基于DDMA算法和電路層次分析法進(jìn)行的網(wǎng)絡(luò)靈敏度分析

白艷偉 張 超

（1.太原理工大學(xué)電氣工程系，太原 030024；2.華北電力大學(xué)電力工程系，河北 保定 071003）

在我們進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)時(shí)，總是需要知道所設(shè)計(jì)的網(wǎng)絡(luò)由于元件參數(shù)值的一定容差或環(huán)境溫度的變化所受到的影響如何。網(wǎng)絡(luò)由于元件參數(shù)值的一定容差或關(guān)于溫度變化等因素所受到的影響程度可用網(wǎng)絡(luò)的靈敏度來衡量。

對(duì)電網(wǎng)進(jìn)行靈敏度分析的重要性是不言而喻的。在電路設(shè)計(jì)以及電路的故障診斷中，對(duì)電路進(jìn)行靈敏度分析是一件重要的工作。伴隨網(wǎng)絡(luò)法與增量網(wǎng)絡(luò)法是電網(wǎng)靈敏度分析中常用的方法。但是，這兩種方法有各自的局限性，伴隨網(wǎng)絡(luò)法需要構(gòu)造伴隨網(wǎng)絡(luò)，且需要求解兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)后才能得到電路中相應(yīng)的靈敏度，而增量網(wǎng)絡(luò)法需要計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)。此外，伴隨網(wǎng)絡(luò)法只能一次求解多參數(shù)單輸出的網(wǎng)絡(luò)；增量網(wǎng)絡(luò)法只能一次求解多輸出單參數(shù)的網(wǎng)絡(luò)，不便于求解復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的靈敏度計(jì)算時(shí)使用。

因此不少文獻(xiàn)[1-5]均對(duì)靈敏度分析進(jìn)行了探討，并提出了各種不同的分析方法。文獻(xiàn)[1]應(yīng)用連通圖的k－樹樹支導(dǎo)納乘積，給出網(wǎng)絡(luò)函數(shù)及其靈敏度分析的符號(hào)表達(dá)式。該方法較之以數(shù)值計(jì)算為基礎(chǔ)的伴隨網(wǎng)絡(luò)法和增量網(wǎng)絡(luò)法，具有計(jì)算精度高、速度快，易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[2]以電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)交流潮流方程為基礎(chǔ)，應(yīng)用電網(wǎng)絡(luò)矩陣方程并根據(jù)PV、PQ及平衡節(jié)點(diǎn)的特點(diǎn)，導(dǎo)出了增量方程及靈敏度矩陣，通過一次計(jì)算可求得系統(tǒng)中所有節(jié)點(diǎn)電壓變量（從而所有的狀態(tài)變量）對(duì)全部線路（支路）參數(shù)或?qū)刂谱兞康撵`敏度。文獻(xiàn)[3]通過一個(gè)“基礎(chǔ)子陣”hadamard乘積的微分性質(zhì)，推得了網(wǎng)絡(luò)多端口多參數(shù)二階靈敏度的矩陣表達(dá)式。文獻(xiàn)[4]通過基于分析開關(guān)電容（SCN）的z域改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓方程，只要該方程系數(shù)矩陣的逆（即該SCN的傳遞矩陣）存在，則可求得全部離散時(shí)間電壓對(duì)全部電路元器件參數(shù)的靈敏度。文獻(xiàn)[5]針對(duì)與鞍結(jié)分岔相關(guān)的電壓穩(wěn)定裕度對(duì)參數(shù)的靈敏度計(jì)算問題，提出了一種解線性方程組求靈敏度的新方法。

本文中討論的第一種方法是計(jì)算多參數(shù)的時(shí)域電路靈敏度分析的新方法，這種方法通過對(duì)直接微分改進(jìn)算法的嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)可以同時(shí)計(jì)算一個(gè)或者更多的電路變量（節(jié)點(diǎn)電壓、支路電流等）以及一些電路參數(shù)（電阻、電容等）。這種方法通過對(duì)多參數(shù)時(shí)域電路進(jìn)行數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)、電路分析從而得到電路的靈敏度方程。

電路的層次分析法則提出一種不同于以往傳統(tǒng)計(jì)算的靈敏度分析方法，它直接采用電路的層次結(jié)構(gòu)來解決網(wǎng)絡(luò)方程的問題。層次分析法還采用矩陣方程的 LU分解，在傳統(tǒng)的計(jì)算方法中沒有精確的LU矩陣分解，該方法的計(jì)算過程與電路的等效方程計(jì)算的結(jié)果相符，它消除了電路的所有內(nèi)部節(jié)點(diǎn)而只保留終端節(jié)點(diǎn)。

1 直接微分改進(jìn)算法（DDMA）

任意一個(gè)電路N都可以由非線性微分代數(shù)方程描述如下：

式中，A=(v,ia)T∈Rn是由節(jié)點(diǎn)電壓列向量v和輔助電流列向量ia。P∈Rm是電路設(shè)計(jì)和使用時(shí)的參數(shù)，已引入靈敏度方程的推導(dǎo)。X=(q(v),f(ia))∈Rh是電容器充電電壓和電感電流。X上的一點(diǎn)表示的是變量對(duì)時(shí)間的變化，對(duì)于X和A、P的準(zhǔn)確關(guān)系是由一系列代數(shù)方程來描述的。

由于總體上對(duì)于式（1）沒有準(zhǔn)確的形式，因此需要對(duì)它進(jìn)行一定量的數(shù)學(xué)變形，這些公式應(yīng)用于電路分析中是通過對(duì)原網(wǎng)絡(luò)變成線性電阻電路，通常稱之為伴隨網(wǎng)絡(luò)[6]，就是得到將非線性元件或儲(chǔ)能元件線性化了的支路方程。

為了同時(shí)得到網(wǎng)絡(luò)函數(shù)關(guān)于參數(shù)P的靈敏度矩陣，也就是說需要計(jì)算n×m階的靈敏度矩陣的子矩陣A=[a1,a2,…,an]T對(duì)參數(shù)P=[p1,p2,…,pn]T的導(dǎo)數(shù)，記作

2 直接微分改進(jìn)算法的應(yīng)用

為了使上述方法更容易理解，下面舉例來說明，選擇一個(gè)常見的簡(jiǎn)單電路如圖3所示，要求電路變量關(guān)于參數(shù)R和C的靈敏度。

圖1 靈敏度計(jì)算的基準(zhǔn)電路

列寫關(guān)于RC電路的傳遞函數(shù)方程為

經(jīng)過線性化和離散化后，圖1可以用下列方程來描述

式中，tn是當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)，h=tn+1－tn，而α和β通過向后歐拉法來得到的是α=1,β=0，用梯度法得到的是α=2,β=1。

為了得到我們需要求解的靈敏度求解方法，如上例所示我們考慮元件電容為關(guān)心的參數(shù)如圖2所示，圖中獨(dú)立電壓源由短路來代替，線性電容不變外相應(yīng)地增加獨(dú)立電流源v2(t)=-(VIN/RC)e(-t/RC)。靈敏度電路可由下列連續(xù)時(shí)域方程形式表示出

容易證得ψ1(t)，ψ2(t)，φ(t)分別對(duì)應(yīng)于v1(t)，v2(t)，i(t)關(guān)于參數(shù)C的靈敏度。

從式（8）可以看出，如果h在N和η中相同，那么，靈敏度矩陣和式（7）所描述的雅可比矩陣相一致。進(jìn)一步說，如圖2所示也可以看出考慮電容節(jié)點(diǎn)靈敏度的重要性是為了正確的改進(jìn)式（7）中Rhs的列矩陣。事實(shí)上，對(duì)于電容器的節(jié)點(diǎn)電壓ψ2以及它的伴隨電流源在前一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上相關(guān)，這也相應(yīng)于前面所述的v2對(duì)電容C的靈敏度。

圖2 并聯(lián)RC的電路靈敏度計(jì)算

由于我們關(guān)心的是ψ2(tn+1)的求解，所以首先需要選擇雅可比逆矩陣的第二列乘以Rhs列矩陣。為了得到J-1中需要求解的列，需要求解如圖3所示的伴隨網(wǎng)絡(luò)N∧。

圖3 并聯(lián)RC線性電路的伴隨網(wǎng)絡(luò)

伴隨網(wǎng)絡(luò)可以由下列方程描述

解得

3 電路層次分析法概述

層次分析法采用矩陣方程的 LU分解，在傳統(tǒng)的計(jì)算方法中沒有精確的 LU矩陣分解，該方法的計(jì)算過程與電路的等效方程計(jì)算的結(jié)果相符，它消除了電路的所有內(nèi)部節(jié)點(diǎn)而只保留終端節(jié)點(diǎn)，因?yàn)榻K端節(jié)點(diǎn)對(duì)于子電路相連是必要的，如果一些子電路組成一個(gè)新的更高層次的子電路，一些終端節(jié)點(diǎn)就會(huì)成為新的層次的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)，而其余的仍然是終端節(jié)點(diǎn)（如圖4所示）。這些新的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的減少就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的等效電路，這些方法正好對(duì)應(yīng)于高斯消去原理，當(dāng)整個(gè)等效電路對(duì)應(yīng)于原電路，這個(gè)消去過程也就終止。

其中，每一個(gè)粗線代表一組節(jié)點(diǎn)，每個(gè)長(zhǎng)方形方塊代表子電路連接塊，每一個(gè)圓形代表電路元件，頂部圓框代表的電源和負(fù)荷。

圖4 任意層次電路

下一步該算法確定完整的電路變量的值，其中的一些相應(yīng)于下一個(gè)層次的子電路的終端節(jié)點(diǎn)的變量。但是，子電路的局部變量是可以確定的，該方法通過對(duì)所有子電路各層次的重復(fù)分析過程來導(dǎo)出完整的解決方法，這些步驟可以替代高斯算法的一部分。

分層線性模擬電路已成功地用于許多微波CAD軟件包，并總結(jié)成一組公式應(yīng)用在任何節(jié)點(diǎn)電壓，以系統(tǒng)地計(jì)算在任何層次的（內(nèi)部或外部的任何子網(wǎng)）的電路[7]。

首先，我們用下列辦法來解決最高一級(jí)的終端電路，即

式中，花括號(hào)中的矩陣是一個(gè)N×N階的矩陣再和終端電路的外部電源電壓Vs(k)做乘積，Ys(k)和Zs(k)都是包含終端節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)納和阻抗對(duì)角矩陣，相應(yīng)地，如圖5所示，Ys(k)是端接電路導(dǎo)納矩陣，Vs(k)和Is(k)相應(yīng)地表示電路中電壓源和電流源。列向量V(k)包含需要求解的外部電壓模塊。因此，所有這個(gè)子電路（包含內(nèi)部和外部）節(jié)點(diǎn)電壓Vt(k)可以由下列方程得到

式中，A(k)是子電路的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，I(k)表示流過子電路外部節(jié)點(diǎn)的電流。

式（13）中電壓Vt(k)提供了所有子電路下一層的外部電壓，因此利用此式進(jìn)行反復(fù)迭代，直到算出所有要求的節(jié)點(diǎn)電壓。此公式適用于開路和短路的端子。例如，端口1短路表示在矩陣Zs(k)中Z1=0；端口nE+2開路表示導(dǎo)納矩陣Ys(k)中Z2=0。

圖5 終端子電路的典型電路（包含電壓電流源）

其中，整個(gè)端口序列1，2，…,nE對(duì)應(yīng)電壓源，nE+1，nE+2，…，nE+l對(duì)應(yīng)電流源，全部節(jié)點(diǎn)數(shù)為N，N=nE+nl。

4 層次靈敏度分析在交流電路中的應(yīng)用

列寫一個(gè)基本子電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程

式（14）關(guān)于參數(shù)q求一階偏導(dǎo)可得

引入新變量將式（15）化為

此處Ye表示子電路的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，ΔVe列向量表示元件電壓的增量，ΔIe為元件電流列向量的增量，ΔJe元件電流擾動(dòng)引起的變化量，Δq為參數(shù)q的增量。

子電路的簡(jiǎn)化方程為

式中，ΔVt，ΔJt，ΔIt是等效電路終端變量的增量。

繼續(xù)進(jìn)行下一個(gè)更高層次的分析法時(shí)的方法類似于上面的分析方法，因?yàn)槭剑?6）和式（17）具有相同的形式[8]。

式（16）用導(dǎo)納矩陣Yt和列向量 ΔVt，ΔJt，ΔIt來建立導(dǎo)納矩陣Ye以及列向量ΔVe，ΔIe，ΔJe此外，還采用了一些子電路相關(guān)的元件。

重復(fù)上述過程直到全部電路都完成前面的消去工作，式（17）就轉(zhuǎn)化為

后邊的替換都始于終端電壓增量tVΔ的求解

這種方法代替了下面的分層分析和局部變量的方法該過程，一直重復(fù)該過程直到到達(dá)最后的層次水平，這才完成了全部的替代。

5 結(jié)論

直接微分改進(jìn)算法是一種新的解決時(shí)域電路變量靈敏度分析的有效算法。DDMA算法與直接法和伴隨技術(shù)比起來更強(qiáng)調(diào)CPU運(yùn)行時(shí)的時(shí)間成本。而在層次靈敏度分析法中用到的數(shù)字運(yùn)算的總數(shù)幾乎等于原來的分析方法，因?yàn)樵谶@兩種方法中使用所有方程具有相同的導(dǎo)納矩陣，而這兩種方法的結(jié)合大大的減少了方程的運(yùn)算，對(duì)于不是僅有一個(gè)參數(shù)q的靈敏度分析就更加有意義，對(duì)于每一個(gè)參數(shù)都將找到一個(gè)方程與其相對(duì)應(yīng)。關(guān)鍵一點(diǎn)是，對(duì)于減少方程系數(shù)矩陣的數(shù)學(xué)運(yùn)算可以通過 LU分解以及使用和原矩陣相同的儲(chǔ)存位置來實(shí)現(xiàn)。這種新算法的準(zhǔn)確性也是可以估算的，通過估算離散方程解的靈敏度來確定。此種方法的效率準(zhǔn)確性IEEESpice3F5系統(tǒng)中也得到了很好的驗(yàn)證[9]。

[1] 羅日成，李衛(wèi)國(guó).基于圖論的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)靈敏度符號(hào)分析法[J].長(zhǎng)沙電力學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2004,19(3).

[2] 李彬華.基于伴隨網(wǎng)絡(luò)的電力系統(tǒng)靈敏度分析的新方法[J].電路與系統(tǒng)學(xué)報(bào),1998 (2).

[3] 孫湛惠，黃香馥.計(jì)算網(wǎng)絡(luò)多端口多輸出高階靈敏度的簡(jiǎn)便方法[J].電子學(xué)報(bào),1990(2).

[4] 羅先覺，周濤，胡洪萍. 開關(guān)電容網(wǎng)絡(luò)靈敏度分析的傳遞函數(shù)法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2001，23(4).

[5] 江偉,王成山,余貽鑫,ZHANG Pei.電壓穩(wěn)定裕度對(duì)參數(shù)靈敏度求解的新方法[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào),2006,26(2).

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[8] Erich Wehrhahn. Hierarchical Sensitivity Analysis of Circuits[J]. IEEE Trans.on MTT, 2001,14(6).

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