探究勾股數(shù)的一些規(guī)律

摘 要：任何大于等于3的正整數(shù)都可存在在某一組勾股數(shù)之中。

關(guān)鍵詞：勾股定理；勾股數(shù)；平方數(shù)；通項(xiàng)公式

在直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2，這個(gè)結(jié)論通常叫做勾股定理。因?yàn)樵谥袊?guó)古代，稱直角三角形中較短的一條直角邊為勾，較長(zhǎng)的一條直角邊為股，斜邊為弦。使a2+b2=c2成立的任何三個(gè)自然數(shù)便組成勾股數(shù)，我們知道(3，4，5)；(6，8，10)；(5，12，13)都是勾股數(shù)，勾股數(shù)有沒(méi)有規(guī)律可循呢？下面我們作進(jìn)一步的探究：

先提出這樣一個(gè)猜想：“任何大于等于3的正整數(shù)都可存在在某一組勾股數(shù)之中。”

并提出這樣的問(wèn)題：19與其他哪兩個(gè)數(shù)可組成勾股數(shù)？28與其他哪兩個(gè)數(shù)可組成勾股數(shù)？

為方便查找，表1先列舉出3～32的正整數(shù)的平方數(shù)，可觀察出每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)的差依次為7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、……。

若差正好是個(gè)平方數(shù)，如25，即169-144那么就可找到一組勾股數(shù)(5，12，13)；又如64可看成由31+33構(gòu)成，即289-225，那么也可找到一組勾股數(shù)(8，15，17)。

經(jīng)找尋，可發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)：(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，

(8，15，17)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)……

這些勾股數(shù)大致可分為以下兩種：

第一種： an為奇數(shù) anbncn

3 4 5

5 12 13

724 25

940 41

1160 61

…………

第二種：an為偶數(shù)anbncn

4 3 5

6 810

815 17

1024 26

1235 37

1448 50

…………

現(xiàn)在從數(shù)列方向思考，若計(jì)算出an、 bn、cn的通項(xiàng)公式，即可知道其中的部分勾股數(shù)的規(guī)律。

第一種： 當(dāng)an 為奇數(shù)時(shí)，易得an =2n，而cn 的值總比bn 多1。故只需求出bn 的通項(xiàng)公式即可得cn 的通項(xiàng)公式。

而觀察規(guī)律可得b1=4b2-b1=8b3-b2=12b4-b3=16……bn-bn-1=4n，疊加各式可得

bn=4+8+12+16…+4n

化簡(jiǎn)得bn==2n2+2n，則cn =2n2+2n+1。

第二種： 當(dāng)an為偶數(shù)時(shí)，同理易得an=2n+2，而cn的值總比bn多2。故只需求出bn的通項(xiàng)公式即可得cn的通項(xiàng)公式。

觀察規(guī)律可得b1=3b2-b1=5b3-b2=7b4-b3=9……bn-bn-1=2n+1，疊加各式可得

bn=3+5+7+9+…+（2n+1）

化簡(jiǎn)得bn==n2+2n，則cn =n2+2n+2。

接下來(lái)驗(yàn)證an2+bn2=cn2

①an=2n+1，bn =2n2+2n，cn =2n2+2n+1，

an2+bn2=(2n+1)2+(2n+2)2=(4n2+4n+1)+(4n4+8n3+4n2)

cn2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1

故an2+bn2=cn2成立；

②an=2n+2，bn =n2+2n，cn =n2+2n+2，

an2+bn2=(2n+2)2+(n2+2n)2=(4n2+8n+4)+(n4+4n3+4n2)

cn2=(n2+2n+2)2=n4+4n3+8n2+8n+4

故an2+bn2=cn2成立；

總結(jié)：上述推導(dǎo)出的符合勾股數(shù)an2+bn2=cn2的有：

① an=2n+1，bn =2n2+2n，cn =2n2+2n+1，(n≥1且n∈N)

② an=2n+2，bn =n2+2n，cn =n2+2n+2，(n≥1且n∈N)

現(xiàn)在可以回答一下開(kāi)始提出的問(wèn)題：

19與其他哪兩個(gè)數(shù)可組成勾股數(shù)？28與其他哪兩個(gè)數(shù)可組成勾股數(shù)？

在①中 取n=9代入，即可得勾股數(shù)(19，180，181).

在②中 取n=13代入，即可得勾股數(shù)(28，195，197).

另外，除了以上的，符合勾股數(shù)an2+bn2=cn2的還有其他的形式：

如an=2n，bn =n2-1，cn =n2+1

an=4n，bn =4n2-1，cn =4n2+1

a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2

在勾股數(shù)(a，b，c)同時(shí)乘以一個(gè)正整數(shù)n得到的(na，nb，nc)仍然是勾股數(shù)等等。

除此之外，還有一些見(jiàn)解，如64既然可看成由31+33構(gòu)成，也可看成由13+15+17+19構(gòu)成；同理400可看成由199+201構(gòu)成，也可看成由97+99+101+103構(gòu)成，甚至看成由43+45+47+49+51+53+55+57構(gòu)成，故含有20的勾股數(shù)有(20，99，101)，(20，48，52)，甚至是后兩數(shù)相差更多的(20，21，29)也可以。

482}97 212}43

992}199492}99222}45

因?yàn)?002}201，或者502}101，又或者232}47。

1012512}103…}…

522292}57

因此，勾股數(shù)不止以上的①和②兩種形式，但是①和②的形式就足以使得：

“任何大于等于3的正整數(shù)都可存在在某一組勾股數(shù)之中。”

另外，經(jīng)查閱，勾股數(shù)還有其他的一些規(guī)律：

（一）、凡有公約數(shù)的勾股數(shù)我們稱之為派生勾股數(shù)，例(30，40，50)等；

（二）、無(wú)公約數(shù)的勾股數(shù)，例(3，4，5)，(8，15，17)等，我們稱之為互質(zhì)勾股數(shù)。全是偶數(shù)的勾股數(shù)必是派生勾股數(shù)，三個(gè)奇數(shù)不可能符合定義公式。因此，互質(zhì)勾股數(shù)唯一的可能性是：a和b分別是一奇一偶，斜邊c只能是奇數(shù)。

（三）、互質(zhì)勾股數(shù)具有以下特性：

斜邊與偶數(shù)邊之差是奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)必是某奇數(shù)的平方數(shù)， 例如1，9， 25，49，……；

斜邊與奇數(shù)邊之差是偶數(shù)，這個(gè)偶數(shù)必是某偶數(shù)平方數(shù)的一半， 例如2，8，18，32，……；

（四）、由以上定義我們推導(dǎo)出勾股公式：

a=m2+mn b=+mnc=m2++mn

（其中m，n是正整數(shù)，n>1）

此公式涵蓋了自然界的全部勾股數(shù)，包括派生勾股數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

［1］黃振國(guó)．一個(gè)連續(xù)勾股數(shù)的構(gòu)造定理［J］，西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1995，（06）.

［2］于志洪．什么叫做勾股數(shù)［J］．學(xué)生之友，2006，(1-2).