探究勾股數的一些規律

摘 要：任何大于等于3的正整數都可存在在某一組勾股數之中。

關鍵詞：勾股定理；勾股數；平方數；通項公式

在直角三角形中，兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2，這個結論通常叫做勾股定理。因為在中國古代，稱直角三角形中較短的一條直角邊為勾，較長的一條直角邊為股，斜邊為弦。使a2+b2=c2成立的任何三個自然數便組成勾股數，我們知道(3，4，5)；(6，8，10)；(5，12，13)都是勾股數，勾股數有沒有規律可循呢？下面我們作進一步的探究：

先提出這樣一個猜想：“任何大于等于3的正整數都可存在在某一組勾股數之中。”

并提出這樣的問題：19與其他哪兩個數可組成勾股數？28與其他哪兩個數可組成勾股數？

為方便查找，表1先列舉出3～32的正整數的平方數，可觀察出每兩個相鄰的數的差依次為7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、……。

若差正好是個平方數，如25，即169-144那么就可找到一組勾股數(5，12，13)；又如64可看成由31+33構成，即289-225，那么也可找到一組勾股數(8，15，17)。

經找尋，可發現這些勾股數：(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，

(8，15，17)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)……

這些勾股數大致可分為以下兩種：

第一種： an為奇數 anbncn

3 4 5

5 12 13

724 25

940 41

1160 61

…………

第二種：an為偶數anbncn

4 3 5

6 810

815 17

1024 26

1235 37

1448 50

…………

現在從數列方向思考，若計算出an、 bn、cn的通項公式，即可知道其中的部分勾股數的規律。

第一種： 當an 為奇數時，易得an =2n，而cn 的值總比bn 多1。故只需求出bn 的通項公式即可得cn 的通項公式。

而觀察規律可得b1=4b2-b1=8b3-b2=12b4-b3=16……bn-bn-1=4n，疊加各式可得

bn=4+8+12+16…+4n

化簡得bn==2n2+2n，則cn =2n2+2n+1。

第二種： 當an為偶數時，同理易得an=2n+2，而cn的值總比bn多2。故只需求出bn的通項公式即可得cn的通項公式。

觀察規律可得b1=3b2-b1=5b3-b2=7b4-b3=9……bn-bn-1=2n+1，疊加各式可得

bn=3+5+7+9+…+（2n+1）

化簡得bn==n2+2n，則cn =n2+2n+2。

接下來驗證an2+bn2=cn2

①an=2n+1，bn =2n2+2n，cn =2n2+2n+1，

an2+bn2=(2n+1)2+(2n+2)2=(4n2+4n+1)+(4n4+8n3+4n2)

cn2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1

故an2+bn2=cn2成立；

②an=2n+2，bn =n2+2n，cn =n2+2n+2，

an2+bn2=(2n+2)2+(n2+2n)2=(4n2+8n+4)+(n4+4n3+4n2)

cn2=(n2+2n+2)2=n4+4n3+8n2+8n+4

故an2+bn2=cn2成立；

總結：上述推導出的符合勾股數an2+bn2=cn2的有：

① an=2n+1，bn =2n2+2n，cn =2n2+2n+1，(n≥1且n∈N)

② an=2n+2，bn =n2+2n，cn =n2+2n+2，(n≥1且n∈N)

現在可以回答一下開始提出的問題：

19與其他哪兩個數可組成勾股數？28與其他哪兩個數可組成勾股數？

在①中 取n=9代入，即可得勾股數(19，180，181).

在②中 取n=13代入，即可得勾股數(28，195，197).

另外，除了以上的，符合勾股數an2+bn2=cn2的還有其他的形式：

如an=2n，bn =n2-1，cn =n2+1

an=4n，bn =4n2-1，cn =4n2+1

a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2

在勾股數(a，b，c)同時乘以一個正整數n得到的(na，nb，nc)仍然是勾股數等等。

除此之外，還有一些見解，如64既然可看成由31+33構成，也可看成由13+15+17+19構成；同理400可看成由199+201構成，也可看成由97+99+101+103構成，甚至看成由43+45+47+49+51+53+55+57構成，故含有20的勾股數有(20，99，101)，(20，48，52)，甚至是后兩數相差更多的(20，21，29)也可以。

482}97 212}43

992}199492}99222}45

因為1002}201，或者502}101，又或者232}47。

1012512}103…}…

522292}57

因此，勾股數不止以上的①和②兩種形式，但是①和②的形式就足以使得：

“任何大于等于3的正整數都可存在在某一組勾股數之中。”

另外，經查閱，勾股數還有其他的一些規律：

（一）、凡有公約數的勾股數我們稱之為派生勾股數，例(30，40，50)等；

（二）、無公約數的勾股數，例(3，4，5)，(8，15，17)等，我們稱之為互質勾股數。全是偶數的勾股數必是派生勾股數，三個奇數不可能符合定義公式。因此，互質勾股數唯一的可能性是：a和b分別是一奇一偶，斜邊c只能是奇數。

（三）、互質勾股數具有以下特性：

斜邊與偶數邊之差是奇數，這個奇數必是某奇數的平方數， 例如1，9， 25，49，……；

斜邊與奇數邊之差是偶數，這個偶數必是某偶數平方數的一半， 例如2，8，18，32，……；

（四）、由以上定義我們推導出勾股公式：

a=m2+mn b=+mnc=m2++mn

（其中m，n是正整數，n>1）

此公式涵蓋了自然界的全部勾股數，包括派生勾股數。

參考文獻：

［1］黃振國．一個連續勾股數的構造定理［J］，西南師范大學學報，1995，（06）.

［2］于志洪．什么叫做勾股數［J］．學生之友，2006，(1-2).