課本中數列探求通項公式的兩個案例研究

筆者在人教版數學必修5（第3版）第二章數列的教學時，學生針對課本素材提出了兩個由遞推公式求通項公式的問題，本文就這兩個案例進行探究.

案例1：課本P32“閱讀與思考”中的斐波那契數列的通項公式如何求解？即已知數列{an}中，a1=1，a2=1，an=an-1+an-2(n≥3)，求an.

實際上，這個問題與課本P69復習參考題B組第6題相類似，為此筆者在教學中引導學生從基本的等差、等比數列求通項公式的方法出發，本著聯系的觀點進行類比、化歸及推廣，啟發學生探求這一類問題的解法.以下是分析引導過程：

（1）問題1：等差、等比數列的通項公式是如何推導的？

我們知道，等差數列{an}：an=an-1+d與等比數列{an}：an=qan-1都是由常數數列{an}：an=an-1添加“常數”或添乘“系數”而得到的，故等差數列可通過作差a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d轉化為常數數列，再累加求通項;而等比數列可通過作商==…==q轉化為常數數列，再累乘求通項.

（2）問題2：由問題1出發，數列的通項公式你如何求解？

把“f(n)”看成“d”，類比等差數列求通項的方法，得數列的通項為an=a1+f(i).

（3）問題3：那么怎樣求數列{an}：an=qan-1+d，q≠1的通項公式呢？

思路1：把“d”分解到等式兩邊，令an-x=q(an-1-x)，其中x=，從而化“d”為“0”，把數列轉化為等比數列{an-x}，把問題化歸為問題1； 思路2：在等式兩邊同除以qn，得=+，把“q”化為“1”，即化為數列{bn}：bn=bn-1+f（n），這里bn=，f（n）=，把問題化歸為問題2.

（4）問題4：由前述討論，你如何求數列{an}:an=pan-1+qan-2(n≥3)的通項公式？

具體教學中，可以先針對課本P69 第6題進行分析解答，再從特殊到一般，把結論進行推廣，以下僅給出推廣情形下的探究：

對于這類型數列，可以把“pan-1”看成“d”，再根據問題3思路1分解到等式兩邊.設分解式為：an-αan-1=β（an-1-αan-2） ①

其中α+β=p，αβ=-q，則該數列{an-αan-1}可化為等比數列，其通項公式為an-αan-1=βn-2（a2-αa1）②

在②式中還含有“an-1”，為此還需消元，在這里可通過構造方程組達到.其中①式移項還可改寫成an-βan-1=α（an-1-βan-2） ，同樣由等比數列的通項公式得an-βan-1=αn-2（a2-βa1） ③

由方程②③可得，當α≠β時，an=βn-1-αn-1④

若α=β，則可由②式得an=αan-1+an-2(a2-αa1)，此數列可根據問題3思路2轉化為=+α2(a2-αa1)，由等差數列通項公式得=+(n-1)(a2-αa1)α-2，

所以 an=a1αn-1+(n-1)(a2-αa1)αn-2 ⑤

在斐波那契數列中，∵p=q=1，∴α+β=1，αβ=-1，故α，β可以看成方程x2-x-1=0的兩根，取α=，β=又a1=a2=1，由④式可得斐波那契數列的通項公式為：an=n-n.

（5）問題5：由上述的探討，你能否進一步簡化其求解過程？

實際上α-β可以看成方程x2-px-q=0的兩根，可用求根公式求解，當α≠β時，把④式常數部分用c1，c2替代，得數列的通項公式為an=c1 βn+c2 αn，其中c1，c2可用a1，a2的值代入列方程組求解；當α=β時，類似地由⑤式得數列的通項公式為an=(c1，c2n)αn，其中c1，c2同樣用a1，a2的值代入列方程組求.這樣，我們就得到這一類型問題的通解.

案例2：課本P31例題3的數列{an}：a1=1an=1+(n＞1)的通項公式如何求解？

由an=1+可通分得an=，再聯想各類教輔中常見的一個問題“已知數列{an}中，a1=1，an=(n＞1)求數列的通項公式an”，以此作為引例可以設計如下探究過程：

（1）問題6：數列{an}：an=的通項公式如何求解？

由引例的具體解答進行抽象，得到一般情形的求解方法：在等式兩邊同時取“倒數”，若令bn=，則該數列可化為bn=qbn-1+p，即問題3中的數列.

（2）問題7：能否把例3的數列轉化為問題6中的數列？

要化為問題6中的數列求通項最關鍵的是把an=中的常數1“消去”，因此令an=bn-x，則bn-x=，化簡得bn=，令-x2-x+1=0，不妨取x=，則bn=，此時數列即化為問題6中的數列.在等式兩邊取“倒數”得=+，根據問題3思路1，設+y=(+y），則y=-，則-=（）n-1（-），又因為b1=a1+x=，所以bn=()n-1+-1，故an=bn-x=()n-1+-1-.

由上述探究過程可以不難看出對于具有遞推公式an=的數列{an}也可以類似轉化為問題6中的數列.

問題是數學的心臟，能使學生學有“問題”才是成功的教學.在數學教學中，我們應該以課本素材為載體，不斷創設問題，并結合問題展開討論、探索，這樣才能讓學生帶著問題去學習，去交流切磋，從而引發他們學習的興趣，發揮“自主學習，合作探究”的學習主動性，進而提高分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

［1］中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書數學必修5［M］.北京：人民教育出版社，2007.

［2］韋吉珠.高中數學競賽專題講座#8226;數列與歸納法［M］.杭州：浙江大學出版社，2007