利用Taylor級數(shù)巧妙證明不等式

張銘哲

(山東省日照第一中學(xué) 276825)

首先在前面我們將Taylor公式和涉及到的某些不等式列到前面.

1.Taylor定理

若函數(shù)f(x)在點a的鄰域內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，則對鄰域內(nèi)一點x存在ξ∈(a,x)或(x,a)使得

2.Cauchy不等式

ai,bi∈R(i=1,2,…,n)則有

等號在ai,bi成比例時取得.

3.Schur不等式

x,y,z>0,r∈R則

xr(x-y)(x-z)+yr(y-z)(y-x)+zr(z-x)(z-y)≥0.

下面舉例說明Taylor級數(shù)在不等式證明中的威力.

例1 已知a,b,c∈R+，且a4+b4+c4=3.求證：

ab+bc+ca≤a2+b2+c2.

故可以將每項都展成 Taylor 級數(shù)來證明.

證明易知ab,bc,ca<4.

例2 已知a,b,c∈(0,1)，求證:

分析兩邊作差后有明顯的 Schur 不等式的形式，但變量都在分母上，難以直接應(yīng)用 Schur 不等式.可以考慮用 Taylor 展開將每項都化成冪級數(shù)，巧妙地去掉分母，然后再用 Schur 不等式完成證明.

證明因a,b,c∈(0,1) 故原不等式等價于

又原不等式兩邊均收斂，故此級數(shù)亦收斂.由 Schur 不等式知此級數(shù)每項均非負，故總和非負.進而原不等式成立.

例3 當正實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1.求證：

故只需證：

由 Muirhead 定理：

例4 設(shè)a,b,c是正實數(shù)，且滿足abc=1.求證:

分析本題沒有明顯的可以運用 Taylor 展開的特征，但利用abc=1升次之后得

例5 已知x,y,z是正實數(shù)，求證：

coshx2+coshy2+ coshz2≥coshxy+coshyz+coshzx

分析本題涉及超越函數(shù)，除 Jensen 不等式外的常見不等式很難處理這種類型的題.但稍做嘗試便知道 Jensen 不等式做此題也是不夠的，但利用 Taylor 展開可以給一個相當漂亮的證明.

證明由題意得：

注用相同的方法，對雙曲正弦也可以得到類似的不等式：已知x,y,z是正實數(shù)，

則sinhx2+sinhy2+sinhz2≥sinhxy+sinyz+sinhzx.

由上面幾例可以看出，可以運用 Taylor 級數(shù)解決的不等式問題往往有比較明顯的特征，易于發(fā)現(xiàn).而且運用 Taylor 級數(shù)最明顯的一個特點就是該方法能在不放縮的情況下將分式不等式、超越不等式轉(zhuǎn)化為有關(guān)多項式的不等式，方便利用冪平均不等式、Cauchy 不等式等不等式，這在一定程度上降低了直接利用這些不等式導(dǎo)致放縮放過的可能性.

對某些分式不等式，雖然看起來并不適用于這種方法，但往往稍作代換就可以整理成比較好的形式，進而可以利用 Taylor 級數(shù)給出一個簡單而美妙的證明.

參考文獻：

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[3]劉初喜,施洪亮.華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)數(shù)學(xué)教材:下冊[M].上海：上海教育出版社,2012.