應用 EXCEL電子表格編制大地網轉換程序

譚 君,陳尚云

(四川中水成勘院測繪工程有限責任公司,四川 成都 610072)

1 前 言

任何一個國家大地控制網的建立,都有一個歷史的發展過程。在不同的時期采用的參考橢球及定位方式都不會相同,并總是逐步完善和精密化,因此就存在不同精度等級大地網的轉換問題。以我們國家為例就有 1954年北京坐標系、1980西安坐標系以及現在推行的 2000國家大地坐標系。

在工程建設中,也經常存在不同坐標系的轉換問題,如將國家坐標系的坐標轉換為地方坐標系或工程坐標系的坐標等等。

解決坐標轉換有兩種方法,一是嚴密法,二是近似法。所謂嚴密法就是將舊的全部觀測值在新坐標系中重新平差,算出各點的新坐標值。本文介紹的近似法是在舊資料不足或其它工程急需的情況下采用的一種方法。近似法要求新舊網中必須有足夠的同名點用以解算新舊坐標系之間的轉換參數,當同名點個數大于基本要求時采用最小二乘法求解。

2 坐標系轉換的數學模型

坐標系轉換數學模型有正形變換模型、仿射變換模型和赫爾默特變換模型。

正形變換模型的數學公式如下:

實際應用時計算至 P4、q4就可以了。由于每個重合點可以列兩個誤差方程,因此正形變換法進行坐標轉換時最少需要 5個重合點。

仿射變換模型的數學公式如下:

赫爾默特變換模型的數學公式如下:

上述式中 X、Y表示新坐標系中的坐標;x、y表示舊坐標系中的坐標;Pi、qi表示正形變換中的各個變換參數;ai、bi、ci表示仿射變換中的各個變換參數;A、B表示赫爾默特變換中新舊坐標系之間的平移參數;k表示赫爾默特變換中新舊坐標系之間的縮放數;α表示赫爾默特變換中新舊坐標系之間的旋轉角度。

3 程序編寫

現以正形變換為例敘述程序的編寫(本程序是在office-2003版 EXCEL電子表格中編寫和運行)。

第一步:解求重心坐標,使用的函數為 AVERAGE(),把所有點的成果歸化為重心坐標系的成果;

第二步:組成誤差方程,按照公式(1)、(2)每點組成兩個誤差方程;

第三步:組成法方程,按照最小二乘法的原理組成法方程;

第四步:解法方程,使用函數 minVERSE()和MMULT();

第五步:求轉換點新坐標,使用函數 MINVERSE()和 MMULT()。

為了使程序條理清晰便于使用,將整個程序分為四個工作表編寫:第一個表是使用說明;第二個表是原始數據;第三個表是模型解算;第四個表是轉換點計算。

本程序的特點是只要參加模型解算的點數大于5個,總點數(模型解算點 +待求點)-2≤電子表格的行數,就能一次性自動解算完畢。

圖1 控制點布置

4 算 例

下面以 24個點組成一組正形變換算例說明程序的使用,點位分布見控制網布置圖(圖 1)。

第一例中參加模型解算的點數為 24個,待求點是 7個,從表中看出 24個點解求的模型內符合精度 mx=9.0(mm),my=13.2(mm)(見表1)。

表1 不同系統間的坐標正形變換模型

續表1

第二例中參加模型解算的點數為 5個,待求點是 19個,由于模型解算無多余條件,所以內符合精度為 0(見表2)。

第三例中參加模型解算的點數為 8個,待求點是 16個,從表中看出 8個點解求的模型內符合精度 mx=5.1(mm),my=7.6(mm)(見表3)。

表4～6是三種模型解算的轉換點坐標與已知坐標比較。

三個模型解算轉換點成果較差見表7。

表2 不同系統間的坐標正形變換

表3 不同系統間的坐標正形變換

表4 24點模型改算點坐標的比較

表5 5點模型改算點坐標的比較

表6 8點模型改算點坐標的比較

表7 三個模型解算轉換點成果較差

5 結 論

從表4～6的轉換點精度及表7的轉換點成果較差分析可得出以下幾點結論:

(1)模型解算點應均勻分布于整個轉換區域,未知點應在模型解算點的控制范圍內。

(2)當重合點的精度一定時,增加模型解算點數意義不大。

(3)本程序操作簡單,界面友好,換算后得到的成果與專業測量平差軟件得到的成果毫無差異。

(4)從正形變換的公式可知本程序也可用于仿射變換和赫爾默特變換,只是重合點數不能少于 5個,而仿射變換最少只需要 3個重合點,赫爾默特變換最少只需要 2個重合點。

(5)程序正確性驗證算例(理論數據)見表8。

從驗算模型可知程序是完全正確的,因為理論數據的內符合精度為 0mm。

[1]徐紹銓,吳祖仰主編.大地測量學[M].武漢:武漢測繪科技大學,1988.

[2]於宗儔,魯林成.測量平差基礎(增訂本)[M].北京:測繪出版社,1983.

表8 不同系統間的坐標正形變換