關于高中數學中的恒成立問題的分析

摘 要：本文針對高中數學中的恒成立問題，從解題過程角度進行分類，并通過實例探討各類恒成立問題的解法。

關鍵詞：高中數學；恒成立問題類型；解法

含有參數的恒成立不等式問題是高中數學的重要內容，往往也是難點。因為它能夠與多種數學知識想結合如與一次函數，二次函數，三角函數，數列，指對數函數等等，可以以一考多。在解題中又可用到“函數方程思想、分類討論思想、數形結合思想、等價轉換思想”等多種數學思想方法，下面就從多種角度對這類題目進行分析，得到解決恒成立的問題常用的方法。

一、利用一次函數性質法

一次函數f（x）=ax+b（a≠0），在x∈［m，n］內有f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍則根據函數的圖像，見圖1，圖2：

可得：在［m，n］內f（x）＞0恒成立等價于f（m）＞0f（n）＞0

例１ 已知函數f（x）=x3+3ax-1，g（x）=f ′（x）-ax-5，其中f ′（x）是f （x）的導函數。對滿足-1≤a≤1的一切的值，都有g（x）＜0，求實數x的取值范圍；

解 由題意g（x）=3x2-ax+3a-5，這一問表面上是一個給出參數a的范圍，解不等式g（x）＜0的問題，實際上，把以x為變量的函數g（x），改為以a為變量的函數，就轉化為不等式的恒成立的問題，即

令φ（a）=(3-x)a+3x2-5，（-1≤a≤1），則對-1≤a≤1，恒有g（x）＜0，即φ（a）＜0，從而轉化為對-1≤a≤1，φ（a）＜0恒成立，又由φ（a）是a的一次函數，因而是一個單調函數，它的最值在定義域的端點得到。為此

只需φ（1）＜0φ（-1）＜0即3x2-x-2＜03x2+x-8＜0

解得-＜x＜1

故x∈-，1時，對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0。

二、利用二次函數性質法

1、二次函數：給定二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），若y=f（x）大于0恒成立，則有a＞0Δ＜0，如圖3所示.

（注：f（x）≥0恒成立?圳a＞0Δ≤0）

例2 已知函數f（x）=x2+ax+3-a，在R上f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍。

分析 y=f（x）的函數圖像都在x軸上方，即與x軸至多有一個交點。

略解：Δ=a2-4（3-a）=a2+4a-12≤0

∴-6≤a≤2

注：給定二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），若 y=f（x）小于0恒成立，則有a＜0Δ＜0，（f（x）≤0恒成立?圳a＜0Δ≤0）

2、二次函數在指定區間上的恒成立問題，可以利用韋達定理和根與系數的分布知識求解。

例3 已知函數f（x）=x2+ax+3-a，若x∈［-2，2］時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍。

解 f（x）=x+2--a+3，令 f（x）在［-2，2］上的最小值為 g（a）。

⑴當-＜-2，即a＞4時， g（a）= f（-2）=7-3a≥0

∴a≤又∵a＞4

∴a不存在。

⑵當-2≤-≤2，即-4≤a≤4時，g（a）=f（-）=--a+3

∴-6≤a≤2又∵-4≤a≤4 ∴-4≤a≤2

⑶當-＞2，即a＜-4時，g（a）=f（2）=7+a≥0

∴a≥-7 又∵a＜-4∴-7≤a＜-4

綜上所述，-7≤a≤2。

三、分離變量法

若在等式或不等式中出現兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉化成函數的最值問題求解。這種題目常有以下類型：

f（x）＞k恒成立?圳 f（x）min＞k；

f（x）＜k恒成立?圳 f（x）max＜k；。

例４ 已知關于x的不等式x2+25+x3-5x2＞ax在區間［1，12］上恒成立，求實數a的取值范圍。

解 原不等式可化為a＜x++x2-5x（１）

令g（x）=x++x2-5x （２）

根據不等式（１）可知題意為a＜g（x）min，x∈［1，12］

∵x+≥2=10當且僅當x=5時 “=”成立，

x2-5x≥0當且僅當x=5時 “=”成立，

由此g（x）min≥10

∴a＜10

四、數形結合法

若把等式或不等式進行合理的變形后。能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數的圖像，并可通過圖像直接判斷得出恒成立問題的結果。

根據不等式f（x）＞g（x）和函數組y=f（x）y=g（x）兩圖象的聯系知恒成立的不等式f（x）＞g（x）中的參數范圍等價于f（x）的圖象位于g（x）圖象上方時參數適合的不等式組的解。

例6 若關于x的不等式＞2x-a在［-5，4］上恒成立，求實數a的取值范圍。

分析 如圖4：令f（x）=，g（x）=2x-a根據＞2x-a和函數組f（x）=g（x）=2x-a，利用兩圖象的上下位置關系可得：原不等式中的參數a的取值范圍等價于f（x）的圖象位于g（x）的圖象上方時參數a適合的不等式的解，此時參數a適合的不等式組為8-a＜3-10-a＜0，解得a＞5。

以上是比較常見的與恒成立有關的類型及解法，有些題目看起來會涉及很多知識但其實際上常可化成以上幾類。在分析時應能夠從中把握實質進行分析。當然在一道題中不一定只有一種解法，有時一題往往有幾解，究竟用哪一種方法求參數的取值范圍比較容易，不能一概而論，只能具體問題具體分析。

參考文獻：

［1］徐敏.高中數學恒成立問題的常見類型及解答［J］.考試周刊，2010，(34).

［2］黃書廣.怎樣求恒成立不等式中的參數范圍［J］，中學生理科應試，2010，(8).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文