功的相對性

物體的運動是絕對的，而運動的描述是相對的。因此，描寫物體機械運動的量如位移、速度、加速度、動量等都是對某一參照系而言的相對量。對上述相對量的認識，學生中大多是明確的，印象也比較深刻。至于功也是個相對量，這一點，不少學生認識不足，往往誤認為功是個絕對量，無相對可言。這樣的認識，在解決具體問題時，常常會發生錯誤。這里僅舉一例來說明。

例題 在水平桌面上放有質量為M千克的木塊，今以質量為m千克、水平速度v0米/秒的鉛彈擊入木塊但未穿透，鉛彈克服阻力做功轉化的熱量有一半為鉛彈吸收，問鉛彈的溫度升高了幾度？（設鉛彈的比熱容為C焦耳/千克#8226;度;木塊與桌面間的摩擦不計。）

學生基本上都能用能量守恒和轉化定律，來分析和解這個題目，分析計算如下：

以木塊和鉛彈的整體為研究對象，木塊和鉛彈發生完全非彈性碰撞，損失的動能轉化為熱量，熱量的一半為鉛彈吸收，從而鉛彈的溫度升高。

木塊和鉛彈的整體受的合外力為零，所以根據動量守恒，可求得碰后整體的速度為v：

∵mv0=（m+M）v

∴v= （1）

整體損失的動能：

△Ek=mv02 -（m+M）v2

將（1）式代入上式，化簡

△Ek=

轉化的熱量：Q=△Ek=

由熱平衡方程：Q=mC△t×103

∴鉛彈升高的溫度為：

△t= （度） （2）

上面的分析和計算并未求出鉛彈克服阻力轉化為熱量的那一部分功。如要深究那一部分功到底是多少？這時，為數較多的同學會發生錯誤。

要計算鉛彈克服阻力轉化為熱量的那一部分功，就要選取鉛彈為研究對象。它的受力分析如圖1所示。它受有重力G1、木塊的彈力N1和阻力f （阻力是變化的，以平均阻力來分析）三個力的作用。根據動能定理，以地球為參照系，有：

-f s=mv2 -mv02

f s=mv02 -mv2 （3）

s是在碰撞過程中子彈對地的位移，碰后速度v的討論見（1）式。

學生往往從形式上認為fs是子彈克服阻力的功，而題目中又說熱量是鉛彈克服阻力作功轉化的，因此便錯誤地認為子彈克服阻力轉化為熱量的那一部分功便是fs。于是

Q=f s=（v02 -v2 ）

（1）式代入上式，有：

Q=

由熱平衡方程，得

Q=mC△t×103

∴鉛彈升高的溫度△t為：

△t=（度）

顯然，上述的結論是錯誤的［和（2）式不同］。

錯誤的原因是什么呢？原因是學生對功的相地性認識不足，錯誤地認為鉛彈克服阻力轉化為熱量的功是fs。

功是個相對量，一個力在某一參照系內對物體做了功，在另一參照系內對同一物體做功的值要發生變化，甚至不做功。例如，放在車廂內的冰塊，當車廂起動（或加速）過程，冰塊在運動方向上受到車廂的作用力（靜摩擦力），以地球為參照系這個力對冰塊做功；但對車廂而言，這個力對冰塊不做功。正因為相對不同的參照系同一力有不同的功，才產生各自不同的效果，以地球為參照系，車廂對冰塊的力做了功，這個功使冰塊獲得（或增加）動能隨車運動；以車廂為參照系，車廂作用在冰塊的力對冰塊不做功，這就不至于冰塊在搬運過程中融化。因此，涉及到功，特別是功和其它能量轉化時，一定要根據題意的要求，仔細考慮力是以哪一個參照系對物體做功的。

例題中，子彈吸收的熱量是子彈和木塊相互摩擦而產生，摩擦生熱是和兩個接觸的物體的相對運動密切相關的，這就要找出研究對象相對被接觸的物體，它克服阻力做的功。由此可見，例題中子彈克服阻力生熱的功不是它相對地球克服阻力的功fs，而是相對木塊克服阻力做的功fs彈對木，s彈對木是子彈和木塊相互作用過程中，子彈相對木塊的位移。

（3）式是相對地球而言的，s=s彈對木+s木對地，因此

（3）式應寫為：f=fs彈對木+fs木對地=mv02 -mv2 （4）

（4）式等號左邊第二項，可以以木塊為研究對象求出。木塊的受力情況如圖2所示，它受有重力G2、彈力N2和子彈對它的作用f ′（f ′=f，計算中仍用f），碰后的速度v由（1）式確定。由動能定理，對地球而言，有：

fs木對地=Mv2 （5）

（5）式代入（4）式，整理，fs彈對木=mv02 -（m+M）v2

（1）式代入上式：有：fs彈對木=

這就是子彈克服阻力轉化為熱量的那一部分功。

Q=fs彈對木=

根據熱平衡方程，得：

Q=mC△t×103 △t=（度）

這個結論和用能量守恒與轉化定律計算的結果是一致的。

由這一例的分析，可以清楚地看到功也是個具有相對性的量。其實，功的相對性完全可以由功的定義認識到，我們知道，功是力和在力的方向上力作用點位移的乘積，因為位移具有相對性，所以功也具有相對性，為什么學生對功的相對性又會認識不足，以致于發生誤解呢？主要原因是在涉及功的計算中，通常都是以地球作為參照系的，從而在功的計算中對參照系的選擇討論不夠，未給予應有的注意，這就容易造成學生認為功是個絕對量的誤解。因此，在功的教學中，除了幫助學生建立功的明晰的概念外，還應使學生明確功和位移、速度、加速度等物理量一樣，也是一個相對量。

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