柯西不等式的證明及其應用

柯西不等式是高中教材4-5《不等式選講》中的一個重要不等式。它是證明不等式，求解極（最）值問題的一個重要工具。由于此不等式在以前教材（大綱教材）未曾出現，僅在高中數學競賽中要求。因此，對此不等式的理解及其應用，大多數教師都感到較陌生，教學要點把握不準。本文主要從柯西不等式的證明、變式與應用這三個方面做些探討，供教師們教學參考。祈請同行斧正。

一、柯西不等式的證明

柯西不等式：aibi2≤ai2bi2 (ai，bi∈R，i=1，2…n)，

等號成立當且僅當ai=0（i=1，2…n)或bi=kai（i=1，2…n，其中k為常數）時成立.

教材中柯西不等式的證明采用構造二次函數證明，以下再給出幾種證明，以便對此不等式實質有更深刻的認識。

證法一： 配方法

ai2bi2 =ai2bi2+（ai2bj2+aj2bi2）

=ai2bi2+2（aiajbibj）+（ai2bj2+aj2bi2-2aiajbibj）

=aibi2+（aibj-ajbi）2

≥aibi2

其中等號當且僅當==…=時成立（當bi=0時，認為ai=0，1≤i≤n）.

證法二：數學歸納法

（1）當n=1時，左式=（a1b1）2 ，右式=（a1b1）2， 顯然，左式=右式。

當n=2時，右式=（a12+a22）（b12+b22）=（a1b1）2 +（a2b2）2 +a22b12+a12b22

≥（a1b1）2 +（a2b2）2 +2a1a2b1b22=（a1b1+a2b2）2=左式

當且僅當即a2b1=a1b2即=時等號成立。故n=1，2時，不等式成立。

（2）假設n=k（k∈N，k≥2）時，不等式成立，即（a1b1+a2b2+…+akbk）2≤（a12+a22+…+akk）（b12+b22+…+bkk）

且bi=kai，k為常數， i=1，2…n或a1=a2=…=ak=0時等號成立.

設A=a12+a22+…+ak2，B=b12+b22+…+bk2，C=a1b1+a2b2+…+akbk

則（A+a2k+1）（B+b2k+1）=AB+Ab2k+1+Ba2k+1+a2k+1b2k+1

≥AB+2ak+1bk+1+a2k+1b2k+1≥C2+a2k+1b2k+1+2Cak+1+bk+1

=(C+ak+1bk+1)2=（a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1）2，

即（a12+a22+…+ak2+a2k+1）（b12+b22+…+bk2+b2k+1）

≥（a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1）2，

并且bi=kai ，k為常數， i=1，2，…n或a1=a2=…ak=0時等號成立。

所以n=k+1時不等式成立，綜合（1）（2）可知柯西不等式成立。

證法三：記A=， B=，則

=≤

≤+

=+=1.∴≥aibi 即ai2bi2≥aibi2.

證法四：記An=， Bn=

A2n+1B2n+1=(An2+a2n+1)(Bn2+b2n+1)

=An2Bn2+An2b2n+1+Bn2a2n+1+a2n+1b2n+1

≥An2Bn2+2AnBnan+1bn+1+a2n+1b2n+1

=(AnBn+an+1bn+1)2

∴An+1Bn+1≥AnBn+an+1bn+1≥0

∴An+1Bn+1-AnBn≥an+1bn+1

從而AnBn（AnBn-An-1Bn-1）+（An-1Bn-1-An-2Bn-2）+…+（A2B2-A1B1）+A1B1

≥anbn+an-1bn-1+…+a2b2+a1b1

∴An2Bn2≥（anbn）2

即ai2bi2≥（anbn）2 ≥ai bi2

評注：教材給出的構造二次函數證柯西不等式的證法技巧性非常高，對學生而言：如何想到要構造一個二次函數思路并不自然。我們給出的四種證法，證法一是通過配方，配出我們需要的結構ai bi2，所涉及僅僅是多項式運算。證法二中n=k+1時向n=k的轉化，拼湊歸納假設條件。證法三拼湊使用平均值不等式。證法四通過構造數列AnBn，得到An+1Bn+1-AnBn≥an+1bn+1，從而應用數列求和得到。這些證法的優點是證明方向明確，思路較為自然。

另外，如果把分別看成兩個向量的分量，即令=(a1，a2，…，an)，=(b1，b2，…，bn)，則柯西不等式ai2bi2≥ai bi2化為22≥#8226;2即≥#8226;這就是向量形式的柯西不等式。

二、柯西不等式的兩種變式

由柯西不等式，容易得到它的兩個變式：

1.設ai∈R，bi>0 (i=1，2，…，n)則≥，當且僅當bi=kai（1≤i≤n）時取等號，其中k是非零常數。

2.設ai ，bi同號且不為零(i=1，2，…，n)，則≥，當且僅當b1=b2=…=bn時取等號。

這兩個變式的結構對稱、優美，許多不等式問題用它們求解十分簡單。

三、柯西不等式的應用

柯西不等式用途廣闊，下面我們舉例說明：

例1.（推導點線距離公式）在平面直角坐標系中，P(x0，y0)是直線l:Ax+By+C=0外一點，則P到直線l的距離d=。

分析：對l上任一點Q(x1，y1)，PQ=

而d是PQ的最小值。注意到Ax1+By1+C=0，從而Ax0+By0+C=A（x0-x1）+B（y0-y1），則

Ax0+By0+C2=A（x1-x0）+B（y1-y0）2

≤（A2+B2）（x1-x0）2+（y1-y0）2，

≥.

由柯西不等式取等號條件知，當A（y1-y0）-B（x1-x0）=0時等號成立。即當PQ⊥l時，PQ取最小值。故d=（具體證明略）.

例2．應用柯西不等式解釋樣本線性相交系數.

在湘教版選修2-3《統計與概率》一章中，對于一元線性回歸案例中，有樣本相關系數r=，并指出r≤1且r越接近于1，相關程度越大，越接近于0，則相關程度越小。現在可用柯西不等式解釋樣本線性相關系數。

現記ai =xi-，bi=yi-，則r=，由柯西不等式有r≤1，當r=1時，（aibi，）2=ai2bi2此時，==k，k為常數。點（xi，yi） i=1，2，…，n均在直線yi-=k（xi-）上，對于r，當r→1時，（aibi，）2=ai2bi2即（aibi，）2-ai2bi2→0。而（aibi）2-ai2bi2=-（aibj-ajbi）2

而（aibj-ajbi）2→0?圯aibj-ajbi→0，?圯→k，k為常數。

此時，==k（k為常數），

點（xi-yi）均在直線y-=k（x-）附近，所以r越接近于1，相關程度越大。

當r→0時（ai-bi）不具備上述特征，從而，找不到合適的常數k，使得點（xi ， yi）都在直線y-=k（x-）附近。所以，r越接近于0，則相關程度越小。

例3.（利用柯西不等式解方程）在實數集內解方程x2+y2+z2=-8x+6y-24z=39

分析：此方程組三個未知數，只有兩個方程，顯然不可能用消元法來解。注意到第一方程是平方和。第二方程是積的和，與柯西不等式結構相類似，故考慮利用柯西不等式取等號條件求解。

解：由柯西不等式，得x2+y2+z2［(-8)2+62+(24)2］≥(-8x+6y-24z)2 ①

∵（x2+y2+z2）［(-8)2+62+(-24)2］=×(64+36+4×144)=392

又(-8x+6y-24z)2 =392，（x2+y2+z2）［(-8)2+62+(-24)2］=(-8x+6y-24z)2

即不等式①中只有等號成立。

從而由柯西不等式中等號成立的條件得==，它與-8x+6y-24z=39聯立，可得x=-，y=，z=-.

例4.（09年高中聯賽福建區預賽）已知正實數a，b，c滿足a+b+c≤3.求證：

（1）≤++＜3； （2）++≥2.

分析：（1）的右邊很顯然（，，均小于1），而左邊不等式，注意到++=++與柯西不等式變式（1）結構相同；（2）同理可得。

證明：（1） ∵a，b，c∈R+ ∴++＜1+1+1=3，

又++=++

≥=≥= ，

∴≤++＜3

（2）++

=++

=+++++

在許多問題中，如果我們能夠利用柯西不等式去解決，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。