可控硅調壓系統中拼波角度求解算法的研究

胡洋洋，程玉華

（電子科技大學自動化工程學院，四川 成都 611731）

0 引 言

可控硅拼波調壓系統是以可控硅為控制對象，通過數字控制電路來完成電壓（功率）調節的電器設備[1]。相比斬波調壓方式，拼波調壓方式能有效地抑制諧波分量，控制精度高，功率因數高，極大地改善了系統效率。該文以基于TI公司定點DSP芯片TMS320F2812的可控硅調壓系統控制板作為實驗平臺[2-3]，并結合系統中非線性方程的特點，使用IQmath庫函數設計出相應基于二分法、弦截法和牛頓迭代法的算法[4]，并通過實驗對3種算法進行分析比較，最后確定牛頓迭代法作為系統中計算拼波角度的算法。

1 可控硅拼波調壓原理

通過變壓器副邊2個抽頭提供兩級電壓u1和u2，如圖1所示，其中u2>u1，每個電壓回路中的2個可控硅反向并聯，用于控制本級電壓的通斷。以電壓過零點作為可控硅觸發時基，以正半周為例，首先觸發Q3導通，此時由u1為負載提供電壓，當導通角α時刻到來時，觸發Q1導通，同時Q3因為反相電壓而自動關斷，u2為負載提供電壓。負載上的拼波波形如圖2所示。

在電壓過零點后加入導通死區角度αD，以防止可控硅的共態導通，即在電壓過零點后αD對應時刻小電壓u1導通。那么可以得到負載電壓有效值

α∈[αD，π]，其中 u1=U1sin（ωt），u2=U2sin（ω t），U1和U2為電壓有效值，可以得到拼波角度α和負載電壓有效值U0的方程為

由于導通角α和負載有效電壓值U0以及兩級拼波電壓有效值U1和U2存在定量的數值關系，需要找一種數值計算方法，由U0，U1，U2的值求解出導通角α。

令 x=2α， x∈[2αD，2π]

可得非線性方程

隨機選取幾個 U0，U1，U2的值后利用 Matlab對f（x）作圖，可得式（4）的曲線族。如圖3所示，隨U0，U1，U2的變化，可得到不同的 f（x）曲線，可以看到方程f（x）=0有唯一解（圖中星號標記處），并且曲線單調遞減。

需要根據變壓器抽頭的U1、U2和用戶設定電壓U0，設計出基于DSP的求解f（x）=K-x+sinx的算法，并對算法進行比較驗證。

2 求解非線性方程算法

2.1 二分法及相應算法

若f是區間[a，b]上的連續函數，且f（a）·f（b）＜0，則f在[a，b]內必有1個零點。

由圖3曲線族可知在確定的1組U0，U1，U2下，f（x）=0有唯一解，而且f′（x）=cosx-1＜0，x∈[2αD，2π]。曲線f（x）單調遞減，即可以通過式（4）確定導通角α的值。

根據F2812 DSP和系統的非線性方程的特點，對二分法求解作如下處理：

（1）從圖3非線性曲線族可知，方程單調遞減，所以在判斷方程根的區間時，可由中值的符號來判斷。例如若f（c）＜0，則可判定f（x）在[a，c]內有根；若f（c）＞0，則判定f（x）在[c，b]內有根。減少復雜的三角函數乘法，可大大提高代碼的效率。

（2）以 c=a+（b-a）/2 代替 c=（a+b）/2 計算中點 c。這是為了堅持數值計算中通用策略，即通過把1個小的修正項加到先前的近似值來計算1個量是最佳的。

假設可控硅調壓系統中導通角允許誤差為0.1°，由（180/0.1）=1 800＜211=2 048，所以可以知運算最大步數可設為n=11。軟件具體實現的流程圖如圖4所示。

2.2 牛頓迭代法及相應算法

牛頓迭代法是利用泰勒級數的前幾項去逼近求解實函數的零點，用某個固定公式反復校正根的近似值，使之逐步精確化，最后得到滿足精度要求的結果。

唯一性證明：從圖3的曲線族上可以看到方程f（x）=0有唯一解（圖中星號標記處），即通過式（4）可以唯一確定α的值[5]。

算法求解的收斂性驗證：

在經過i+1次迭代計算后[6]，牛頓迭代公式誤差由式（5）得到

式中：ei+1和ei——第i+1次和第i次計算后的誤差。

圖4 二分法軟件流程圖

將式（6）代入式（5）后得到

x∈[2αD，2π]，再利用式（7）不難證明，存在 1 個正常數 C，滿足式（8）：

式（8）的數學意義是：該設計中f（x）使用牛頓迭代公式的收斂速度至少是二階的。

牛頓迭代法初始迭代公式如下

設定的初始點為π/2。流程圖如圖5所示。

2.3 弦截法及相應算法

弦截法是利用差商

替代式（9）中的f′（x），得到

計算開始時需要指定2個初始點，分別為π/2和π/4。

圖5 牛頓迭代法流程圖

3 硬件實驗平臺

使用可控硅拼波調壓系統中的控制板作為實驗板，其中DSP的工作頻率為130MHz，變壓器抽頭電壓分為 4檔：170V、66V、34V、25V。兩檔拼波電壓的選擇需要根據用戶設定電壓的大小去確定，即U1

實驗方法：在CCS3.3開發環境下，利用IQmath庫函數編寫3種算法的程序，手動輸入設定電壓值，分別計算拼波角度值。

需要記錄以下數據：

（1）根據芯片的2個GPIO口的電平變化[7]，使用示波器實測DSP完成3種算法分別所需要的時間。為了獲得更精確的單次計算時間，每次計算次數10 000次，準確度為0.1°。

（2）設定1個全局變量，并且通過CCS中的Watch Window去查看記錄3種算法需要迭代的次數。

（3）分別記錄3種算法在不同的設定電壓值下計算出的拼波角度值。

圖6 二分法計算時間圖

圖7 弦截法計算時間圖

圖8 牛頓法計算時間圖

表1 3種方法不同電壓的計算時間

表2 3種方法不同電壓的迭代次數

表3 3種方法不同電壓的計算角度值

4 結果比較分析

當設定電壓為80V時，通過示波器單次觸發記錄GPIO的電平變化，記錄相應算法計算10000次的時間。圖6為二分法計算電平變化圖，可知計算時間為224ms；圖7為弦截法電平變化圖，可知計算時間為156ms；圖8為牛頓迭代法電平變化圖，可知計算時間為150ms。通過比較可知在計算設定電壓為80V時，牛頓迭代法最快，弦截法與之相差很少，而二分法計算速度最慢。

從表1和表2可以分析得知：

二分法單次計算時間可達34μs，為牛頓迭代法的2～3倍，但是二分法算法比較簡單，且總是收斂的。缺點是收斂太慢，計算次數多達11次，所以一般不單獨將其用于求根。

牛頓迭代法的收斂速度是2次，所以計算速度是最快的，隨著牛頓法的每次迭代，精度明顯倍增。在該系統中，一般迭代2～3次便可以得到符合精度要求的角度值。

弦截法的計算速度比牛頓法慢，但比二分法快。弦截法的收斂率是超線性的，免去了求解一階導函數的繁瑣，對于一階導數非常復雜的非線性方程，弦截法就非常有優勢，但是每次計算需要指定2個初始值[8]。

從表3中3種方法不同電壓的計算角度值可知，3種方法均能計算出要求準確度為0.1°的角度值。但是從牛頓法和弦截法的角度值可知，準確度可以達到0.001°，這兩種方法用較少的迭代次數獲得了比二分法更高的精度。

5 結束語

該文介紹了可控硅拼波調壓系統中求解拼波角度的非線性方程的推導過程，以及求解非線性方程的3種算法的對比研究。其中式（4）的非線性方程是拼波控制的核心，可廣泛應用于各種基于拼波理論的調壓（調功）系統中。由于該系統實時性較強，所以最終選擇牛頓迭代法。以牛頓迭代法作為求解非線性方程已經應用于實際的可控硅調壓系統中，整個系統工作期間電壓波形穩定，且最后的功率因數在90%以上。

[1]張康樂，雷凱.一種新型晶閘管拼波控制電路的設計[J].自動化信息，2008（10）：35-37.

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[7] Texas Instruments Incorporated.TMS320C28x系列DSP的CPU與外設（下）[M].張衛寧，譯.北京：清華大學出版社，2005：562-571.

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