進行平滑,使用最近的M個數據的平均值作為平滑值,M-期簡單滑動平均計算公式如下:

對數據進行預測,用平滑值作為未來一個時刻的預測:

例如:5-期簡單滑動平均平滑:

5-期簡單滑動平均預測:

根據RSE選擇M 表3

對比表3中的RSE,根據選擇RSE最小值原理,很明顯可以看出,選擇M=2時預測值比較好。

(1)兩種模型的對比

我們來對比,灰色與回歸組合模型的預測值與2-期簡單滑動平均的沉降預測值,如表4所示。

組合模型與簡單滑動模型的對比 表4

顯而易見,組合模型的預測值比較接近實測值。當數據很少時,選擇灰色與線性回歸組合模型比較合理。

4.3 大數據樣本時組合模型的應用

某城市從1970年～1987年沉降累積量 表5

用式(3),式(7),式(8),式(9)可以得到生成系列X1的時間相應函數為:

利用上式計算出各期模擬和預測值后,通過式(10)一次累減生成,求得各期的預測值、殘差和相對誤差如表6所示,預測值的平均相對誤差為12.42%,預測1988年沉降量的相對誤差為12.39%,預測1989年沉降量的相對誤差為21.14%。

各個時期的預測值、殘差及相對誤差 表6

由灰色線性回歸組合模型可得到其時間相應式為:

利用上式計算出各期模擬或預測值后,通過一次累減生成,求得各期的模擬值、殘差和相對誤差如表7所示,預測值的平均相對誤差為11.53%,預測1988年沉降量的相對誤差為2.39%,預測1989年沉降量的相對誤差為1.72%。

各時刻預測值,殘差值及相對誤差 表7

(1)組合模型與單一的灰色模型的對比

將表6與表7計算結果對比結果如表8所示。

1988,1989年預測值的對比 表8

很顯然,組合模型的相對誤差要遠遠小于單一的灰色模型,進而說明了組合模型精度要高于灰色模型,預測比較準確。

5 結 語

灰色系統理論通過對數據的生成,來弱化數據的隨機性,凸現其規律性,在數據量少時有優勢,當人工采集變形數據或數據采集受客觀條件限制時,可采用灰色系統理論模型,以減輕外業觀測的工作量,并得到較好的預測效果。

本文討論了GM(1,1)模型原理和GM(1,1)與回歸組合模型原理的不同之處,并且用組合模型進行了大樣本實例計算,得出組合模型計算較準確,精度較高。單純灰色模型不能解決的問題,利用灰色與回歸組合模型就能得到解決。大樣本數據時,選擇組合模型。

本文還討論了GM(1,1)與回歸組合模型原理與時間分析方法中的一種簡單滑動平均。因為時間分析的其他模型需要大量的數據,故在小樣本數據計算時,無法采用。而此時,便顯出灰色理論的優點:在信息少量的情況下,灰色能充分利用已知信息。并且,計算精度遠遠高于簡單滑動平均。小樣本數據時,選擇組合模型。

從上面兩個算例,一致可以得出GM(1,1)與回歸組合模型在做數據處理時都是比較好的方法。

[1] 韓曉東,賀兆禮.灰色GM(1,1)與線性回歸組合模型及其在變形預測中的應用[J].淮南礦業學院學報,1997, 17(4):51～54

[2] 鄧聚龍.灰色控制系統[M].武漢:華中理工大學出版社,1986

[3] 何勇兵.多變量灰色預測模型在大壩安全監測中的應[D].浙江:浙江大學,2003,11～15

[4] 何曉群,劉文卿.應用回歸分析[M].北京:中國人民大學出版社,2001,59～60

[5] 婁峰.時間系列分析在隧道位移監測中的應用[D].沈陽:大連理工大學,2002,14～15

On Application of Deformation Forecast in Combination of Gray and Linear Regression Model

Liu YanFang,Chen TianWei,Chen KaiHua,Zhang JieJie
(College of Civil and Architectural Engineering,Guilin University of Technology,Guilin 541004,China)

This article discusses the different principles between GM(1,1)model and GM(1,1)model with linear regression.Based on the combination of GM(1,1)model and linear regression model,the sample is precisely calculated. Comparing with the simple GM(1,1)model and moving average,it is concluded that the combined model is of high precision and accuracy.

deformation analysis;gray system theory;GM(1,1)model with linear regression;simple moving average

1672-8262(2011)04-151-04

O241.6,TU196.2

B

2011—03—06

劉燕芳(1985—),女,碩士研究生,主要研究方向:變形監測數據處理及測繪數據信息化。

廣西自然科學基金(2011GXNSFA018001)